LIVRE TROISIÈME

moyenne dont la différence de niveau X pourra être affectée, sera représentée par

(a) <?X = y/2(vM)a+2(*<Ma + 2(^<?n)2;

quant à ses limites, elles seront ±. 6<?X; on aura donc de la sorte la mesure de la précision du nivellement trigonométrique.

Dans cette formule, les erreurs moyennes dn dont la probabilité est|, s’obtiendront par le premier principe qui sert de base au

calcul actuel; et l’on pourra faire d’ailleurs âk = -joQ-- , d’après ce

qui a été dit sur la discordance des valeurs d’un même côté, déduites de différentes chaînes. Enfin l’on aura soin de satisfaire au principe de l’homogénéité, en réduisant en parties du rayon les quantités angulaires e et dV, c’est-à-dire en écrivant e sin i'etch» sin 1 ", si ces quantités sont exprimées en secondes : alors la valeur de c?X sera donnée en mêmes unités que les bases du nivellement.

Deux cas se présentent dans la pratique : le premier est celui de la simultanéité des distances zénithales réciproques, et alors l’erreur

moyenne oV est celle correspondante aux différences — - — , qu’on

obtient en combinant les séries contemporaines dans chaque nivellement partiel. De même l’erreur moyenne dn, pour chacun de ces nivellements, est celle relative aux différences ri — n que procurent ces séries prises deux à deux. Le second cas, qui est le plus fréquent , est celui de la non-simultanéité des distances zénithales réciproques ; il exige que l’on opère sur l’ensemble des séries prises à chaque station , parce qu’elles ne donnent qu’une valeur de n relative à l’état actuel de l’atmosphère pour chaque nivellement partiel ; la variation ân déduite de toutes les valeurs particulières n', 7i",...,rii) , est donc celle qu’il convient d’adopter pour dri, oV', . . . ,

Dans ce dernier cas, si <7', a", ri",. . . représentent respectivement le nombre des observations qui ont produit n ', ri', nm, . . ., et qu’on fasse <7 = <7 '-+* c M- g . . , on aura

i°. Pour la valeur moyenne des ri, n ", nm, ...

a' ri- h a" ri'-Jr a"' . . .

2°. Pour la valeur moyenne des carrés de ces mêmes quantités,

Prenant ensuite

ê = v/EEE5,

le nombre g- sera , comme on Ta déjà dit, la mesure de la précision du coefficient moyen n de la réfraction , et ±g = $n exprimera l’erreur moyenne iïn de ce même coefficient.

De plus , il est indispensable de remplacer dans la formule (2) la

somme 2(kdv)2 par celle-ci : 2 àz'j -h 2 dzj , c’est-à-dire de

chercher séparément les erreurs moyennes dz, #z' qui se rapportent aux distances zénithales à chacune des stations comparées; ainsi l’on a , dans cette circonstance,

Ce serait nous engager ici dans de trop longs calculs , que de faire une application numérique de ces deux dernières formules , dont l’importance ne se fait d’ailleurs sentir que dans les opérations très-délicates de la Géodésie; mais le lecteur pourra consulter, à cet égard, le ier volume de la Nouvelle Description géométrique de la France , dans lequel nous avons apprécié le degré de précision de deux des nivellements les plus étendus et les plus exacts qui aient été exécutés de nos jours. Nous nous bornerons donc à faire les remarques suivantes :

D’abord, en faisant abstraction des termes en dk et endV, la formule (2) se réduit à

et lorsque les erreurs individuelles oV, oV, . sont nombreuses, on

peut remplacer les carrés de chacune d’elles par la somme q de leurs carrés , divisée par leur nombre i ; ainsi l’on a

— v/HÏI’

En supposant de plus égales toutes les bases partielles A, , Aa,... , k „ , (<7 étant leur nombre), et appelant A la longueur entière de la ligne trigonométrique , on a enfin

d’où l’on voit que , toutes choses étant égales d’ailleurs, plus 7 augmentera plus l’erreur moyenne sera petite. En général , il est nécessaire que k ne dépasse pas 12000 mètres, afin que le pointé soit plus certain et que la variabilité de la réfraction ait moins d influence sur les différences de niveau.

Les conséquences déduites du calcul des probabilités n’étant relatives qu’aux erreurs fortuites des mesures, il est essentiel d’employer les meilleurs instruments, de multiplier le nombre des observations et d’en varier les circonstances , afin d’atténuer l’effet des erreurs accidentelles, d’éviter les causes constantes d’erreurs, et d’obtenir des résultats précis. On remarquera cependant que si les distances zénithales ont été observées avec le même cercle répétiteur, l’erreur constante dont cet instrument peut être affecté (art. 120), n’a aucune influence sur les différences de niveau déduites de la formule (A) ; mais dans les observations correspondantes et simultanées , comme on fait nécessairement usage de deux cercles, l’effet de leurs erreurs constantes, supposées inégales et inconnues, ne peut être détruit que par le moyen indiqué à l’art. 214, ou en répétant le nivellement en sens inverse, c’est-à-dire de manière que les stations du premier observateur soient faites par le second observateur, et réciproquement, et en prenant la demi-somme des deux résultats. Il est donc évident que sans cette précaution, il resterait toujours de l’incertitude sur la différence de niveau des termes extrêmes, et même des points intermédiaires d’un grand nivellement trigonométrique , quelles que fussent d’ailleurs la multiplicité et la précision des observations.

tableau