LIVRE TROISIÈME

doc = ±: 0,47708g, ou simplement doc = ±.\g,

le facteur g = ^ Va (a'2 -+- cl" 2 + H- a sera la mesure ou le

module d’un grand nombre d’observations.

En second lieu , représentons par X la différence de niveau de deux points tellement éloignés l’un de l’autre que l’on a, par une suite de nivellements partiels ,

X — x — 1— oc — .... oc ,

et appelons doc', dx",..., doc ^ les erreurs moyennes de x', x",...,x \ lesquelles sont indépendantes entre elles; celle de X sera, conformément à lin autre principe de la Théorie des Probabilités ,

Pour appliquer cette dernière formule à la pratique , on remarquera que dans l’expression de X on a généralement

z et z, étant les distances zénithales moyennes apparentes observées réciproquement aux extrémités de la base R , C désignant l’angle formé par les verticales des deux stations, et oc étant leur différence de niveau. D’un autre côté l’on sait que les distances zénithales, qui sont données par plusieurs séries prises avec le cercle répétiteur, et qui diffèrent peu de l’angle droit, sont en général affectées d’erreurs fortuites provenant des défauts de l’inâtrument, des erreurs du pointé ou d’autres causes accidentelles; nous désignerons donc ces erreurs respectivement par dz et dz\ Enfin il est évident que si les observations n’ont pas été faites simultanément aux extrémités de la base, ou si elles ont eu une assez longue durée , la réfraction , supposée la meme dans la formule ( A) , aura pu être différente aux deux stations ; ainsi nous aurons égard à cette circonstance en appelant ô et G' les réfractions relatives à z et z'.

Ces préliminaires posés , on aura, en désignant par Z et Z' les distances zénithales moyennes rigoureuses ,

Z = z+dz+$ = z + dz + ~,

Z' — z1 + dz' + S' = z' -t- dz' H-

n et n' étant ici les coefficients variables de la réfraction , et R représentant le rayon de la Terre.

De là

i (Z'- Z) = i (z’—z) + x (oV— dz) -H x n) K , et pour véritable différence de niveau partielle ,

* + <& = c-^r~c tang \{z' - z)+\{dz'-dz) + »),

dans la supposition toutefois que la base R est exactement connue. Si au contraire elle est entachée d’une erreur dk , on aura , en faisant M*' — z) =v> et n'— n = dn\ pour abréger, et prenant pour K sa longueur k au niveau de la mer,

dx = vdk -f- kdv -t- ~ dn.

Chaque nivellement partiel donnera évidemment une équation semblable; ainsi, en supposant cos T C = i, on aura

X=kt tang p, -+- k 2 tang p2 + A 3 tang p 3 -f- . . . -f- A ,• tang p,- ,

1 étant le nombre de ces nivellements partiels; et sa différentielle dX aura généralement pour expression, à cause de la petitesse de p,

2 désignant, comme à l’ordinaire, la somme de tous les termes pareils à celui que cette caractéristique précède. Il résulte de là que l’erreur