LIVRE DEUXIEME

. /sin (a — c )

tang|B = VsinioTV)'

Un angle d’un triangle sphérique étant toujours moindre que deux droits, |B sera nécessairement aigu; ainsi l’on devra rejetter la racine négative, puisqu’elle donnerait obtus.

58. Si l’on combine les deux équations (a") par voie d’addition et de soustraction , on aura

sin(&-t- c) = sina(cosC -+- cos B) = asm a cos 1 — - j cos ^ a J >

sin (b — c) = sina(cosC — cosB) = 2 sin a sin I — — 1 sin l - J >

et si l’on divise maintenant ces deux résultats l’un par l’autre, il viendra cette autre relation remarquable

laquelle nous apprend que quand la somme des deux côtés de l’angle droit est plus grande qu’une demi-circonférence, la demi-somme des deux angles opposés est nécessairement plus grande qu’un quadrant; car tang ^ et sin ( b — c ) ayant toujours le même signe,

tang est positive ou négative selon que sin ( b -+- c ) est positif ou négatif.

59. Pour trouver d’autres propriétés , élevons au carré les premières relations (a') , (a"); il viendra

cos2 b cos2 c = cos2 a , sin2 c cos2 b = sin2 a cos2 B ;

celles-ci étant ajoutées entre elles, on aura, en simplifiant,

cos2 6 =r cos2 a H- sin2 a cos2 B = 1 — sin2 a sin2 B,

par conséquent

sin2£ = sin2 a sin2B ou sin£ = sin a sinB;

c’est aussi ce qui résulte de la proportion des quatre sinus, démontrée à l’art. 55; ainsi dans uii triangle sphérique rectangle , le sinus d’un côté de l’angle droit est égal au sinus de l’angle opposé multiplié par le sinus de l’hypoténuse.

60. En Trigonométrie l’on entend par cas douteux celui où l’inconnue est donnée par son sinus; parce qu’alors le problème est en général susceptible de deux solutions. Si, par exemple, dans le triangle sphérique rectangle on connaissait h et B, qui sont toujours de même espèce, et qu’on voulut déterminer l’hypoténuse a , on l’obtiendrait

par la formule sin a = or, le sinus d’un arc moindre qu’un qua¬

drant étant le même que celui d’un arc qui en est le supplément, on ne saurait pas si a est aigu ou obtus. Il existe donc deux triangles rectangles qui satisfont aux données du problème.