RESOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES RECTANGLES

ob. Lorsque l’angle A est droit, le côté opposé a se nomme l'hypoténuse , et les relations (a) deviennent

cosa = cos b cos c , cos& = cos a cos c -+- sinzz sine cos B, cosc = cos a cos b -+- sin a sin b cosC.

11 suit de la première relation que dans tout triangle sphérique rectangle , le cosinus de l’hypoténuse est égal au produit des cosinus des côtés qui comprennent l’angle droit.

Eliminant cos a des deux dernières, on trouve

cos b = cos b cos2 c 4- sin a sin c cos B = cos b ( r — sin2 c) -L sin a sin c cos B , cos c = cosc cos2 b sin a sin ôcosC = cosc( 1 — sin2 6)-f-sin<zsinZ>cosC;

réduisant et divisant tout par sine, on a ces deux relations entre les

trois côtés et un angle oblique :

sine cos b = sin a cos B, sin b cos c = sin a cos C ;

mais à cause de sin a = tang a cos a et de cos a = cos b cos c , ces nouvelles relations se changent en celles-ci :

sin c cos b = tang a cos b cos c cos B , sin b cos c = tang a cos b cos c cos C ;

d’où l’on tire

tang c = tang a cos B , tangù = tanga cosC;

c’est-à-dire, i° que dans un triangle sphérique rectangle , la tangente de l’un des côtés de l angle droit , divisée par la tangente de V hypoténuse, est égale au cosinus de l’angle oblique adjacent à ce côté; 20. que les tangentes des deux côtés de l’angle droit sont réciproquement proportionnelles aux cosinus des angles qui leur sont opposés.

57. Nous remarquerons en passant, que si, dans la pratique, il s’agissait de trouver l’angle B au moyen de l’hypoténuse a et du côté c adjacent, on aurait à résoudre l’équation

cos B = cot a tang c ;

mais dans le cas où l’angle B serait très-petit, les tables ne pourraient le donner exactement par son cosinus. En le déterminant au contraire par la tangente de sa moitié, on aura toute l’exactitude requise. Or, à

cause de tang2 { B = on a, en substituant pour cos B sa valeur,

tang a — tang c sin (a — c) tang a -b.tang c sin [a H- c) 1

tang2 i B =

tang c

tang a

tang c tang a