RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES ORLIQU ANGLES

64. La recherche des formules pour la résolution des triangles sphériques en général, ne donne lieu à aucune difficulté d’analyse. D’abord, des équations fondarrtfcntales (a) l’on tire

cos a — cos b cosc sin b sine cos b — cos a cos c sin a sin c

cos c — cos a cos b sin a siné

Chacune de ces équations fait connaître un angle d’un triangle sphérique, lorsque les trois côtés sont connus; mais comme elles ne se présentent pas sous une forme commode pour les logarithmes, il est Nécessaire de leur faire subir les transformations suivantes.

D’abord remarquons qu’à cause de I — cos A = i sin 2 £A et de i -+- cos A ■= i cos2 ^A, les relations (jS) fournissent ces six autres:

cos A = cos B = cosC =

cos(6 — c) — cosa . 2 i l

i — cos A = — - = 4 A ,

sin b sin c 2

cos(a — c ) — cos b . .

i — cos B = - -A . — — = 2Sin2±B,

sin a sin c 1

cosfa — b) — cosc 2

, — — - - Ç— - - = o. sin

sin a sm b

i — cosC = — — 4— — = 2sin24U,

sin a sm b

cos a — cos (b-+-c) , , .

I COS A = - r-r-é - = 2COS24A,

sm b sin c 1

cos b — cos(a-f-r) 2 .

i -t- cos B = - . . ' = acos2|B,

i —j— cos C — —

smasme cosc — cos(a-h^)

‘icos2|C;

puis décomposons en facteurs les numérateurs des seconds membres en vertu de la formule rappelée précédemment, il viendra

sin 2 -J- A = sin2| B = sin 2 \ C = cos2 ! A = cos 2 \ B = cos2{C =

. la -\- b — c\ . la -\- c — b\

Sln ( \ 1 sin y ; )

sin b sin c

. la + b — c\ . lb + c—a\

sinV — s — ; s,n i — ^ — ;

sin a sine

. la-hc — b\ . lb-\-c — a\

sm( — r;-)sinl — ; — )

sia» sin b

. /o + é+ c\ . fb -+- c — a\

s'°( — — ) sin b sin c

Sm( - à ) Sm \ -

sin a sin c

. /fl + i + A • la -h b — c\

sin ( — ^ — ; 8111 y —

sin a sin b

Ces six valeurs peuvent se combiner de plusieurs maniérés différentes. En divisant l’une par l’autre celles qui se correspondent, on trouve

tang2£A = tang2 |B = tang2^C =

sinÿ(a-b& — c) sin 7 (a -h c — b) \ sin { (« H- b H- c) sin ±(b -+- c — a)7 j

sin 4- (fl -h b — c) sm\(b + c — fl) \(yf\

sin ÿ (fl -4- b-\-cj sin 7 (fl H- c — b)7 sin-jfa -f- c — b ) sin ±(b -h c — fl) 1

sin -j- (a -f- 6 -b ’c) sin -J- (fl -b ^ — c)’ J

Ainsi l’on pourra obtenir un angle d’un triangle sphérique en fonction des trois côtés, en calculant le sinus ou la tangente de la moitié de cet angle.

Maintenant, en multipliant deux à deux les relations (y), on trouve