TEMS VRAI

tems de la pendule 6 . 29 . 29, 56

retard absolu o • 1 5 . 29, 66 .

3o5. Une horloge réglée sur les fixes, et à laquelle on ferait marquer 0*0' o" quand le point équinoxial du printems entre dans le méridien , donnerait en tems , l'ascension droite de tout astre au moment où il serait au point culminant, c'est-à-dire à sa plus grande élévation au-dessus de l'horizon. Ainsi , en prenant dans la Connais-' sance des Tems le complément à 24 heures de la distance de l'équinoxe au Soleil, pour un jour proposé , on aura son ascension droite pour ce jour-là, ou, ce qui est de même, l'heure que l'on doit compter à midi vrai à Paris, sur l'horloge des étoiles. Il résulte même de cette remarque un moyen très simple de faire mafquer à l'horloge réglée sur les fixes, 0*0' 0'% lorsque l'équinoxe passe au méridien; car si, avec une lunette méridienne ^ l'on observe une étoile lors de sa culmination , et que l'on mette en même tems le pendule de l'horloge en mouvement, les aiguilles du cadj^an étant préalablement fixées sur l'heure, la minute et la seconde données

ii4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

par l'ascension droite de l'étoile; cette horbge sera réglée comme oo le désirait.

A défaut de lunette niéridienne, on aura recours à la méthode des hauteurs absolues ou correspondantes du Soleil ou des étoiles , et par là on connaîtra la marche de l'horloge. Supposons, dans cette circonstance, que le midi vrai ou apparent arrire un certain jour a io*4i'3o'' en tems de l'horloge réglée sur les fixes, et que l'ascension droite du Soleil, à cette époque, soit de 6*ao' lo"; alors l'horloge aura marqué au moment du midi, 4*ai'Qo''de plus que l'ascension droite du Soleil. Pour la retarder de cette quantité , on pourra faire marcher un compteur^) d'accord avec elle ; ensuite , l'on comptera les secondes qui s'écoulent du moment où l'on arrêtera le pendule de l'horloge, et l'on fera rétrograder les aiguilles de 4l^iq'2o" seulement, afin d'avoir tout le tems de faire cette disposition ; enfin à l'instant où les lao'' ôtées de 4^i2i'ao'' expireront sur le compteur^ on remettra le pendule en mouvement : par ce moyen la présence du point équinoxial an milieu du ciel, sera, à l'avenir, annoncée par l'horloge à o^o'o^% on, ce qui est de même, à ia\ Néanmoins l'on ne pourra se dispenser de vérifier de nouveau la marche de l'horloge , lorsqu'il s'agira , par la suite , de &ire des observations importantes; d'abord parce que l'ascension droite apparente des étoiles change peu à peu, en vertu du mouvement des équinoxes sur l'écliptique, de -la nutation et de l'aberration (art 34 et suivans); ensuite, parce que la marche de l'horloge pourrait avoir été altérée par quelques causes physiques qui ne seraient point jdécélées^ ou dont il serait impossible d'évaluer les efièts.

Les opérations précédentes peuvent être récapitulées et abrégées ainsi qu'il suit :

1*. Pour régler mie pendule sur le tems sidéral par Je Soleil; |»renez des hauteurs absolues du Soleil trois ou quatre heures avant ou après midi ; calculez l'angle horaire (art. 3oi)^ cherchez dans la €jonnaissance des Tems la distance Z de l'équinoxe au Soleil, pour l'intfant de vos observations; prenez le complément à a4^ de cette

(**) Le compteur est une petite pendule qui sonne et marque les secondes seule- Wment ; il est sur*tout utile quand on est obligé de faire des obsnryatioDS. astro- «oinîqQts nn peu loin de Tborloge.

distance; alors le tems sidéral sera

P désignant Tangle horaire réduit en tems, et compté de midi. Soit rie tems de la pendule pour l'instant de Tobservation,

(a4* — 2=fP)— r

sera la correction de la pendule. Si Tobservation est faite ayant

midi, le tems sidéral \ . . . =z= (24'^ — 2 — P)

et après midi, ce tems = (2.4* — 2 -f- P).

En répétant les mêmes opérations plusieurs jours de suite , vous saurez si la marche de la pendule est trop lente ou trop rapide.

a*. Par les étoiles; prenez des hauteurs d'une étoile, et calculez Pangle horaire comme ci-dessus, après avoir cherché la déclinaison apparente de l'étoile par le procédé de l'art. a8i.

Soient touj ours P l'angle horaire trouvé, et yft l'ascension droite de l'étoile, pour le )our de l'observation, corrigée de l'aberration et de la nutation, art. a8i. Cela posé, si les hauteurs ont été prises à Torient, le tems sidéral = (A — P).

Si au contraire elles ont été prises à l'occident, le tems sidéral ,...=: (A -h P).

Soit T le tems de la pendule ,

sera ce qu'il Êiut ajouter au tems T', pour avoir le tems sidéral.

Ces opérations, fiiites plusieurs jours de suite, montrei'ont si la marche de la pendule est trop lente ou trop rapide; et il est évident que, par cette méthode, comme par la précédente, le mouvement de la pendule est comparé à celui du point équinoxîal.

Remarques sur la méthode des hauteurs absolues.

3o6. Il n'est pas inutile d'apprécier le degré d'exactitude que l'on peut obtenir dans le calcul du tems absolu. Or^ dans le triangle sphérique ZPS (fig. 16), on a

cos ZS = cos ZP cos SP + sin ZP sin SP cos P,

ou, d'après la notation adoptée dans l'art. 3o2,

cos ^= cos Ccos A 4- sin Csin A cos P.

Différenciant, en faisant seulement varier la distance zénitale .^ct l'angle horaire P, il vient

Jp— dNiinN .

8in C sin A sin P

mais le même iriangle donne, en désignant par Z Tazimut de l'astre,

sin A^ sin A sinP a'mZ*

donc

sin Csin ^

Il résulte de là que, pour une même valeur de dNj la variation dP d'angle horaire sera d'autant plus petite que sin Z sera plus grand. Mais cette dernière quantité atteint son maximum quand l'azimut ^=:go'. Par conséquent, l'instant le plus favorable à la détermination de l'angle horaire a lieu lorsque l'astre est dans le premier vertical, et qu'il a d'ailleurs un mouvement rapide. Il n'est pas toujours possible de profiter de cet instant; mais en choisissant un asti^e qui ait une petite déclinaison et qui soit éloigné d'environ 45''. du méridien , il donnera l'heure avec précision.

La formule diflcrentielle précédente, en l'écrivant ainsi,

rfiV^=rfPsin^sinC,

donne en outre la démonstration du {u^cipe sur lequel est fondée la méthode d'observation actuelle, savoir : que les hauteurs d'un astre prises loin du méridien, croissent proportionnellement au tems, et qu'ainsi la moyenne de ces hauteurs correspond exactement à répoque moyenne. En effet, lorsque sin Z diffère peu de l'unilé et que la série est de courte durée, comme de 8 à lo minutes, la variation qu'il éprouve n'a pas d'influence sensible sur la valeur du facteur sin Z sin Cj ou, ce qui est de même, la variation en hauteur dN croît proportionnellement au tems dP. Mais lorsque sin Z est très petit, la valeur de c/iV^ augmente comme le quarré du tems, puisque, dans ce cas, Z est proportionnel à P. En général, pour connaître la durée qu'on pourra donnera une série de hauteurs ou de distances zénitales d'un astre, on calculera d'abord parla formule rigoureuse

cos N — cas A cos C

cosP s

sin ^ sin C

la yaleur de P correspotidante à la valeur moyenne de IT\ puis feisant varier P de la moitié de Tinter valle de cette série, on déterminera iV^ par cette autre formule rigoureuse,

cos IV = cos P' sin a sin C ■+• cos a cos C

P' désignant le nouvel angle horaire : on aura, par ce moyen, iST'— -i^ srs dN. Ensuite, on calculera c/iVpar la formule approchée ci-dessus, en prenant pour P et jV leurs valeurs moyennes, et s'il arrive que ces deux valeurs s'accordent à -^ de seconde près , dn sera en droit de considérer la distance moyenne, lue sur le limbe, comme correspondante à l'époque moyenne des observations (^jtronom. physiq., tom, I , pag. 396).

S07. Quand on désire connaître le tèms vrai avec une grande précision, et par des distances zénitales observées avec le cercle de Borda, on groupe les observations de deux en deux, afin d'avoir une distance moyenne et un tems moyen arithmétique entre ceux des deux tems donnés par la pendule ; ensuite on détermine l'heure .vraie correspondante et la correction de la pendule, comme nous venons de l'enseigner. Cette méthode se présente naturellement à l'esprit, et elle a l'avantage, malgré sa longueur, de faire juger tout d'abord de la justesse des résultats partiels. Par exemple, si l'on a fait dix observations conjuguées, on aura dix correctiens de la pendule, dont le milieu sera la correction pour l'instant moyen entre toutes les observations; et à moins d'erreurs de calcul, ces dix corrections partielles suivront la marche connue de la pendule, c'est-à-dire qu'elle croîtront ou diminueront si la pendule avance ou retarde ; qu'elles seront constantes , si la pendule est exactement réglée sur l'astre.

Il faut toutefois Êdre abstraction des petites discordances dues aux observations, car on estime difficilement l'instant précis du contact dans une lunette qui grossit peu ; d'ailleurs le mouvement de Fastre dans le sens vertical étant bien plus lent que le passage par les fils d'une lunette méridienne , il est rare qu'on puisse connaître le tems plus exactement qu'à la seconde.

Ces discordances ne viennent pas seulement de l'incertitude sur le tems du contact; quelques-unes résultent en part|e des erreurs de la division, sur-tout vers le commencement d'une série. Mais si

iiS TRAITÉ DE GiODÉSiE.

une double distance se trouve trop grande^ la suivante sera très probablement trop faible, et ronaura lieu d'espërer que rerreur disparaîtra presque entièrement du résultat.

Telles sont en substance les remarques mêmes de M. Delambre, sur la méthode actuelte, émt il a été Ëiît un fréquent usage dans la mesure de la méridienne {Connaiss. des Tems pour iSâopag. 558). Mais ce savant astronome s'est aperçu qull pouvait souvent se permettre de réunir les observations quatre à quatre , sans craindre de commettre une erreur qui passât un dixième de seconde de tems» et que même en partageant quelquefois vingt observations en deux groupes de six et en deux autres de quatre , les discordance étaient encore d'un ordre inférieur aux erreurs de l'observation. Nous nous appuyons de son autorité, pour prouver combien on doit être scrupuleux dans le calcal des observations astronomiques fiâtes avec le cercle de Borda.

5o8. Parmi les moyens qu'on a proposés pour réduire toutes tes distances observées, an tems qui tient le milieu entre tous les tems de la pendule , il en est un remarquable par son élégance et sa simpEcité ; c'^est celai que M. Soldner a décrit dans Tes Éphémérides de Bërttn pour 1818 , le voici :

Sbît, comme M. Ddambre (Connaissartce des Tèms pour i8ao), JBria hauteur du pôle, 2> la décfiDaison^^Tl'iangle au zénît ou Tazimut dcrSofeil, P l'angle horaire, -^ l'angle au centre du Soleil entre le vertical de cet astre et le cercle dedédrônisonj enfin JV la distance ténitalé : on aura généralement

cos2V=cosPcos JErcosZ)+ sînjfifsin Z> (i).

Si l'on suppose que la variable jY reçoive un accroissement queU conque AiV, l'angle horaire P, qui est fonction de*ceUe variable, ifugcnentera de ûlF. Quant aux quantités H et Dj nous les considérerons conune constantes, quoique dans la réalité Z7 varie tant soit peu pendant la durée d'une série ; mais si, en partant de L'époque moyenne^ il arrive que la variation en déclinaison , dans la première moitié de la série, donne un résultat trop fort, elle en donnera un trop faible dans la seconde moitié } on doit donc compter sur une compensation suffisamment exacte, à cet égard. Or, par le théorème delaylor,

AJV^« gp-ûP + gpî7:j + gp3^7^ + etc.;

^USartnchuat deux fois Téquation (1) ci-dessus, on a

dN %\n P C08 H coa D dp "^ sin iV •

- é^N C09 PcosHcosD ços JVsîn P cps gcoB D étt ^

bailleurs le triangle sphérique Z^P donnant

sin ^ cos D=z cos If sin Zy

din P cos Jï* = sin iV6iû ^, on a

r=: sin ^ oos Z?,

W cos /' coa JET cos D cosiNTcosPsin^cos JETainZ

AN

tmmammmm,mm»^m

• — sinJV aifiiV

coa JET cos D (cos P*— cos Nain A^\n Z)

êiuN

Mais (Paprês Part. 67 , cos P = siii^ smZ cos iV— cos ^ cos ^^ ainsi

<P1V ^^ — coi JET cos D cosjJcot Z

^ ^y jâJ'cosir'oos0'smP 1 a 7i« coa 2f cou D cos ^ cos 2 .

^^ = Snv » ^^ • ^N + «*C.

Nous négligeons le terme du troisième ordre , parce qu'on peut presque toujours s'arrêter à ce degré d'approximation, JLa distance zénitale corrigée sera donc de cette forme

i\r + AJW = 2V+ aAp — fc. îîî2lii^ + etc.,

en fiûsant attention que l'on a sensiblement ^ AP* =s asiil* 7 AP.

Chacune des distances zénitales autre que celle correspondante à la moitié de rintervalle , sera susceptible d'une réduction semblable et leur somme, en la désignant par le simbole 2 (iV-f- AiV), sera

2 (j^+ AiO = 2J\r+ aSAP — bt.^^^ + etc.

Soit O la somme des distances observées ss S (iV^+ àJtf), et n le nombre des observations} on aura évidemment, pour la distance fnoyeone,

- = — ih- 2AP 2.— 77--T H^tc.: •

iio TRAITÉ DE GÉODJÉSIE.

mais puisque Ton rapporte tout à riustaDt du milieu , le premier terme proportionnel à la première puissance du changement de Pangle horaire se compose de deux parties , dont l'une est nécessairement positive dans la première moitié des distances, l'autre Aégatiye dans la seconde moitié. Ainsi , la sonune des intervalles est égale de part et d'autre , et ce terme disparait entièrement; c'est en effet ce que l'expérience confirme. On a donc simplement

— s=-^ + -S.— .^ — >eta (2).

La distance — qui avait lieu à l'instant moyen ent^ii^feux qu'a

marqués la pendule , différera donc de la distance moyenne observée

—, de la quantité - 2, 22il-I.. On en fera usage pour calculer le

tems vrai, après quoi l'on aura la correction de la pendule, c'est-à-dire la difiërence du tems vrai de l'observation, à l'époque moyenne dp

la pendule. Mais le coefficient b = ^^'^^^^^^^^^ ^^^^ ^renferme

deux quantités ^, Z qu'il faut avant tout déterminer à la minute

seulement. Quant à la distance jV^ou— *, on peut, dans ce même

coefficient, la remplacer par la valeur approchée C-ji or, on a

fiiin ^ == -T-^, cos H^ sm Z = -7—5^ cos D\

et comme l'angle horaire est donné assez exactement par la marche de la pendule, supposée déjà connue assez bien, on a tout ce qu'il faut pour évaluer le coefficient h. Mais il restera encore à déterminer

la somme 2 (^^^j^v-); c'est ce qui se fera à l'aide de la table XVIII,

dont nous expliquerons la formation, en parlant des observations de latitude. Nous ferons remarquer seulementquant à présent, que les AP en tems s'obtiennent en prenant la difiërence de l'instant moyen des observations à chacun des instans observés.

II s'agit, pour déterminer le signe de A, de savoir si ^ et i? sont aigus ou obtus. Dans notre climat, l'angle A est toujours aigu; mais l'azimut Z est obtus une grande partie de la journée : il l'est tou«jours quand la déclinaison du Soleil est australe; mais si elle est boréalcf, l'azimut Z peut être aigu quand le Soleil est peu élevé sur

Wiorîzon; enfin, cet azimut est toujours droit qus^nd le Soleil passe; au prenaier vertical. On lève toute incertitude à cet égard, à Faide de la formule cos P :t= tang D cot H^ qui fera connaître Theure de la journée où Pangle Z est droit.

Une autre manière de procéder, selon M. Soldner, est de calculer

à la foisi^,^,Z d'après les troià données J , Z>, ^j la déclinaison D

étant toujours celle qui correspond au milieu de la série.* L'angle horaire P ou le tems vrai auquel on parvient ainsi, n'est qu'approché; mais on le corrige ensuite en cherchant l'efifet que peut

produire sur l'angle horaire le petit changement ^ 2 (^^^^^ de distance zénilale. Or, on a, par ce qui précède,

cos H cofl D «in P*

Remplaçant dans cette formule différentielle, la variation i/if par sa valeur

T ^2îΣ!Ll^^ coa jycos D coa A cos Z \ nsini" / smN ^

on a, après avoir simplifié,

\ /isin i / ÈinP ^ '

dp

La correction du tems approché sera donc -7-. Il faut , dans le

calcul de cette dernière formule , iàire attention aux signes des Ugnes trigonométriques. -On remarquera que sin P est positif après le passage au méridien , négatif avant ce passage. Quant aux signes qui doivent affecter cos ^ et cos Z, on se rappellera ce qui a été dit plus haut à cet égard.

Sog. M. Delambre compare numériquement la méthode ordinaire à celle de M. Soidner, et fait voir qu'il est presque aussi wnple et tout aussi exact de eonclure la correction moyenne de la pendule des résultats partiels fournis par les observations groupées quatre à quatre^

Par exemple, l'heure moyenne entre vingt observations s'est trouvée de 5^5S'5&'^q5 dans un lieu dont la distance du pdie au zénit est !• 16

de SgT ic/9o'',i ; la distance zénitale moyenne du *0 > corrigée de la réfraction et de la parallaxe, de Si^'aé'?''; la déclinaison du Soleil pour l'instant moyen, de ax*a6'4o''; d'où il est aisé de conclure, par la méthode de l'art Soi , que l'heure correspondante à la distance

moyenne, était. 3*36' 58"i3

mais l'heure moyenne de la pendule était 3 • 38 . 36,95

donc la correction résultante serait i . 58,83 .

£p réunissant les (^seryations quatre à quatre, on a eu ces résultats partiels :

NOMBRE

des obserrat.