CHAPITRE IV

Des observations et du calcul des latitudes.

5io. JLa latitude d'un lieu terrestre, ou la hauteur du pôle, se détermine par des hauteurs du Soleil ou des étoiles j mais on choisit ordinairement, pour Êdre ces observations, une des étoiles circompolaires; parce que si, pen^nt une longue nuit, on observe sa plus grande et sa plus petite hauteur , c'est-à-dire ses deux passages au méridien , la demi-tomme de ces hauteurs , diminuées .chacune de la ré/raction , sera la hauteur du pôle cherchée.

La méthode actuelle suppose que l'on a invariablement fixé un quart de cercle dans le plan du méridien , en l'adossant contre une muraille , instrument que l'on nomme pour cette raison un mural: mais les ingénieurs-géographes étant obligés d'observer dans des lieux où il serait souvent fort difficile et très dispendieux de fiiire établir un pareil instrument, se servent plus commodément du cercle répétiteur, qui a d'ailleurs l'avantage exclusif de donner, par des observations multipliées et dans une seule nuit , la latitude avec une très grande précision. A la vérité, les distances au zénit observées avec ce cercle ne sont pas prises dans le plan du méridien j mais on les j réduit par la méthode suivante.

Cêrrection des distances au zénit, observées près du méridien.

Sait Z (fig. 17 ) le zénit de l'observateur, P le pôle, E l'étoile supposée très prèff du méridien ZP ; PE sera la distance de l'étoile au pôle, ou le complément de sa déclinaison, ZE sa distance au zénit observée.

Prenons Pe = PE^ Ze sera la distance au zénit telle qu'elle aurait été observée dans le méridien; et comme, pour le cas de la figure, ZE> Ze, soit ZE^Ze-^ x.

D'ailleurs

Ze^ZP'~PE={i<i^L)^(i<^^D)^D'^L'y

D étant la déclinaison de l'étoile £, et H^la latitude du lieu Z; donc

Le triangle sphériqae ZPE donne

cos ZE = cos PE cos PZ + sin PE sin PZ co^ P, ou

cos (Z? — . ^-f. x) = sin D sin JT+ cos D cos jfïcos P j mais à cause de cos P = i — a sin' f P, on aura

cos(Z? — J5r-|-x)=sinZ?sîniï-f-cosZ>cosjEr— acbsZ^cosJîsîn'iPj

ou bien

cos {D — H+x) = cos (Z? — jH) — acos /> cos Jf sin» i P.

Soient, pour abréger, — acos Z> cos JTsin* J P = g et Z? — J5f = A\ on aura

(x) cos (-^ H- 5c) — cos A=^q.

Parmi les méthodes propres à fournir la valeur de x^ nous choî-* sirons celle de l'art, loa, qui est applicable en cette circonstance , puisque g est fonction de x, et que ces deux quantités s'évanouissent' en même tems. U s'agit donc, dans la série

de remplacer les coe£Biciens dififêrentiels déduits de la relatioa (i). . Or, en général

Mais ici ces valeurs devant correspondre à x = o ^ on a

(dx\ ^^ 1 __ 1

rfiyy™ 8iiiurf~ 8iii(D— iï)> /cPj:\ — cot^ ~oot(D — iSQ

et par conséquent en secondes de degré,

* — aio (/>-&) liai' "~ ï^ùn(£)-fl)imi'>/ «>H^— -«;8"» 1 -Ci;.

m6 traité de Géodésie.

Le second terme m calcule fitcilement à l'aide da premier, qui le plus souvent suffit.

A la seule inspection de la figure, on voit que la valeur dex^ donnée par la formule ci-dessus, se retranche de la distance observée y quand Fétoile passe entre le pôle P et le zénit Z ; ainsi Toiif *a Ze=iZE'^x. Si au contraire elle passe au-dessous du pôle , la valeur de x conservera les signes qu'elle a plus haut; mais au lieu de (Z? — //) , on mettra (Z) + Jtf), parce qu'alors Ze=^ ZP + PB

Enfin , si l'étoile passe au midi du 2;émt, auquel cas2^e;^ PE'^PL Tsz H — /?, il Êiudra changer les signes de la valeur de x, et mettre If -^ D k la place de D — jfif; ainsi l'on aurait, pour le Soleil comme pour une étoile,

y=s— V ,„ rv. ' '' ^il fil r>N ' — r |Cot(/f— /))smi''...fa)r

am (£i — Z>)sini * ^[^s\n{H-^D}»ini ^ ^ ' ^ ^^

en ayant cependant le soin de changer le signe de D quand la déclî- Qaisop de l'astre est australe.

Soit que l'on ait Finteutioa de calculer directement la valeur deXy soit que l'on veuille former des tables de réduction pour les étoiles que l'on aura choisies , il faudra connaître à fort peu près la latitude* du lieu. Si donc elle ne peut être conclue des opérations géodésique» (art. iga), on considérera le& distances au zénit observées à l'orient et à l'occident, et fort prés du méridien, comme ayant été prises daos le: Hiéricâefi même, et l'on en conclura la latitude approchée du lieu.

Supposons, par exen^le , que l'on sache par la méthpde de l'art. 981 , à queHe heure l'étoile polaire passera au méridieii un certain pur, et que vers l'instant de ses passages supérieur et inférieur on ait observé ses deux distances au zénit, ainsi que l'état du baromètre et du thermomètre; on aura la latitude approchée ainsi qu'il suit :

Passage supérieur. Passage ioférîeiir.

Soit , distance apparente ao zénit . 43^79801 47'64a5o

Réfraction vraie 0,01496 0,01707

on aura , distance vraie ^. . . . 45'8iag6 47^5967 ;

d^onc , demi^somme , ou distance vraie du pôle au zénit 45^23636 donc enfin, complémi. de cette demi-sorame , ou lalit. 54; 76^74 .

5ii. Le calcul des tables par la foimule donnée plus haut est asseï feciie ; car sin^ ^ jP et sin^ ^ P étant les seules quantités tariable% il s'ensuit que quand on aura le logarithme du premier nombre de la table , les logarithmes de tous les autres nombres s'obtiendront eik ajoutant successirement les différences des logarithmes de sin* i P etsin^iP-

Prenons pour exemple l'étoile polaire qui, comnie le dit M. De« lambre, semble mériter la préférence parmi celles que Ton peut choisir pour les observations de la hauteur du pôle. On délertninera d'abord la latitude approchée pour le lieu de l'observateur, par le procédé précédent, et la déclinaison apparente de l'étoile, selohla méthode de l'art a8i. Une erreur de quelques secondes sUr ehacua de ces élémens n'est d'aucune considération*

Supposons que la latitude ;H^ = 46* 10' 4o'' , et que la déclinaison Z?= 88.i5.5o

on aura D — H mz 4a' a' 5o"

i? + jH^=a x34.a4.io- 45*36'6o".

Ensuite le calcul des facteurs constans de la formule (1) se féfa ainsi qu'il suit : !

PaïaagB rapérîcur. Paistge toférieur.

Li • o,3oio3 ' . . , »

c. sin 1" 5,3i445

cos D 8^49101

cos H 9,84o37

c.sin(/> — H) 0,17409 c.sîn(Z)4-^ o,i46o4

I II ■ ; I I I ^ ■ ; a

log a — 4,12093 . log a rj-, 4(99388.

a loga + 8y94i86 a toga *— 8,18576

logT 9,69*97 ^«©9897

l.sini" 4,68557 4,68557

cot {D -^H) o,o4484 cot (1? -+• ^) — 9,990^ log h -f- 2,67124 log b + âf,50i24.

Il ne s'agit plus, pour calculer la table de réduction, tant le passage supérieur que pour k passage inférieur^ qf» d'ajouter

laS TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

«uccessirement à ces logarithmes constans les di£fêrences logariih-^ miqaes de sin* ^ P et de sin^ j P^ comme nous rayons déjà iâit obserrer, et comme on peut le voir par Texemple de ces additions, mia à câté de la table XYII, a« partie.

Four le passage supérieur, la réduction est soustractire; parce que le second terme, quoique positif, est toujours plus faible que le premier, qui, dans le cas actuel, est négatif.

Four le passage inférieur , le premier terme est positif, et le second Test aussi; parce que />+ /Test toujours plus grand que 90* : ainsi la réduction est additive.

Quoique pendant l'obseryation d^une même étoile, la déclinaison D varie par la précession, Taberration et la nutation, Ton peut regarder cette déclinaison comme constante, dans l'intervalle de trois à quatre mois; mais après ce tems il faut refaire la table, ou la corriger par les formules que M. Delambre a données (page 5o de son Mémoire cité).

Ce célèbre astronome, à qui appartient la méthode précédente^ prescrit de faire pour tout l'intervalle de l'observation d'une même étoile, un tableau qui donne de dix jours en dix jours la position apparente de Tétoile , c'est-à-dire son ascension droite en tems , et sa distance au pôle à peu prés connue , affectées l'une et l'autre de la précession, de l'aberration et de la nutation (art. a8i). On conçoit en effet qu'avec ce secours le calcul est plus facile et moins sujet à erreur.

On évite des corrections trop fortes , en observant peu de minutes avant et après le passage au méridien.

5iA- Il n'est pas nécessaire de noter chaque distance au zénit, prise avec le cercle répétiteur, parce que l'on perdrait un tems précieux, qu'il convient au contraire d'employer à multiplier les observations autant que possible ; mais l'on tient registre des instans des observations données par la pendule (art. ia6), afin que la comparaison de ces instans avec l'heure du passage de l'étoile au méridien (art. â8i ) donne les angles horaires P , avec lesquds on cherchera dans la table les réductions correspondantes. La somme de toutes ces réductions, divisée par le nombre des observations, sera la réduction moyenne que l'on retranchera (pour un passage dopérieur) de la moyenne entre toutes les distances observées, c'est-

à-dire de l'arc total parcouru, divise par le nombre des observations ; le reste sera la distance apparente telle qu'elle aurait été observée vxL niéridien. Ces remarques seront mieu^ saisies, si l'on jette ua coup-*d'œil sur le tableau suivant, entrait du Méoioire cité 4^ M. Delamlire.

POLAIRE. PcLssage supérieur, 11 décembre 1796/ '

Ascension droite apparente. . . . o* 5i' 55*

La pendule , réglée sur le teros jydéral^ art. 11 et 3o3 y retardait de o. 1. o

Passage au méridien , en tems de .

la pendule. •• • o.5o.55 -

Barom. a/ff* o"** Thenh. —-S*