DEUXIÈME MÉTHODE

Par les observations des éclipses des satellites de Jupiter^ oupar

les signaux de feu.

345. C'est sur-tout de Tobserration des éclipses fréquentes des satellites de Jupiter, que les astronomes déduisent ayec exactktide la dificrence des longitudes de deux lieux terrestres; difiereao&qui est celle même des heures que Ton compte sur les méridieBi, i Finstant du phénomène. Deux circonstances sont propres à 6ire connaître cette différence des longitudes; Tune est l'immersion» c'est l'instant où le satellite entre dans l'ombre de Jupiter et disparait; l'autre est l'émersion, c'est l'instant' où ce sateUite sort de Pombre et reparaît. La prédiction de ces phénomènes, pour le méri(lien de paris, se trouve dans le livre de la Connaissance des Tems, à fir 7« page de chaque mois ; et comme les positions des satellites à l'égard de Jupiter^ ainsi que leurs configurations, sont indiquées dans le même livre, il est inutile de donner ici des explications à cet égard.

Ces sortes d'observations se font avec une grande facilité , au moyen d'une lunette astronomique d'un mètre environ, ou d'un télescope de 6à 7 décimètres de foyer, ou même d'une lunette des passages portative. Il faut d'abord déterminer exactement la marche delà pendule, par rapport au tems moyen, par l'un des procédés des art. 293 et suiv. ; ensuite, pour se préparer à l'observation de l'écIipse, savoir à fort peu près l'heure à laquelle elle aura lieu, et cela en ajoutant au tems moyen de ce phénomène, indiqué par les tables, la différence approchée des longitudes, si l'on est à Torient de Paris; ou bien en la retranchant, si l'on est à l'occident.

Une seule observation ne pouvant être assez concluante, on en recueillera un grand nombre; alors la moyenne des résultats partiels sera la différence de longitude la plus probable.

LITRE CINQUIÈME. iW

Malgré la précision ayec laquelle les tables des deux preimers satellites de Jupiter ont été calculées dans ces derniers tems, il est encore plus sûr de conclure la différence des longitudes d'obserya^ tions correspondantes faites sur ces deux satellites. Par exemple , à Cumana, capitale delà nouvelle Andalousie, M. de Humboldt observa, le la novembre 1800 au soir, Timmersion du i*' satellite à 4*iG'56^ du chronomètre, ou à ii*56'i8",7 tems moyen, parce que le chronomètre retardait alors de 7*59'22",7. Au même instant physique, M. Triesnecker observa cette immersion à Vienne, le i3 novembre au matin, à 5*i8'2o"^7 tems moyen.

Il suit de là, que la différence des méridiens de Vienne et de

Cumana , qui est à l'ouest = 5* 22' a"* t. raoy.

mais la longit. de Vienne comptée de Paris = 56. 10, est.

donc LONGITUDE de Cumana comptée de " même, est de 4.25.52 ouest.

Le 1 5 au matin, M. Méchain observa

rimmersion à Paris à 4^ 2a' i7''7 t.moj.

M. de Humboldt à Cumana à 11. 56. 18,7

donc, LONGIT. de Cumana , comptée de Paris = 4 . 25 . 59 ouest. Enfin, le i3 novembre, M. Flaugergues

l'observa à Viviers à 4*3i' 35" tmoy.

M. de Humboldt à Cumana à 11 .56. 18,7

donc, longitude de Cumana, comptée du

méridien de Viviers 4«55.i6,5 ouest

Mais longitude de Viviers est g . 24 est

donc LONGITUDE de Cumana = 4* 25' 52"3 ouest.

Le terme moyen de ces trois réaultats est. . 4* 25' 54"4.

Mais M. de Humboldt ayant fait beaucoup d'autres observations astronomiques dans le même but, il en est résulté, pour la longitude de Cumana , 4* 26' = 66* 3o'o" ouest de Paris.

Les observations correspondantes dont il s'agit ne sont parSiitement comparables entre elles , que quand le phénomène céleste est annoncé au même instant physique par chaque observateur. Mais si l'un d'eux reçoit Timpression du phénomène quelques s^ coudes plutôt ou plus tard que l'autre, ce qui peut arriver si leurs lunettes ne présentent pas le même grossissement , et si leurs vues

f84 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

60Dt différentes, il importe d'avoir égard à cette circonstance dans la comparaison des observations , sur-tout si l'on a pour but d'ob* tenir par ce moyen l'amplitude d'un arc de parallèle terrestre.

546. Un phénomène terrestre instantané , qui serait vu de deux lieux peu distans l'un de l'autre, suppléerait avec avantage aux phénomènes célestes. Or, si, sur un lieu élevé et pendant une nuit sereine, l'on dit, à diverses reprises, enflammer en plein air un ou deux kilogrammes de poudre à canon , et que deux observateurs munis chacun d'une pendule, et placés aux lieux dont ils veulent connaître la difierence de longitude, observent les apparitions de ces feux y apparitions qui seront subites pour de petites comme pour de grandes distances, à cause de la prodigieuse vitesse avec laquelle la lumière se propage 3 le milieu des difierences entre tous les tems correspondans des deux pendules réglées de la même manière, sera la différence de longitude cherchée. Si l'arc dont on veut mesurer l'amplitude était fort grand et qu'un seul feu ne sufi^itpas,on en ferait plusieurs ; alors la somme des amplitudes partielles serait la différence de longitude des stations extrêmes : cela est de toute évidence.

C'est à l'aide de l'un de ces moyens que l'on fixerait la position respective de deux lies voisines dont on aurait formé la carte ^ et que l'on ne pourrait lier par des triangles.

Les signaux de feu ont été employés eh France pour la première fois, par Cassini de Thury et Lacaille, en 1740, à l'occasion de la mesure de deux degrés de longitude aux environs de Marseille. Ils ont été dans ces derniers tems renouvelés avec succès en Allemagne; et c'est par leur secours que M. de Zach,en 1810, est parvenu à déterminer avec beaucoup de précision la différence des méridiens de N.-D. des Anges et de l'Observatoire de Marseille. La moyenne entre 65 observations lui a donné cette différence de a9",95 entems, et il est remarquable que la plus grande discordance entre les résultats partiels est un peu moindre que a" {Attraction des Montagnes, ' ,tome I, page i55). L'expérience a prouvé à ce célèbre astronome qu'une demi -livre de poudre (a44 grammes ^) produit un feu visible k plus de nb myriamètres. Il n'est pas même absolument nécessaire que le foyer de la flamme soit aperçu des stations dont 00 ct^erche la différence de longitude, car l'éclair qui se forme peut.

en se reflétant dans le ciel , être visible à une très grande distance. Mais a est important de noter l'heure, la minute, la seconde et fraction de seconde de l'instant de la première impression du feu, dont la durée est d'autant plus longue que l'on emploie une plus ^ande quantité de poudre.

TROISIÈMJB MÉTHODE.

Par les éclipses.

347. Les éclipses de Soleil et les occultations des étoiles par la Lune sont très propres à donner avec précision les différences de longitude des lieux éloignés où elles ont été observées avec soin. Toutes les méthodes de calcul qui se rapportent à ces phénomènes, sont fondées sur la détermination de la distance angulaire apparente des deux astres qui se superposent. Cette distance, considérée au même instant physique, n'est pas la même, à cause de la parallaxe, pour tous les points de la Terre où l'on voit réclipsc. En eflfet , le commencement ou la fin de ce phénomène se manifestant pour un point particulier de la Terre , lorsque les deux astres paraissent en contact, il arrive en général que leurs disques, relativement à tout autre point du globe , ne s'atteignent pas encore , ou que l'un anticipe sur l'autre. C'est ce qui fait que le problème des longitudes géographiques , par les éclipses de cette espèce , est un des plus compliqués de l'Astronomie pratique.

Lagrange a publié, sur cette matière , deux Mémoires très înléressans, l'un dans les volumes de l'Académie de Berlin, année 1766, l'autre dans les Éphémérides de cette ville pour Tannée 1783. Ce second Mémoire a été reproduit dans la Connais, des Tems^oxxT 1817. I«a méthode que cet illustre géomètre a exposée dans celui-ci , étant considérée analy tiquement , ne laisse rien à désirer; mais, sous le rapport de la pratique, elle n'a pu obtenir l'assentiment de tous les astronomes, à cause de l'extrême longueur des calculs qui en dépendent. Nous nous proposons d'exposer ici cette méthode , mais nous tâcherons de la simplifier de manière à la rendre susceptible d'ofirir les mêmes avantages que celles dont les astronomes font habituellement usage.

Supposons, comme à l'art. 268, que les points de l'espace soient rapportés à trois axes rectangles, et que le plan des x, y soit celui

i86 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

de récliptique. Adoptons en outre une notation analogue à celle de eet article, c'est-à-dire désignons par /, X la longitude et la latitude vraies de la Lune ou d'un astre ^; Zi , A la longitude et la latitude vraies de Tastre occulté B i gj h l'ascension droite et la déclinaiison du zénit; 72, 9 la longitude et la latitude du zénit;

4? * la parallaxe horizontale de la Lune et celle de l'astre occulté; r la distance du centre de la Terre au centre de la Lune j r' la distance de l'observateur au centre de la Lune; / le rayon terrestre à la latitude J3'; r, A" la longitude et la latitude vraies du point C de contact d'un plan tangent à la sphère céleste ; 01 l'obliquité apparente de l'éclip tique; enfin, appelons 2' la distance apparente des centres des deux astres; et supposons que les troispoins^,^, C soient dans rhémisphère boréal.

Choisissons maintenant un nouveau système d'axes rectangulaires, ayant toujours pour origine le centre O de la Terre (fig. 27); mais supposons l'axe des x" dirigé vers un point C arbitraire de la sphère céleste, dont la longitude et la latitude soient T, A"; prenons pour axe desjj^" la droite OD dans le plan même de l'écljptîque, et pour axe des z" la droite OE perpendiculaire au plan des x"y .

Cela posé, si l'on mène par l'origine O des coordonnées une droite égale et parallèle au rayon vecteur apparent r' de la Lune, les équations de ce rayon vecteur seront en général , par rapport aux nouvelles coordonnées,

Celles du rayon vecteur apparent jR' de l'astre occulté seront de même

ainsi la tangente trigonométrique de l'angle Z' de ces deux rayons , ou de la distance angulaire apparente des centres des astres, sera, comme l'on sait,

expression dans laquelle il ne s'agirait plus que de remplacer P', Q',

p\ ql par leurs valeurs, si elle n'était d'ailleurs susceptible d'être considérablement simplifiée. Mais voyons auparavant quelles sont ces valeurs.

D'abord on a

et si l'on désigne par (r, x"), (^>yO) (^> O 1^^ angles que le rayon vecteur r fait avec les axes des x",y', z"; par a, i, c les cosinus de ces mêmes angles ; on aura visiblement , à cause des triangles spbériques ZAC^ ZAD^ ZAE^ ces trois relations (art, 54)

!a = cos (r, y!') = cos (/ — P) cos X cos A'' + sîn X sîn X*^, h = cos (r, y) = sin (/— V) cos A, c =3 cos (r, ;:'') s= sin X cos A" — cos (/ — l!) cos Xsin A",,

Par la même raison , on aura ces trois autres relations

= cos {f^ ^') = cos (71 — r) cos q cos X"-f- sin q sin A"^. = cos (/,yO = sin (71 — l') cos qr, j^ = cos {fy 2") = sin 9 cos X" — cos {n — /") cos 5 sin A".

Or, en projetant orthogonalement les rayons r, / et / sur les axes des *^, y, 2^', il est clair que

x,, = ar — et/, 7,, = ir— /3/, z,, = cr— j./; de là et de ce qui précède

n^ SS ^ s ^^""^ = *— ^ P , X, ûf — «ç û— ^y

' x^ ar-'^m^ a— •+

PareiUement, si l'on désigne par ^, JB, C ce que devientient le» relations ( 1 ) , lorsque l'on change / en L et X en A , OU aura , relativement à l'astre occulté y ^

jy .^ BR —fiç B-^fiir

^ •" ^fl — «c~^ — «**

'S^ étaiit le râ[ias de la plus grande parallaxe de hauteur de cet astre. On remarquera que les deuxsystèmesTl'équatioQS (i}> (â) satisfont

i88 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

aux relations suivantes :

a* + i* 4- c* = 1 , a* + jS* + >• = 1 , aa+Ji84-c>'5=co5(r,/)=cos(7i — AJcosXcosgf+sinAsin^;

et que la méthode analytique actuelle signifie, en Géométrie , que les lieux apparens des astres sont projetés perspectivement du centre de la sphère céleste, sur un plan qui la touche au point C.

348. On peut être curieux de trouver l'angle V^ que le plan du grand cercle, passant par les projections des lieux apparens sur le plan tangent, fait avec le cercle de latitude ;c V du point de contact Cj or, cela est facile, car soit en général

réquation du plan de ce grand cercle; les coordonnées des deux projections dont il s'agit étant visiblement, en prenant le rayon de la sphère céleste pour unité,

onaura ilf = ç'P'— /Q', N — Q'-.ç', P=/ — P'j et comme en général

cos V = ^

v/Af* + iv* + />•'

il viendra

séc T^ — ^(^^ - p'^y + «?^ - ^)' +1^''^=^??

Supposons maintenant que les projections des deux lieux apparens et le point C soient en ligne droite; on aura alors j'P' ssp'Ç', et de l'expression précédente on tirera

tang^ = ^^;.

Lagrange, en donnant cette valeur particulière de tang V' pour le cas général, a évidemment commis une inadvertance.

349. Toutes les formules de Part. 347 sont de la plus grande généralité j mais il en est quelques-unes qui se simplifient lorsque

tITRE CINQUIÈME, 189

fastre A^ par exemple» est dans la direction de l'axe des x" ou en C. En eSèt, on a dans ce cas / = /', A =: A", et par suite a =: 1 > r = o, c= oj enfiti,

ces deux dernières valeurs sont donc reffet de la parallaxe de Tastre ui placé en C.

Supposons au contraire que Taxe des yl' passe par le centre du Soleil ; on aura

/' = L, X'^ =s A = o, et par conséquent -^==1,-0== o, C = o.

Quant aux équations (i), (a), elles deviennent

!a ssz cos (/ — L) cos A, c A z= cos (n — L) cos qr,

J = sin (/ — L) cos A, (a') < jS = sin (w — L)cosy, c = sin A ^ l y s= sin q.

Malgré ces simplifications , la formule (M) serait encore beaucoup trop compliquée pour la pratique ; mais il est aisé de voir que , relativement aux éclipses de Soleil, cette formule peut être réduite à celle-ci :

(MO tang S' == V/(p' — P')'+(3' — </)•,

sans qu'il en résulte une erreur d'un dixième de seconde. Soit, pour le prouver,

V(/ — -PO' H- (5' -<?')'= tang (K

on aura , pour le Soleil ,

et par suite

tang 2' = ^^6^^0+/'«^°'^)^

Lagrange cherche, par un procédé très élégant,Ia difierence 2'—^ en série convergente, où la valeur du premier terme, dans les cas extrêmes; est moindre qiie js de s^onde. Pouf. parvenir ii cette

igo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

conclusion par une voie plus élémentaire et plus courte , prenons le logarithme de chaque membre de Péquation précédente , et développons : il viendra une série de la forme

log tang 2' = log tang a' — Kfcos s tang ^ + KJ^R — Kps. . •;

dans laquelle K =: 0)434ag4 est le module des tables. Or, le terme Kfcos s tang (t^ qui est le plus considérable de la série, acquiert ia plus grande valeur lorsque cos j =s i Tsoit donc a' s= 5"*; dans ce cas, la quantité /ne pouvant surpasser tang 8'',5, puisque pour le Soleil, n =: 8",5 à très peu près, on aura

Xytang 0"' = 0,0000016 j

c^est-à-dire que log tang a' devrait être diminué de 0,0000016. Mais par hypothèse, tang tr' = tang 5*, d'où log tang a^ = 8,9419518; ainsi log tang 2' ne différant de log tang a^ que de 0,0000016, il s'ensuit que 2' == ^ — o'',o6. Il est donc prouvé que, dans les éclipses de Soleil, et à plus forte raison dans les passages de Vénus et de Mercure sur cet astre, Ton peut toujours &ire tang Z'astang 0/^ sans craindre de jamais commettre une erreur de rs ^^ seconde de degré.

Enfin j le même géomètre démontre que l'expression (W), quoique déjà fort réduite, peut cependant l'être davantage (voyez la Connaissance d€S Tems pour 1817, page a56). En effet, d'après ce qui précède, on a, par rapport au Soleil,

/ ry b—fi>^ ^^ filr

en négligeant les termes du second ordre comme étant très petits. Pareillement

* ^ a— «ij/ ' 1 — •♦ a — «y

Mais a différant toujours très peu de l'unité, on peut supposer dans te terme oih, que a a: 1 ; ainsi on a simplement

rf — ri — .J

LITRE CINQUIÈME. igi

partant, l'éqaaGon (Jf ) deyient

(N) tang r = i:2!E£SE^^HME3!,

€t donne la distance apparente des astres ayec une précision toujours très suffisante 9 soit dans les éclipses de Soleil ou les passages des planètes sur son disque, soit dans les occultations dés étoiles parla ïiUne. Dans ce dernier cas y l'on doit diriger l'axe des xf' par l'étoile ou par le centre de la planète occultée, et alors on a ^=2^9 A''= A. Faisant donc / — Z#=*,A — A=i£, les relations (i), (a) prendront la forme suirante, comme il est fecile de s'en assurer,

a = cos u — asin* ^ t cos A cos A, (i") ^ b = sia t cos A,

t ss sin u-i- asin* ^ ^sin A cos A,

a = cos(;i — Z») cos A cos 9 4- sin A sin Çy (a") ^ i3 = Sin(n — L)cosg,

y = cos A sin g — cos(n-^L)sin Acos^y

et l'on aura en outre n ss o, s'il s'agit des étoiles.

35o. Au commencement et à la fin d'une éclipse, les disques des astres paraissent en contact, et alors la distance apparente des centres est égale à la somme des demi^liamétres apparens. Ces diamètres apparens variant ep général à différentes hauteurs des astres sur l'horizon, la somme dont il s'agit ne peut être rigoureusement la même que celle qui est donnée par les Tables astrono* miques (art. a44) ; mais la variation des diamètres apparens n'étant réellement sensible que pour la Lune, qui est l'astre le plus près de la Terre , on se borne à évaluer V augmentation de son demi-diamètre. Qr, si c/est le demi-diamètre horizontal de la Lune, donné .par les tables, et d' son demi-diamètre apparent; si de plus ret r' sont respectivement les distances du centre de cet astre au centre de la Terre et au lieu de l'observateur, on aura évidenmient

sin (f ss 7 sin cf.

Reste à trouver l'expression du rapport ^. D'abord si l'on élève au

quarré chacune des équations (c) de l'art. a58 , et qu'on fiisse une somme des résultats, on aura, en rapportant Fastre à l'écliptiqae^

iij% TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

r^» s= r" — a/r [cos (n — /) cos X cos ^ + sia A sin igr] + /';

c'est ce que donne d'ailleurs immédiatement le triangle rectiligne rr^f.- Si ensuite on néglige, dans la formule (N), les très petits termes j8^ et yiTy ce qui est permis dans cette circonstance, et qu'on ait égard aux relations citées, il viendra, après avoir développé,

(a-^a4)tang2' = V {b - /34)* + (c — y ^Y

d'où l'on tire aisément

(a a4)-tang*2'+(a — ot4)-=i — a4(aa+Ji8 + c>)+4^

ainsi,

- = (a — «4) sec 2' = — -f j enfin

sm a = 7—.

a — «il/

Cela posé, soit Z7 le demi-diamètre horizontal du Soleil, donné par les Tables astronomiques; on aura, au commencement comme à la fin de Téclipse ,

Z' 5= d' + Z?, ou sin (/' = sin 2' cos D — cos 2' sin ZJ;

substituant cette valeur de sin d^ dans la précédente, on obtiendra définitivement

(P) tang 2' = tang D + ^:=^'^^

Cetle formule et celle (N) donnent le moyen de calculer toutes les circonstances d'une éclipse; mais afin de |>ouvoir y appliquer aisément les logarithmes , il est nécessaire de leur faire subir préalablement quelques transformations. C'est pour avoir voulu les traitei' directement, que Lagrange a rendu sa solution numérique extrêmement pénible, et même rebutante quand on veut l'appliquer aux occultations des étoiles.

^application aux éclipses de Soleil.

55i. Soit / — L = /; les relations (i'), (a') deviendront

a = cos f cos A, ( a z=2 cos(n — Zi)cos^,

(i^) ^ 6 = sin fcosA, (aj ] i^ = ^in (n — L) cos g,

C = sin A; l y z=: sinq;

tt la formule (N) pourra, sans qu'il en résulte aucune erreur sensible , être écrite ainsi :

(N) tang 2' =8 ^^^^ ^^^^ ^~ ^" ^ (4^— »)3^+ [«in a — aïn Y (4^^-)]»

Soit, pour abréger,

sin t ces A ss sin r^

cos t cos A — sin 0^4/ ss= A:, on aura, vu la petitesse des angle?,

(N') tang 2' s= >^ («^° ^ — «^Q 0' + («'n ^ — «in /)*

V^Qos (^-)"n (r -0 + cos Q^^^ln (A-/) ]

Faisant donc

(5) tang ô = cosKA+/)8in(A-/)

^ ^ '^ cos i (r -f. c) am (r — ey

<m aura définitivement

(6) tang r = S2Li(L:t±)ji2±r:£) j

et d'après cette notation, la formule (P) se changera en celle-ci :

(7) tang (K = tang 2? (1 + jj^)

Ainsi, à l'aide des équations (1), (a)', (3) et (4), on obtiendra la di« stance apparente 1,' des centres des deux astres , aux approches ou pendant la durée de i'éclipse ; et par le moyen de l'équation (7) , on aura cette même distance , lorsque ces astres se touchent et que le contact est extérieur.

SSs. Lagrange a donné des Tables des valeurs de «, /3, y y rendues fonctions de l'ascension droite et de la déclinaison du zénitj mais leur emploi, vu le grand nombre d'argumens à former et de petites parties proportionnelles à calculer , ne nous paraît nullement préférable à celui de ces valeurs mêmes qui ne renferment , comme ici, que la longitude et la latitude duzénit,ou,ce qui est de' même, la longitude du nonagésime et le complément de sa hauteur ; c'est ce qu'un exemple numérique va mettre hors de doute.

a. aS

Nous prendrons pour clémens du calcul ^ ceux que M. Delambre a employés à la page 453 du tome II de son Astronomie; ainsi nous ferons 9

Ascension droite du zénit. ... ^ = — 3i* 21' 57''

Déclinaison du zénit A =: 48 . 39 . 5o

Longitude du Soleil L =: la. 6.56,7

Longitude de la Lune / =^ 11 .29.48,8

La latitude boréale idem. • • • A = 0.55.53

7 diamètre horizontal du Q . . Z? = * 15.67,0

X diamètre horizontal de C • • ^ = 34 •"^7?^

Parallaxe horizontale du O . . * = 8"5

Parallaxe horizontale de C • • 4 =^ ^^' ^^''5

Cela posé y on trouvera n et g , c'est-à-dire la longitude et la latitude du zénit, par les formules

tang 71 = cos « tang g H 2- cos q = — ^ ■ ■■ ,

OU sin 9 = sin A cos cû — - cos h sin » sin g y

démontrées à l'art. a6o.