C.COsi (r + c

c.log(r — c) = 6,75i36 —

taog • = 9*^70^9 + cos # = 9,98184 —

cosK''+0

log (r — c) c log k c . cos 6

logX'

suivant M. Delambre. • • différence. ..

Formule (6).

: o,oo38i

Formule (7) donnant la somme des demi^diamètres apparens.

log d = a,948oa c.logD = 7,01909 c.log A = o»oo38i

log jj2j = 9,9709* = o,935a5

log Ç = 0,08675 logD = 2,98091

log / = 3,36764 = i85a',o

/ = 3o' 5a'o Jf = 3i' 4''6

félon M. Delambre... 5o.5i,9 / = 3o.5a,o

diiTéreiice... 0,1 distance des bords = ia^6.

Le calcul précédent, qui est complet, n'a donc rien de pénible, puisqu'on peut n'employer partout que des logarithmes à 5 décimales; et il serait peut-être un peu moins long que la plupart de ceux dont les astronomes font usage, si Ton remplaçait par l'unité tous les cosinus qui en difiSrent très peu; ce qui n'altérerait pas sensiblement les résultats.

555. Pour donner une idée de la méthode trigonométrique par laquelle on obtiendrait les résultats précédens, nous ferons remarquer que le triangle sphérique , qui a pour sommets le pôle et les lieux apparens des deux astres, fournit cette relation ,

cos 2' = sin r sin L' + cos r cos V cos (A' — A%

en désignant par un accent les coordonnées apparentes (art â58); et à cause de cos m = 1 — < asin' ^ myon sl

sin- i 2' = sin* i (/' — L') + cos t cos L' sin- i (A' — A');

formule qui a lieu quelle que soit la grandeur de Z', et qu'on pourrait transformer ainsi qu'on Ta enseigné à l'art. 77.

Mais comme, dans le cas des éclipses de Soleil ou des passages des planètes sur cet astre, la distance apparente 2' est très petite , et qu'en outre la latitude du Soleil est nulle, on conçoit qu'en pareille circonstauce la formule dont il s'agit est plus facUc à évaluer nu-

mériquement. Il y a plusj pour ne pas calculer les parallaxes de longitude et de latitude des deux astres , qui serviraient à faire connaître les lieux apparens de chacun d'eux (art. a64) , et par suite, tous les élémens de la formule précédente, les astronomes supposent que l'astre occulté est sans parallaxe de, hauteur; mais dans le calcul du lieu apparent de la Lune, qui se trouve fonction de sa parallaxe horizontale (art. a64), ils emploient par compensation la parallaxe relative 4 — *.

Il reste à déterminer le demi-diamétre apparent de la Lune. Plusieurs méthodes se présentent à cet efiet; d'abord en désignant par iï ce demi-diamètre , et conservant la n otationde Fart. a58 , on a

sin {/' c= p sin £/, et par le même article , la troisième relation (c) donne

r sin / cos V sin /

/ ain A — sin II sin 17 cosV * sin A — sinn sinç^

mais la deuxième relation (^) est

tang X' es <^Q«^("°^~"°^^^"^) ^

^ cos/cosA— sinncosncosf'

donc

j, sin d C08 ï cos a'

sm a = — 3 : •

cos /cos A— sin n cos n cos y

Si l'on connaissait la distance zénitale apparente ^ et la parallaxe de hauteur 4r, on aurait visiblement

-,= . /!f r, et enfin d! = . .!> r:

mais cette distance étant inconnue, on l'éliminé de ce résultat par le procédé suivant :

" Désignons par A l'azimut de la Lune au moment de l'observation, par A sa distance au pôle de l'écliptique , et par P l'angle que le cercle de latitude de cet astre fait avec le méridien du lieu ; on aura, en désignant d'ailleurs par J^A la parallaxe de distance aa pôle de l'écliptique, par J\P la parallaxe de latitude,

%mA sinP sin A sin (P + i^P)

-•iûû linCZ— »)» «in (ù 4- /û) "^ iukZ *

Divisant ces deux équations l'une par l'autre, il vient

8În(A-|-^A) . sînZ sip P

«in A — aiii(Z — ir) 'sinCP + ZP)»

et par conséquent

sînZ sînCA + 'Û) «in (P + /'/>)

ain (Z -— «-) sin A lin P

Mais a =3= . .y v; donc

sm (Z — wj'

,, ,sîn(A + ^A) sîn(/— n + dP)

sm A sin (/ — n) '

n étant la longitude du zenit, et / la longitude vraie de la Lune.

354. La formule (N) est propre à faire connaître les erreurs des Tables de la Lune, lorsqu'on a recueilli une observation complète dans un lieu connu. En effet, si Ton j a observé l'heure de l'immersion et celle de Témersion, on calculera par les tables la longitude /et la latitude Xde la Lune , ainsi que les autres élémens de la formule (N),pour l'immersion , par exemple ; puis l'on déterminera par le procédé précédent, les valeurs de 2' ctj'; et si elles diffèrent l'une de Tautre d'une quantité cTS', de manière que cr' = 2' + S^% cette quantité d^S', qui sera évidemment positive ou négative, selon que «^ sera > ou < 2', exprimera l'erreur provenant des tables. Supposons donc que les erreurs correspondantes en longitude et en latitude soient J'tet J^A; on obtiendra une équation de condition entre ces trois erreurs, en différenciant l'équation (N'). Mais remarquons que les petits angles e^/y 4 peuvent, dans cette opération, être regardés comme constans, parce qu'en effet ils ne varient pas sensiblement, quand £ et A ne reçoivent, comme dans le cas dont il s'agit, que de très petits changemens, et qu'il suffît de retenir les termes du second ordre; ce qui revient à supposer le dénominateur A: invariable.D'après cette remarque, on aura, eu égard d'ailleurs à la petitesse des angles,

cTS'.tang 2' =3 cTA cos A cos (^) sin (a — /) ^

+ cTf cos Acos £cos (— ^) sin (t— e) -

Soit pareillement

UTRE CINQtJIÈME. 199

«rS".tang2"=«rAco8 A.co8(^4^) sin(x.— Z)^?

+ H CO8 A, C0& t, cosf *^' "^ - M sin (t, — « ,). ^r-

réquation correspondante à Fémersionj la combinaison de ces deux équatbns linéaires, dans lesquelles on pourrait, sans inconvénient, égaler à Funité les cosinus qui en différent très peu, fourniront les valeurs des deux seules inconnues //, J^A ; puis par les mouvemens horaires on trouvera l'heure de la conjonction vraie, et enfin la longitude et la latitude exactes de la Lune à cette époque.

Par exemple, soient //, i'L les mouvemens de la Lune et du Soleil pendant une heure , et x Tintervalle de tems qui sépare la phase observée de la conjonction vraie j on aura, pour la longitude vraie de la Lune à cette époque, / + «^^ + xS^l^ puisque ît est Ferreur des tables, et xJ^l le mouvement pendant x heures. Ou aura aussi L + x^L pour la longitude correspondante du Soleil; par conséquent lors de la conjonction vraie,

l — L + i ^ t + ii ^

fjL:=z J^l^^ cTL étant le mouvement horaire relatif en longitude.

Bien entendu que dans les applications numériques , il faut prendre t négativement lorsque KL; il en est de même pour la latitude A de la Lune, lorsqu'elle est australe.

Si, au lieu des équations différentielles précédentes, qu'il est h facile de soumettre au calcul logarithmique, on employait, comme le prescrit Lagrange, deux équations analogues à cette (N) dans laquelle Z' serait remplacée par a' ( poyez le n* 5^5 de son Mémoire)^ on se trouverait dans la nécessité de combiner entre elles deux équations transcendantes en A et en /, qu'on ne pourrait résoudre que par la méthode des substitutions successives; aussi voilà pourquoi les astronomes ont abandonné ce procédé extrêmement laborieux, et considéré le problème des éclipses comme au-dessus des forces de l'analyse.

555. Les erreurs des Tables étant connues, il est aisé d'obtenir la longitude géographique d'un lieu où il a été fait une observation

aoo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

correspondante à l'une de celles qui ont servi à déterminer ces erreurs. En effet, au moyen de la longitude du lieu à peu près connue, et des Tables, on calculera la longitude, la latitude et la distance apparente des centres, pour ce lieu et pour la phase observée; mais l'on sera en erreur sur cette distance de la quantité cTS^^ , et sur les différences de longitude et de latitude des deux astres , des quan« tités S'tf^j cTa^^. En désignant donc par ilfle mouvement relatif en longitude pour i" de tems, et par i^ celui en latitude, puis faisant JV,^ = JfcT^ , cTa,, = JVcT^ (cT^ exprimant l'erreur en tems commise sur la différence des méridiens cherchée) , on aura , par ce qui précède,

cr2,;ang2'' = i^cP(pcosX,cos(^^if^) sin (X, - f^^ ]