LOG. SINUS DES ANGLES
Malvoisine Lieursaint Melun ....
g,8i356 99297 9,98625 oxxoa 9,95264 12944
Faisant usage de la notation de l'art. 54, le cdté a sera connu; ainsi, par la règle des quatre sinus, on aura ces deux proportions pour déterminer les deux autres côtés ft, c,
sin ^ : sin B :: sin a : sin &, sin ^ : sin C :: sin a : sin c.
Mais elles supposent que la base a, donnée en mètres, est un arc
de grand Cercle réduit en parties de Punité ou du rayon des Tables. On peut cependant exprimer en mètres le sinus de a, et pour lors sin b et sin c seront donnés en pareille mesure. En e£fet^ lorsque le rayon est l'unité^ on a
mais le rayon de la Terre étant désigné par / , l'on a
&in* = *(i— ^ + ^-....)
Sin X sera donc donné en mètres, si Tare x est lui-même exprimé en unités de cette espèce. De là
logsinx = logx + log(i — ^,), -log:^-— ,
en négligeant les autres termes de la série, qui sont toujours insen-* sibles dans la pratique de la Géodésie, et représentant par M\e module o,4342g4.
Si Ton désigne par D le degré moyen et par tt la demi-circonférence d^un cercle dont le rayon est i , on aura f = ^ , et par suite
. log8in* = log*-(D(^yg.
H. Delambre, qui le premier a fait usage de ce procédé, et évalué tous les côtés de ses triangles en toises, a supposé J9 s=s 57oao^ On a aussi en parties du rayon '
delà
et
enfin,
■ ^ cosx = i k-H*..;
il0gC0S*=:l0g(l-i^)=-^j
log sin * = log * + I log cos x.
Four application, soit, comme M. Delambre, x s i4o88',a858:
aas TRAITE DiE GtOïftmE.
.en convertissant cet arc en secondes, on wam, d^4$ 1« Tslogr i^ff
ci-dessus,
\ogx =4,14836
log 56oo"*r 3,5563o . :
c.log Syoso :=5,a4397
log *" = 9,94913, d'où xT = i4'49",5;
puis, par les Tables de Vlaoq, à 10 décimales, On aura
lo^ i4o88',a^8. , s 4,14885 84ai8
H- i log cos i4' 49", 5, ...... '== 9,99999 86539
et enfin, log.sin x en toises =x 4|i4S85 70757. ^
Lorsque le sinus de x est donné e9 m^nr^ connues , et qu'on veut avoir x de la mdme maniéré , on a, pai* ce qui précède ,
log X = log sin X — j log cos x.
Soit, comme d-deososi ^
log sin X en toises =: 4,i4885 70767 — i log cos jt == 9,99999 86559
de là log :^ s 4,14885 84ax8. -)
La valeur de x, ou plutôt de a, dans le 43* triangle que nous prenons pour exemple, çst, en arc, 6o75',90oi, dont le log.sin = 5,78561 057215 ainsi, les deux proportions précédentes donneront
c.log sîn ^ = 0,18645 00703 = 0,18643 00703
log sin a = 3,7856i 05721 = 3,78361 03721
log sin B = 9,98625 01102 log sin C =r 9,96264 12944
log sin ft = 3,96629 06626 log sin c = 3,92268 17568.
Passant du sinus à Parc, comme ci-dessus, on a
C'est ainsi que M. Delambre a obtenu tous les côtés des triangle» de la méridienne; mais il observe que Ton peut très bien s'en tenir aux Tables de Callet, et résoudre dans tous les cas les triangles géodésiques, au inoyen des logarithmes à 7 décimales.
TROISIÈME. s^
tiOirsqu^one cubaine est terminée par deux bases , tfn est dans Puaage d'en calculer chaque moitié aVec la base qui en fait partie : alors on prend pour côté de jonction la moyenne arithmétique entre les deux résultats. Mais M. Delambrë, pfotir tHi pas laisser accumuler ainsi toute Terreur sur un côté, aime mieu:s fiîire accorder exac* tement les deux bases, en modifiant tant soit peu les angles des triangles. Cette manière de répartir, tout le long de la chaîne, Terreur entre une base calculée et mesurée, quoiqu'étant tout-à-feit arbitraire, ne donne lieu cependant qu'à des corrections qui sont bien en deçà des limites des erreurs probables d'observation. M. Laplace, dans l'ouvrage que nous ayons déjà cité (art. iio), donne à ce sujet une méthode certaine et toute fondée sur les lois de probabilité.
Résaiutiôn dei ttiangtes sphériqués peu courbés, par la
Trigonométrie rëctiligné.
i5b. La méthode paf laquelle ott ramèiïe, à l'aide du théorème de M. Legendre, la résoTtiitSôù des friangte? sphériqués à celle des triangles rectilignes, est généralement adoptée à cause de sa simpli^ cité. Ainsi, pour calculer les dififerens côtés des triangles ^£C, BCDy., (fig. 54) on ôte, de chacun des angles horizontaux de ces triangles^ le tiers de l'excès de leur somme sur deux angl^ droits ; après quoi Ton applique successivement à chaque triangle le principe de l'art. 4g.
Nous choisirons pour exemple un des triangles du réseau trigonométrique qui a servi, en i8jt&, d'exercice aux élèves du Corps royal des Ingénieurs-Géographes, savoir : le tnan^e Panthéon — Saint-- Martin-du'Tertre — Dammartin. Dans ce triangle, le seul côté de commun avec la méridienne de France est la distance du Panthéon à Saint-Martin, laquelle = 29a69",3o, réduite en arc et au niveau de la mer. Voici les résultats des observations et des calculs.
.tai.
MOM«
dés atationft.
Dammartin (cath.)
Panthéon
Saint-Martin.^ • ••
