SOLUTION
>g5. Quoique les démonstrations des formules précédentes soient
très élémentaires ) cependant ceux qui connaissent le Calcul diffe* rentiei préféreront sans doute la méthode suiyante, à cause de son élégance et de sa généralité^ et parce qu'elle conduit plus rapideûient aux mêmes résultats.
Si Ton conserve la notation ci-dessus, et qu'on remarque que la latitude H' est nécessairement une fonction de l'arc K\ on aura généralement, en supposant que S exprime la valeur de K réduite en parties du rayon 9
^=/W, P-=^Ms\ f^'^MS)i
f^f^A ^tant des. signes de fonctions indéterminées. Or, le point M étant l'origine de l'arc «S* = ^r^^ le théorème de Madaurin donnera
en prenant pour valeurs des coefBciens difiTérentiels, celles qui s« rapportent au point o\iS=iO. La recherche de ces coefficiens est donc le fondement de la méthode actuelle. Voici comme on obtiendra leurs valeurs générales.
Si dans le triangle sphérique u^i3C(fig. 4o), correspondant au triangle MM'p^ on suppose l'angle ^^ et le côté h constans, la relation
sin J3 sin a s= sin & sin ^ différenciée, donnera
Ung B
Opérant de même sur l'équation
cos a =: cos & cos c + sin & sin c cos Af on obtiendra, à cause de cette même équati<Mi,
j • ^ j /cos h — cos a cos c\
aa sm a = OC [ : )>
\ fin c / '
et par conséquent
da:=dccosBi ^^j^
LIVIRE TROISIÈME. 5<^>
■2^ = ^ .cos r'tang ^ H- -^ . jjjPg,
= 8m ;^ C08 ;f^ tang» JET H- 2ÎSg^^'
= sin ^' cos ^' (taiig» jy + --i^)
= i sin a/^' (tang« -«T + sec' iT) = i sin a^' (atang» Jï' H- i);
et de même pour les ordres supérieurs. Mais tous ces coefficiens devant, par ce qui précède, se rapporter au point où 5= o, on a de suite , en supprimant les accens ,
(S) = <^o» ^' (^) = —sin' /=^tang H, (^) = — 3sin* ^cos ^ Q H- tang* ^);
\dS ) ~ ixaW \dS^ ) ~' coêH '
(S) =-^^^=S^^+^tang.^-^l^(ltang.^); (^) = sin ^tangfl-, (^^)=i8in2^(atang-^+i);
(S^) = - 68in' r tang JST Q + i tang* ^)
4- ôsin /^cos» /^tang jET (f + tang* ff) = 6sin ^cos* /^tang ^ (i + 1 tang" ^) — 68in f^ tang ^ (è + t tang* J^).
Si l'on s'arrête aux quantités du second ordre , et que l'on compte les longitudes et les azimuts du sud à l'ouest, ce qui exige que l'on Ëisse /^ = 3oo — Z, et f^' =4oo — Z'f on retombera précisément sur les séries (a), (6), (c), en supposant d'ailleurs S réduit en secondes et représenté par u.
. Pour faire à la première de ces formules la correction 4 , due à l'cllipticité de la Terre, nous remarquerons que le triangle NM'N' (fig. 4o) donne
. , NI^' cos H,
ou , sans erreur sensible ,
. , KN'coair
sm 4 = — ^çT^r-j
5o4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
car nous aroDS Tuci*dessus, que H^ ne diflfère de H' que d'une quantité du second ordre, et d'ailleurs on a à très peu prèsNjSf^^N'Jkr^ Or, par la propriété de Fellipse
et si l'on suppose le point 3f plus méridional que le point M y qu'on fasse ff — ff'z=z Affy on aura
à cause que E^ augmente quand -ùlf diminue.
D'ailleurs
JEr= ^'""g , =ae>sin^(i+i^sin'J5rH"le^8in^g^+->>)
==ae*sin^'+5^a^ sin' JST. . . , delà
^j == ae* cos ff-^-ae* sin' H cos JST,
et conséquemment, en s'arrétant aux termes du troisième ordre , £ — £* = a Pc» cos J? + ^ c* sia* JSr cos £r~j A^ + a«* sinJSr. ^. Il résulte de là que
.„ t (E — ET) cos ff (£ — £') cos iT (I — i •• ain'H')
Sm >j. — -^
(£— £r)coa(H — AH)li -je* sin* (g~ Ag)]
Substituant pour £ — JET, sa valeur précédente , développant et négligeant les quantités du quatrième ordre , on aura
sin 4 = (c» cos ^ 4- 1 e* sin* //cos H) cos (H— LH) . £^H + ^smHcos{H^AH). A//*
— i e* sin* /T cos /f cos (^— AH), AH
= (e* cos* //+!«♦ sin* //ces* //) . A/f +| e* cos/f sin ^. A//»
— i e^ sin* H cos* H ' AH
= (e*cos*//+e*sin*//co5*//).A/fH-ie*sin //cos//. A//*.
Vu la petitesse de e^ et l'iDcertitude qui reste encore sur la vraie figure de la Terre , il est permis de rejeter de cette expression les termes du troisième ordre ; on a donc seulement, comme à Tart. i gS ,
sin 4 = ^ ^H cos' H^ ou bien 4 = e* ùkH cos* H.
Nous n'avons poussé les développemens ci-dessus, au-delà des besoins, qu'afin d'être à même de pouvoir apprécier ce qu'on néglige en ne conservant que le premier terme , et d'indiquer au lecteur une des voies les plus directes pour retrouver plusieurs des foriaules de la Base du Système métrique données dans les deux premiers volumes , et dont celles qui précèdent font partie.
196. La méthode que nous venons d'exposer, et par laquelle on détermine les positions géographiques des sommets des triangles , à l'aide des distances obliques, avait été proposée, dès 1787, par M. Legendre, dans un Mémoire sur les opérations géodésiques, imprimé parmi ceux de l'Académie royale des Sciences; et c'est celle que M. Delambre a principalement adoptée , à l'occasion de la nouvelle mesure d'un arc du méridien. Ces deux savans sont parvenus, chacun de leur côté, aux séries (a), (A), (c); mais M. Legendre, considérant en outre le cas où la ligne géodésique est perpendiculaire , a donné des formules qui dérivent des séries (A) , en y supposant ^= 100^, et comptant les azimuts du nord.
La première hypothèse introduite dans les coefficiens diflërentiels ^ donne d'abord
U-^) = -tang^, (^t)=o, (^) = ^»
(atang'/f-l-i);
et les séries dont il s'agit donnent ensuite , en y mettant aoo' — z' pour V\ afin de compter l'azimut du point Jf du nord,
JÏ' = JÏ— iiS^.tangiy,
cod H 3 CO8 H '
z' = loC — .S tang ^+ i 5» tang jy (i+ tang* ^) ^ loc -- 5. tang h: — \S^ tang iST {\-\-\ tang* H). I. 59
Mats lï n'étant que h latitude approchée du point M\^ &ut, d^apréa ce qai a été dit précédemment, avoir égard aa terme dépendant de Tapbtisaanent de la Terre. Alors, si, pour indiquer que la ligne géodésique £ est perpendiculaire au méridien de M^ on la désigne
par/, on aura 4$=? ^^ et définitivement en secondes,
réciproquement
puis longitude
OU bien
azimut
(c") 2' «= loo' - j^. tang fi-+ i 5^. tangiïQ+tûng»^);
OU, si Ton connaît seulement //,
(cjz'== loo'-^j^tang^. ~i^3^
Ces formules n'exigent que la recherche d'un très petit nombre de logarithmes, et ont toutes des élémens communs qui en rendent le calcul très rapide, comme on le verra par les exemples que nous donnerons bientôt. Elles servent sur-tout lorsque les sommets des triangles sont connus par leurs distances à une méridienne et à sa perpendiculaire (art. 1 63) ; et comme elles dépendent de la latitude H du pied de la perpendiculaire j^ , latitude qui le plus souvent n^est pas donnée immédiatement, il est nécessaire de résoudre d'abord cette question :
Connaissant la distance x du pied M de la perpendiculaire y au point principal du réseau trigonométrique dont la latitude connue est A, trouver la latitude de M.
Or, on a par l'art. i85
yr T X 3 / e* \ sîn qA X* / > '
H — 11^=^—. r"— 7 1 ï)-: 7—7 (ijf
f et / désignant les rayons de courbure du méridien et de Parc perpendiculaire à Torigine de jc; c'cst-à- dire que
( i — e* 3iû» hy ( i — - «• sin* A) »
X doit être pris positivement ou négativement, selon que cet arc se trouve au nord ou au sud du lieu principal. On peut presque tou-
jours, dans la pratique, se contenter du terme — : — 5 j d'ailleurs il
est aisé de calculer le second terme, en faisant usage des valeurs numériques données dans Part. 181 ; et il y a cela de remarquable, que les coefficiensdeA; et ^* sont constans pour toute Fétenduc de la carte.
Nous venons d'exprimer en fonction de l'abscisse x^ la latitude du pied de la perpendiculaire à la méridienne; il n'est pas moins important de connaître le développement d'un arc de celte perpendiculaire, suivant les puissances ascendantes de cette même variable. Soit donc u l'amplitude de l'arec dont il s'agit j on a, à la latitude h^
et à une distance x de ce lieu ,
Mais
par conséquent
de là, et en se bornant à la première puissance de x ,
u = - r^ Y i-~-.^g*sin2A.~) (2).
197. II est fort rare, dans la pratique, que l'on ait besoin d'un plus grand nombre de termes : cependant feu Plessis, ingénieurgéographe, qui s'était occupé des mêmes recherches, avait jugé à propos de continuer le développement des séries (j) et (2), en rejetant toutefois les termes en eK Ses résultats, qu'il est Êicile de
3o8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
vérifier , sont
A^— -ï?"^/ 3x e*8inafr la?* é^cos^h , i x^ e*8ÎnaJt Vi^
Si Ton désigne toujours par h la latitude du lieu central, par H^ H' les latitudes respectives du pied et de Texlrémité de la perpendiculaire j^, par F la différence de longitude de ces points ^ on aura ensuite
J5r=A + AA', tangP = î^,
sin (iï-— j&O = sin H sin u tang - (i 4- e* cos* H),
OU
sin {H — H') = sin H' tang w tang - (i + e* cos* H') ;
en vertu des art. 62 et igS.
Ces dernières formules ne dépendant pas de. la petitesse de i/, doivent, par cette raison, être substituées à celles de l'art. 196, lorsque les points de la carte sont très éloignés du méridien principal.
Quelque longues et compliquées que paraissent les formules (1'), (2'), on peut cependant en abréger beaucoup l'application, en calculant d'avance les coefficiens des différentes puissances de x et y. Mais, comme les positions géographiques des sommets d'un réseau se calculent plus aisément et avec plus d'exactitude par la méthode des distances obliques (art. 196), nous ne prolongerons pas plus loi» nos remarques à cet égard.
applications numériques.
198. Dans le dessein d'abréger le calcul des formules précédentes, nous avons construit les tables IX et X , pour l'aplatissement 7^ qui qui parait convenir à la France, et pour le quart du méridien de 10 000 ooG"*''"; mais d'après les opérations géodésiques de M. Delambre, la longueur de cette ligne étant de 10 000 yaS" (art. 180) , il faudra, si l'on veut assujétir la table IX à cette nouvelle hypothèse, ajouter lelog a,oooo3i4 à tous ceux des colonnes désignées par logj^ et par log N^ et le complément de ce logarithme ou 9,9999686 à tous
UVRE TROISIEME. 5og
les nombres des colonnes qui ont pour titre log &ct . P et log.&ct. F. Cela posé, résolvons la question suivante.
On sait que la latitude du Panthéon, à Paris, est jfiTsss 54^,974255; que sa longitude, comptée de l'Observatoire royal, et d'orient en occident, est Pss 599^,98931; que le logarithme de la distance du Panthéon à Dammartin en arc et en mètres, estlogXr=4,5s497ii{ enfin que Tazimut de cette distance sur l'horizon du Panthéon est Z = a5i',4oo3, compté du sud à l'ouest : on demande la latitude^, et la longitude P" de Dammartin, ainsi que l'azimut Z' du Panthéon sur l'horizon de cette ville.
Calcul de la latitude (formule a').
Avec la latitude H donnée, on trouve dans la table ES , pour 54*^,
le log du fact. F = 8,9974349
