CHAPITRE XV

Calculs des latitudes, longitudes et azimuts des objets

terrestres.

iga. JLous les sommets des triangles d'un réseau sont telUment liés entre eux, que si la position géographique de Tun d'eux était connue, c'est-à-dire sa latitude et sa longitude, et que la ligne géodésique qui joint ce sommet à un autre du réseau fût orientée, la position géographique de tous les points de ce réseau, et les azimuts des côtés seraient également connus. Le problème à résoudre en ce moment est donc celui-ci : La latitude et la longitude du point M (fîg. 4o) étant données, ainsi que l'azimut du point M' sur l'horizon de if, trouver tant la latitude et la longitude de ce second point , que l'azimut de ilf sur l'horizon de 3f.,

Avant que les méthodes géodésiques eussent été portées au degré de perfection où elles se trouvent maintenant , les géographes résolvaient cette question par la Trigonométrie sphérique seulement, en prenant pour rayon de la Terre , celui qui résulte du degré moyen dans la région du réseau. On conçoit en effet que si , par les points AT, M' , on mène les méridiens PM^ PAf, le point P sera le pôle de la Terre, et que dans le triangle sphérique MSfP l'on connaîtra l'angle MMP ou l'azimut de M\ ainsi que deux côtés, savoir: MM' ou un côté du réseau évalué en secondes (art. i5o ), et PM ou le complément de la latitude de M. On pourrait donc par les Analogies de Néper , déterminer l'angle MM'P, ou l'azimut du point M sur l'horizon de M , langle P ou la diflerence des méridiens, enfin le côté M'P ou le complément de la latitude de M'^ mais par ce moyen , l'on n'obtiendrait pas la latitude particulièrement avec assez de précision.Yoicl une autre méthode qui est de beaucoup préférable.

1'*^ SOLWTION.

L'hypothèse de la sphéricité de la Terre ne pouvant manquer de sittiplifîer la question, considérons une sphère d'un rayon égal à la

normale MN au point M donné sur la Terre elliptique , et les arcs de grand cercle pM, pM comme les méridiens de M et de M' sur la sphère fictive; puis calculons la position géographique du point ilT, en résolvant le triangle sphériquc pMM^ non par les formules finies de l'art. 78, lesquelles ne donneraient pas assez de précision dans la pratique, à cause de la petitesse de la ligne géodésique MM\ mais par les séries de l'art. g8 , qui ont une exactitude indéfinie. £n* suite 9 nous examinerons l'erreur qui résulte de notre supposition.

Soit à cet effet H la latitude du point ATj H' celle du point AT; jP, P' les longitudes de ces mêmes points , ou les angles MPa , M'Pa ; enfin y^ f^ les inclinaisons de la ligne géodésique MM' = iST , ou de son prolongement sur les méridiens respectifs /? AT, j^W. On aiu'a, en transportant cette notation dans le triangle sphérique ^BC^ résolu à l'art. g8 , et en désignant par u le côté K réduit en parties du rayon ,

a = loo' — B', A — T^,

h = 100^ — -H" , 5 ac aoc ~ V ^

cz^u, C ^ P' --^ P)

de laies séries (III), (I), (II) |e changeront respectivement en ces trois autres,

(<t) ff' = ff J^u cos /^— i u' sin* ^ tang ff,

Kt'j * ■*■ ^^ cosL*^ coaH *

(y) V = /^H- a sin /^tang ^ + u» sin ^cos T^. (i + tang* IT).

Mais on est coli^nu, dans la pratique, de compter les azimuts et les

longitudes du sud à l'ouest, et depuis o' jusqu'à 400^. Soit alors Z

Tazimut de M' sur l'horizon de if, et Z' l'azimut de M sur l'horizon

de M'j l'un et l'autre comptés à partir du sud^ on aura, d'après la

figure 4o,

^= 200 — ^, ^' = 4oo — Z'i

ainsi les formules précédentes , dans lesquelles on supposera d'ailleurs u réduit en secondes (art. 91), deviendront

(/ÉfH'=sff^ucosZ-'\u*sini"am'ZUmgfft

(b) F =P + ^J^^Lu^sin i"8inaZ. ^,

^ ' ' co» H * CM a

agS TRAITÉ DE GÉOWÉSIE.

La latitude H^ étant trouvée à Taide de la praem^ fi)rmQle9 on peut s'en servir pour déterminer P' et Z' ; maïs il feut, dans ce cas, introduire JST daîns les valeurs de ces deux inconnues : or, c'est à quoi l'on parviendra tout d'abord; car d'une part, le triangle sphérique pMM! donnant

/TV n\ sin u sin 2

on a, à cause de la petitesse de u,

d'autre part, dans le même triangle, l'on a, en vertu de l'art. 78,

tang Ki«f + ^) = col i (P' - P) ^^i^:^j ; et puisque cot = -^ , on peut écrire

= tang[i<i — i(M-i-M')]î

mais i<» — ï {M '{■M') et P* — P étant toujours des angles très petits, on a simplement, à cause de M+ m'=:Z' — Z,

195. Les formules (a), {b'), {cf) sont d'une très grande simplicité, aussi les ingénieurs-géographes en font-ils un fréquent usage. On remarquera cependant que la première ne donne -la latitude du point M que par approximation j car la véritable latitude cherchée est l'angle M'N'Q' que la normale M'N' sur le sphéroïde terrestre , considéré comme un ellipsoïde de révolution, fait avec le plan de Toquateur dont la trace sur le méridien PE est la droite CE\ au lieu que la latitude déterminée par la formule (a), est représentée par l'angle que l'oblique MN fait avec NQ ; N'Q' et NQ étant supposés deux plans parallèles à CE. La correction de latitude , que nous désignerons par 4? est donc l'angle N3fN\ puisque dans le triangle N'M'R l'angle extérieur MRÇjf = H' vaut la somme éfes ' deux intérieurs opposés NMN\ M'N'Q.

Afin d'évaluer 4 d'une manière suffisamment exacte, supposons que l'oblique M'N= MN^ ce qui est sensiblement vrai, à cause dç

LITRE TROISIÈME. «gg

la petitesse de la ligne géodésique if AT. Or, par Fart. 167 ,

la normale J£V= jV=s j , et CJV=e' iVsin U;

(I— e*ain»£0*

d'ailleurs le triangle NM'N' donne

8in NMlizsz sin -4/ = ^g?^

et comme CJY' = ^iVsîn ST à fort peu près , il s'ensuit que

partant

— ^ — j cos r — ~ — ^ cos \ir — 4)-

Développant maintenant k second membre de cette équation , on obtient

j cos { J cos H'

tang4 = r7ff iï'

1 — ac*sm(

• Icos ( J sin H

mais ne voulant ici tenir compte que des termes en e% on a, vu la petitesse de 4 9

4 = a^« sîn(?^=l^) cos (~^) cos H'-,

et disant = — , on a, à fort peu près,

4 = e* LH cos* JSTj

c'est cette quantité du second ordre qu'il £iut ôter de la latitude IT approchée , pour avoir la latitude exacte H^ , puisque //' = ZT, + 4 ; ou aura donc, au lieu delà formule (a), celle-ci :

{a!) H,=^H^ {u co8ir+ iw» sin 1" sin*Ztang JST) (1 -f-e* cos* H).

Dans toutes ces formules ,

asm 1

19^. Nous venons de&ire à la formule de latitude, la correction

5oo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

dépendante de Texcentricité des méridiens terrestres. Quant aui formules de longitude et d'azimut, désignées par {V) et {d\ elles s'emploient sans ibodification, parce que Paberration de sphéricité n'a sur elles aucune influence sensible. On voit en effet, que l'angle MpM des deux méridiens sphériques est le même que celui des deux mé-* ridiens elliptiques PM^ PM\ Mais de combien l'azimut pMM^ sur la Terre sphérique, c'est-à-dire l'angle des deux plans pM'N^ MMN^ diflfere-t-il de l'azimut PM'My sur la Terre elliptique, c'est-à-dir« de l'angle dièdre PN'M'Ml C'est ce qu'il faut chercher.

Si l'on considère le point AT (fig. 4i) comme le centre d'une sphère, sa surface sera coupée par les trois plans MMN^ N'M'N^ MMN\ suivant le triangle sphérique aNm : or, dans ce triangle, on connaît l'angle aNm^ c'est l'azimut calculé. On connaît en outre l'arc JVro ou l'angle... N'M'N = 4 ) qui est la correction de latitude ; et à cause de l'angle MNW = u, on a , en considérant le triangle ilOTiV comme isoscèle,

arc aN=^ i<î -— -; donc si f désigne la correction d'azimut, et «,

Tazimut vrai compté du nord, on aura z, — Ç = aNm = azimut approché z' compté de même. Il résulte de là que dans le triangle sphérique aNirty on connaît deux côtés et l'angle compris, et qu'il s'agit de déterminer l'angle ou l'azimut vrai m!ma=iz^. Or, Nm^z-^^ étant très petit, la solution de ce problème se trouve dans la formule {y) ci-dessus. On a donc, à cause de mNaz=>7! compté du nord,

z. = z' + 4 siu ^ t®"^ -■+-•-•?

d'ailleurs 4 = ^" ^^ cos* JJ = e^ii cos Z cos* JSTj il en résulta

z, = z'' + e^u sin z' côs Z cos* H tang - j

ou enfin, parce que 2^ est un très petit arc, et que Z et 7I diffèrent peu l'un de l'autre,

z^z^t! -\^\ €^u sin ^Z cos' H tang u.

La correction d'azimut, représentée par le terme ^ e^ u tang u sin aZ cos* ffy et qui se trouve du troisième ordre, peut donc toujours se négliger.