terme

On calcule directement la correction à faire aux distances obliques, pour les réduire à Tare du méridien compris entre les parallèles de<4eurs extrémités, en employant la formule suivante :

K — dHz=: fiK C08* i -Z + r ^ sin*^ tang H

— I ^. sin* Z cos 2 (1 + 3tang*iy) (A')

qui dérive de celle (A), en y écrivant scos^j Z — 1 au lieu de cos Z; et pour lors toutes les fois que cos { Z sera petit, tout le calcul pourra s'efiectuer avec des logarithmes à cinq décimales.

202. Il est des géomètres oui emploient concurremment avec la méthode précédente celle des perpendiculaires exposée à Fart. i64, mais que Ton rend plus rigoureuse ainsi qu'il suit :

Soit MM* (fig. 43 ) un côté A' de la chaîne des triangles, et u^X la méridienne dont on cherche la longueur. Si, par les points Jlf, M\ on conçoit deux arcs de grand cercle OM^ OM' perpendiculaires en P, J" à la méridienne ^X, ces arcs se rencontreront en un point O qui sera le pôle de l'arcPP' qu'on a en vuede calculer. Or, en désignant les coordonnées ^P, PiJ/par;c, j; celles ^P', P'M par x\y') les latitudes de 3/, M' par i/, //', et leurs longitudes par P.P'i enfin la normale au point J/par iVj l'amplitude de l'ordonnée du point Jf s'obtiendra à l'aide de la formule

(1) sinjK = cos//sinP,

qui dérive de la propriété du triangle sphérique rectangle pFM formé par les deux méridiens pP, pM et par l'ordonnée circulaire PM.

Si Ton désigne Tazimut PMp par jia, ce même triangle donnera

(a) cot fc = sin ^ tang P.

Mais l'azimut de MM! sur l'horizon de jWest connu j représentonsle par Z^ comme à l'ordinaire} alors l'angle OMM' sera égal à fjL^Z. D'ailleurs, en considérant les deux arcs OP^ OP' comme deux méridiens, les ordonnées j<, y seront, par rapport à eux, les latitudes de M^ itf '; et, comme dans le triangle sphérique OMM' le côté MM' = K est très petit à l'égard des deux autres, on a, en vertu des formules (6), (a) (art- igS), et en faisant aoo* — (a — Z=/^, pour abréger,

{af) y = jK — ^ cos /^— i -^ sin» ^tang j^; partant PP' ==> x' — x-

II suit de là que, si l'on connaît x, ^ en mètres, on aura par ces formufé8,x',y en même mesure. Mais en partant de l'origine A de la méridienne, les coordonnées Xyj sont nulles.

Remarquez qu'il n'est pas nécessaire 'que les formules (i) et (a) soient évaluées avec une extrême précision.

ao5. Le calcul d'un arc de parallèle s'eflfectue par un procédé tout semblable à celui dont il a été question à l'art, soi.

Supposons que /C , K\K!' ... soient, à partir de la méridienne principale , les côtés consécutifs d'un réseau trigonomé trique allant de l'est à l'ouest, par eit:emple , et , par les extrémités de ces côtés, concevons des méridiens : ceux * ci intercepteront sur un même parallèle à l'équateur terrestre des parties qu'il s'agira de calculer. Or, si , après avoir déterminé assez exactement les positions géographiques des sommets des triangles, on désigne par H! la latitude de l'extrémité de K la plus éloignée de la méridienne principale; par JST'' la normale en ce point; par Hn, la latitude du parallèle dont on veut avoir la longueur, et par N^ la normale à cette latitude, on aura^

relativement au côté Ky et pour la partie P» de parallèle

^'^ = w^^^nr\r ^^^ — 6n^ '^ w^^^j ^*>

Dans cette formule très simple, qui provient du développement en série de sinP = —^^^^--7 et de ce principe, savoir : que les arc* semblables sont entre eux conmie leurs rayons , on a

N' = r, JV« = r (art 167);

Z étant toujours l'azimut de K sur l'horizon de son origine , et compté du sud à l'ouest

Four chaque côté Ky on aura une équation semblable ou une valeur de P^ ; si donc n dénote la longueur du parallèle à la lati« tude Hmy on aura

Ainsi, partant de la méridienne principale, pour se rendre à l'ex* trémité de Tare à mesurer, on obtiendra, à Tàide de deux systèmes de lignes telles que K^ K\ K". . . , deux valeurs de IT, lesquelles se serviront de preuve mutuellement. Ce moyen , analogue à celui que M. Delambre a employé pour calculer l'arc du méridien depuis Dunkcrque jusqu'à Barcelonne, sera très commode dans la pratique, si roii a soin de former d'avance une table des diverses valeurs du logarithme de la normale, d'après la connaissance approchée de l'aplatissement de la Terre j parce qu'il n'y a d'autre attention à avoir, que celle qui est relative aux signes algébriques^