log[i— 2sin»i(J^— A')l — log[i — asin» ^ {K +K

3i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

D'ailleurs la petitesse de K et de K permettant de faire

log [i — asîn* i (X — K')\ — log [i — asin* \ {K + K)] = ajf [sin* KJf 4-^0 — 8iû*i(JS: — X0]= aitf sini JSTsini A'

on a, en feisant attention que sin K et sin K' sont donnés en mètres , logsin(X-X0 = logsinJf+Jog(i-'^)4-^8in^

tVl

/ étant le rayon de la Terre ^ et Vie module 0,45439. Pareillement

log sin (JC + XO=logsîn if + log (1 4-'^)--^8in a: sin X'.

Mais on est dispensé de Fusage de ces formules et d'une figure , par le procédé analytique suivant.

Supposons premièrement qu'U fidlle calculer la longueur de la méridienne ^X (fig. 54) comprise entre les parallèles des points extrêmes ^jL.On commencera par déterminer, à l'aide des formules (a'), (6'), (c'), les positions géographiques des points B^D^F^ Hj K^ L situés sur la ligne polygonale qui s'étend le long de la méridienne. Ensuite, on calculera la différence des parallèles des deux premiers points ^^ B\ puis des points Bj D^ puis des points 27, F, etc., jusqu'à ce qu'on soit enfin arrivé à l'extrémité L de la chaîne* La somme de toutes ces différences sera la longueur cherchée, comme cela est évident.

La formule qui donne la différence des parallèles de deux points tels que ^, B extrémités du premier côté K du réseau, est précisément la première (A) de l'art. 196, dans laquelle S est remplacé par K exprimé en mètres. Mais, dans cette circonstance, il est indispensable de conserver les termes du troisième ordre. On a donc^ en rétablissant Fhomogénéité,

dHz=z — X cos ^ i^'sin* 2 tang H

+ ^^,sin*^cosZ(i + 5tang»Z0 (A);

K désignant la normale au point ^ de Tellipsoïde de révolution.

LITRE TROISIÈME. Siy

La valeur de cette normale ne peut se calculer qu'approxîmativfement; il en est de même des valeurs des séries (a'), (6'), ((/), puisque quand il s'agit d'évaluer un arc de méridien, Ton est censé ne connaître l'aplatissement de la Terre qu'imparfaitement* Mais l'incertitude qui existe à cet égard y n'est ici d'aucune conséquence.

Il faut bien faire attention que , dans le calcul de la difierence des parallèles, on ne doit pas tenir compte du terme e* cos^H^ comme pour la difierence des latitudes; car en tant qu'il s'agit d'un arc de plus courte distance , cet arc peut être considéré , vu sa petitesse, comme celui d'un cercle dont le rayon est égal à la normale correspondante ; mais la véritable amplitude de cette ligne géodésique est sur le sphéroïde l'angle des deux normales de ses ex-trémités, et non celui des deux rayons extrêmes de l'arc de cercle dont il s'agit. ^

Si on calcule de la même manière la difierence des parallèles des points extrêmes ^, Ly à l'aidQ de la ligne polygonale ^CEGILj qui ne s'écarte pas encore trop de celle qu'on veut déterminer, on aura uûe vérificatiqn du premier résultat : il conviendra deprendre le milieu entre les deux, s'ils diffèrent un peu l'un de l'autre.

Afin de donner une application de la formule précédente , nous allons calculer la différence des parallèles du Panthéon et de Dâm* martin. Les élémens de cette formule sont, d'après l'art ig8,

log K = 4,524971 1 ; Z = a5i«^,4oo3 j JEr= 54^,274255.

Et la table IX donne , avec l'argument Hy log JV = 6,8o64555 , puisque l'aplatissement des méridietis, en France, est à peu prés

TYPE DU CALCUL

i**" tenne.

logX = 4,5249711 — l.cosZ = 9,8397191 —

l.i« terme s= 4^6646902 +

à* ferme.

Iogi =

alog K =

sfog sin Z =

log tang JI =

c.logiV =

log 2« terme = 1,71860 — .

f «t 4* terme.