CHAPITRE XVIL
AZ8 £a j^wTïïoar J^^imÉSÊgHis Èr^anomibiques, pour Ita Tomaana juigi ijiiiijfMi/ypwMm des points
iniLzcat^ X JiK j:
sont si multipliés, 7 nx X HK tnvns soue fc nran^w à nésondre, qu'il n'est pas ^^**: se -miaBi^crT nnruaBfr^ar nr la I ju^ulm des coordonnées i-^ i^r^ssÂe -te-i> »IB5^ C9Biiaat.ca^K ccst de Fexactitude de :-=^ mfDt^ Tin"Tiiiwnirf ne ie^ssA ccOè des htitndes, longitudes I*. «^u:u.^ ;t:^ iizies^ l^r~sc7g^^ itt redpr oq a eu i e nt, il est important ix: .r.:.r c^ :*=sutais- iunsiuff es prenÉer ftea. et de connaître les n:^i:t<L:> ;:u -r^-yq-Tr ^mr* j» -çraoùlfcï susaepCiikB d'éprouver des xir-anuu>. iôu rac^s /jKje awvAai^k aéccstité d'altérer quel* 4Q«:^-aiN&^ X xilt!^ MIC ne mks Ai ^dBflBBohaervationd , soit à .-uiiri^ ix. xuc*^ulr^ ^«r^'irs' jr ■rii ■ na «a pabse, de la manière la \nu> sinmt:. ;:*-~iimir «ï!^ rjrr^raui» ({sieproofeot les autres quan-
?:/ ,v:.ii;- »* r--ii* ï* '</^ /Eté (Brodait sur la latitude , la L V vuç r. -:i.^^. . iTtf 79fc:j^ «ru.*fa&M dans les distances -i ■ i f : c 7 j "c TTC - -L ^ L?c /r -i HZ z^rpsndietUaire.
S-^cxxi:* ,ut iiisos^ X rt!Vv:cTv m petit accroissement dXy ^\x «» 5<i: 5C.I rij:-: i^ c;:cri:ar« j^ ii htilnde H*^ et que dJÏ'
OU ;>;aipl<meat« ec scxx^cdes ccrlCe^xa2aies«
dif := —
Cotte valeur de J/T se prendra positivement ou négativement , 5clou que dx sVleuilra vers le nord ou vers le sud.
Maintenant, si Pon dififêrencie Féquat. {a!') de l'art 196 , par rapport à y seulement, on aura, en négligeant le denuer terme relatif à rexcentrioité de la Terre,
La correction de la latitude du sommet de la perpendiculaire est donc négative, quand la variation de cette perpendiculaire est positive.
L'éqùat. {V) fournit, par le même procédé,
et l'équat. {d') donne
iVcos J^sin i*^
On trouverait avec autant de facilité des relations entre dy et chacune des variations dH'^ dP, dz\ dans le cas où la latitude H du pied de la perpendiculaire serait efle-môme variable; malsit est plus commode alors de refaire en entier le calcul des formules.
ao5. Cette méthode ayant seulement rapport au;^ petites varia* tions dans les distances d'un point à la méridienne et a sa perpendiculaire, il faut résoudre le problème plus généralement. Supposons d'abord, que les latitudes et longitudes de tous les points principaux d'un réseau trigonométrique aient été calculées à l'aide d'un azimut provisoire ; il s'agit de faire à ces latitudes et longitudes les corrections dues à Terreur commise sur cet azimut, sans recourir pour cela aux formules de l'art. 196 , ni à d'autres qui pourraient remplir le même but.
Comme les distances entre les points trigonométriques sont censées avoir été déterminées exactement, la nouvelle orientation s'effectue sur-le-champ, en fiiisant tourner tout le reseau autour du point où l'on a observé l'azimut, d'une quantité angulaire égale à la différence de l'azimut vrai à lazimutapprodié. En effet, soil^ (fig. ^5) le lieu de l'observation, B un sommet quelconque de triangle,^ et C le pôle de la Terre que l'on peut supposer sphérique dans cette circonstance. Si, en vertu de la variation observée dans l'angle B^C^ le point B doit être transporté en 5'; tout autre point b lié iiivaria-
3a4 TRAITE DE GÉODÉSIE.
blement au premier, sera, par suite du mouyement commun autour 4e ^, transporté en b'; et l'angle b^l/ qui est égalkB^B' sera |a variation d'azimut ^ variation que nous supposerons de quelques secondes seulement. La question , envisagée sous ce point de vue , est donc ramenée à chercher les équations difiPérentielles d'un triangle sphcrique, dans lequel un asgle «st variable et les deux côtés qui le comprennent sont constans.
Soit ^BC ce triangle , et a, &, c les côtés opposés aux angles de mêmes dénominations; on aura
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos u4 (i),
cos c = cos ai:osh -|» ùnasin&cos C (2),
sin ^ sin c = sin a sin C (3).
Si Ton difierencie les deux premières équations , en fidsant varier ^, a et C, et regardant b, c comme constans, on aura
da sin à = d^ sin ^ sin b sin c,
o = — dasîna cos b-^da cos a sin b cos C — - ^C sin C sin a sin b. Mais de la troisième équation. Ton tire sin c = ^'°f "^ : mettant cette valeur dans la première équation di£fêrentielle, on obtient
da = dA sin b sin C (m);
et introduisant cette valeur dans la seconde, on a
dC 5= — cos é (1 — cot a tang b cos C) dA (n).
Soit maintenant H la latitude vraie du point A\ IT la latitude approchée du point S; Z Tazimut approché du côté BA^ observé sur rhorizon de ^, et compté du sud à Touest depuis o jusqu'à 400^; enfin, P' la différence approchée des longitudes des points A etB: les formules de correction (m) et (tz) seront respectivement
dif = cos H sin P'dZ {m') ,
JP' = sin // (1 — tang UT cot H cos P") dZ {n!) ;
puisqu'à la seule inspection de la figure, on voit que t/a = — dH\ dA=^'-dZ et dC = dF.
Il résulte de là , que
LITRE TROISIÈME Saî
latitude vraie du point B::^It^ dlT^ difierence de longitude des points -^ et -B t= P' + dP".
L'emploi de ces formules n'est sujet à aucune difficulté; j'observerai seulement que la variation d'azimut dZ doit être prise avec son signe, et que Z doit ici se compter du sud à l'est : ce serait le contraire s'il s'agissait du point h.
ao6. Cherchons maintenant la variation d'un azimut quelconque pris sur l'horizon du point à rectifier et déduit du premier.
Soient toujours fr, c, les deux côtés constans, et ^l'angle variable du triangle sphérique ^BC; dA la variatiod de l'azimut de départ, et dB celle de l'azimut au point B : on parviendraà trouver le rapport de dA à dB, en difierenciant l'équation
cos i/= cos a cos c+ sin a sin c cos B;
opération qui donne d'abord, après avoir mis à la place de sin c cos B^ sa valeur déduite de cette même équation,
j /'cos c cos a cos &\ , . . . nJ-n
da ( : ) + sm a sm c sm BdB = o:
\ sina -/ • '
puis réduisant, on a
da cos CH- dB sin a sin C= o.
Mais da = dA sin h sin C; par conséquent
sin b oos C
dB = ~-dA
Sin a
Soit donc Z l'azimut pris du points et compté du sud à l'ouest, Z* un de ceux qui ont été conclus de celui-ci et qui se frouvent sur rhorizon de ^; on aura, en vertu de cette formule, et désignant d'ailleurs par i/. H! les latitud&s de ces deux points, par P' leur diflerence en longitude ,
,--, cos P' cos H' jrw
dZ^ = — ^ „, dZ^
cos H '
parce que Z et Z' croissent ou décroissent en même tems. Ainsî^ sans repasser par tous les azimuts intermédiaires , on assignera surle-champ la correction à faire à un azimut quelconque, par suite d'un très petit chaagement survenu dans celui de départ.
3a6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Si Ton diSercBcie dans la même hypothèse Téquation
sin h sin Css: sin BainCy on aura
de Wib cos C:^dB QosBdinc, tfoù
cos B bin c'
égalant cette yalem: à la précédente , on trouve
àC fin c cos B
<M . . aina *
Telle est la relation entre la yariation d'asûmut de départ et celle de longitude du point que l'on conaidère.
Examinons maintenant le cas cm la latitude et la longitude du lieu principal d'une carte éprouyent une petite correction , et cherchons l'influence de ces deux corrections sur les positions géographiques de tous les autres points du réseau.
D'abord il est évident que si la longitude absolue 9 du lieu principal ^, augmentait d'une quantité quelconque 49, les longitudes de tous les autres points du réseau, et comptées toujours dans le! même sens , augmenteraient de la même quantité. Il reste donc à £iire connaître le moyen de corriger tant les latitudes et les longitudes de ces mêmes points , que les azimuts conclus, lorsqu'il existe seulement une petite variation dans la latitude du point uit.
Pour cet effet, l'on regardera c, A comme constans dans le triangle ^BCy et l'on aura, par la méthode de l'art. 196,
da = db cos C, dC=:^db^^,
tang a' sinC
dB = db
Mil a
Mais, à cause de b=ioof—H, a = loc — /T, CszzP^y dB=^ — dZ\ et de ce que AT, /aT, P' croissent en même tems que Z' diminue, l'on a , pour la variation
en latitude, t///' = dif cos P',
en longitude, f/P' = dl/'^Ç,,
en azimut, dZ' = — dH—^,.
De sorte que,
la latitude exac;te du point B sera It + dit 9
sa longitude absolue et rectifiée ? + « + P' + dP' ,
et un azimut quelconque sur i'Iiorizon de
ce point, de Z' qu'il était, deviendra. . Z' + dZ'.
207. Supposons en dernier lieu, que tous les côtés d'un réseau de triangles rattaché à une base B provisoire, aient été déterminés à l'aide de cette base, et qu'il £iiile les assujétir à la base définitive B^ dB; il est évident qu'il sera nécessaire de les multiplier par le rapport
constant — ^^ — . Soit donc K un des côtés calculés provisoirement,
et £ + dK sa valeur exacte; on aura
K+dK=:^Ëd^K, et par conséquent
iog(jr+rfJP) = iogJs:+iog(5-:tˣ). ^
On a aussi
correction dK 5=3 — j-j enfin
Iog(jr + rfJC) = logJS:+log(iH-^
= log JC 4- -^ J2F +. . •
La correction dB de la base à laqœUe se rattache le réseau, est toujours assez petite pour que le premier terme — ^ du développement ci-dessus suffise.
SSB
