partie quelconque de sa surface
De Vaire d'un triante et de celle d'un trapèze sphérique.
ao8. l^Es triangles qui couvrent le pays dont on a levé la carte, présentent souvent une sorte de ramification continue autour du centre du lieu principal ; mais quand même oes triangles ne seraient pas tous liés immédiatement les uns aux autres , la question proposée serait toujours ramenée à calculer les aires des triangles ou dts qua-> drilatéres spbériques qui composent l'aire du terrain ; sauf ensuite à évaluer Ifes petites ]i>ortions de surface qui pourraient être comprises entre les limites du pays et les côtés des triangles ou des quadrilatères extrêmes dont il s'agit : évaluation qui s'effectue aisément à l'aide d'opérations graphiques exécutées sur la carte même^ comme on le verra dans le TYaité de Topographie.
Lorsque les triangles du réseau ont peu d'éteiidue, on les considère comme des triangles rectiligues, et leur sur&ce s s'obtient par la formule connue
ab . ^
^ = — sm C .
S'ils sont de premier ordre , on en évalue la surface au moyen de la série obtenue à la fin de l'art, loo, mais qu'on peut, dans tous les cas , borner au second terme.
En général on a, pour un triangle sphérique u4BCy
€ désignant l'excès des trois angles sur deux angles droits. Lorsque l'aire de la sphère est évaluée en triangles trirectangies {Géom. de M. Legendre , liv. VII ) , l'excès e réduit en parties du quadrant exprime l'aire même du triangle : alors sitf est la surface de la sphère,
UVRE TROISIÈME. Sag
donnée en mesores connues, on aura c exprimée en mêmes mesures y pour le quatrième terme de cette proportion,
puisque la surface de la sphère est composée de huit triangles trirectangles. Or, cette surËice 49= 49r/% / étant le rayon de la sphère, et TT le rapport de la circonférence au diamètre. Donc , pour les triangles sphériques qui font partie delà surface du globe terrestre, on a, en mètres quarrés,
5 = 4^ (6366198)*, et log g^ = 1 i,8o388oi ,
ou plus exactement, en prenant le milieu entre les logarithmes des deux demi-axes de la Terre donnés par M. Delambre (Base du Système métrique, tom. III, pag. 196) et rapportés à Fart. 181 ,
log S = log 49r + alog 6,80387 92664 = 14,70696 83948; ainsi S = 50929380660 hectares = surface du globe terrestre,
et logg^ = 11,80387 84078,
ou bien, exprimant le quadrant en degrés sexagésimaux,
log 8^=11,84963 68984.
Ainsi, pour avoir Taire d'un grand triangle sphérique, au logarithme de l'excès de ses trois angles sur deux angles droits, exprimé en grades ou en parties de grade, on ajoutera le logarithme constant 11,80387 84078, et la somme sera le logarithme de l'aire du triangle évaluée en mètres quarrés. On voit par là, avec quelle promptitude on obtiendra l'aire d\m polygone sphérique décomposé en triangles dont les angles sont connus.
Mais lorsque tous les points d'un réseau trigonométrique sont donnés par leurs distances à une méridienne et à sa perpendiculaire (art. i64) , la surface d'un grand État se décompose en trapèzes sphériques , dans chacun desquels on connaît les trois côtés qui sont perpendiculaires entre eux.
Pour exemple, supposons que les côtés ^, c qui comprennent l'angle
^ ( fîg. iS ) soiem prolongés jasqu'à qb que 1^ arcs jéêl^B^ soient ^gaux chacun au quart de la circonféreotGe ; akars les angles «t, /8 eeront droits, et Taire du triangle isocèle ^ccfiqni, en général , c=:^ + A + i8 — a^ deviendra =ï ^. L'aire du trapèze sphérique a^BCy ou ^a/3 — ^BC sera donc = a<i — S — C.
Mais, par les analogies de Néper, démontrées à l'art. 64, on a
tangK5 + C) = ï;oti~^^-^^;
donc si Pon désigne par Z Taire du quadrilatère sphérique dont il s'agit, on aura
tang f = GOt (^±^ =r -i- j
«Dsuite
tane- — g"' i (^ + fane i ^.
et si Ton dénote par jk> y les deux côtés Bfi, Cet du quadrilatère, perpendiculaires à la base ctfi s=^, en sorte que y = i<i — b^ y tss l'i — c, on aAra , pour la détermination de Faire Z , la formule
tangi2 = ^j^tangj^.
Cette formule , que nous venons de démontrer d'après Lagrange {Trigonom. sphér., pag. 276, 6« cahier du Journal de V École Polytechnique)^ est très utile pour mesurer les surfaces sphériques terminées par des arcs de grand cercle; pour en Ëiire usage, il faudra évaluer l'amplitude de chacun des arcs ^, y donnés en mètres, ainsi que celle de Tare de méridien A^=>v! — % (art, 196). De cette manière, Taire Z sera donnée en grades ou en degrés; pour Tévaluer en mètres quarrés , Ton procédera tfonmie il a été dit à Tart. 89.
De Vaire d'une zone sphérique.
aog. On sait que Taire d'une zone sphérique est égale à son épaisseur E multipliée par la circonférence d'un grand cercle. Soient donc H et U' les latitudes des bases de la zone , et supposons-les de même dénomination, puis désignons par / le rayon de la sphère; on aura
E= f {sin H' -'SmH)=: 2f sin^ {ir ^ H) cos^(H' -h If),
circonférence = a^^ ;
UTRE TROISIÈME. 55 1
partant, aire de la zone, ou
2 = 45r/*8în i {H' — H) cos^{If 4- H).
Calculons, à îaide de cette formule, faire de la zone torride, de la zone glaciale et de la zone tempérée. La première étant bordée par les tropiques du Cancer et du Capricorne^ les latitudes de ces deux cercles sont
/r fi= 4- 35*a8' ^ 5= — • a3.28
de là W -^ H z=z Ô7^
Or, par ce qui précède ,
log 4t/>* = 14,70696 83948 de plus Lsin J (/T — ^) = 9,60011 8i358
LCOS7 (-fir^^- JH') = o,
log 2 = 14,30708 653o6î
donc sur&ce de la zone torride 2 s= 30280867640 hectares; nous avons ôté une dixaine du produit, pour satis&ire au principe de l'bomogénéité (art. 46 ), et nous ayons évalué la sur&ce enliectaresp en divisant par 10000 les métrés quarrés donnés immédiatement par log Z , on, ce qm revient au même, en diminuant de 4 unités la earactéristiqoe de ce logarîtbme.
Pour la zone tempérée boréale, qui est bordée par le cercle polaire arctique et le tropique du Cancer^ on a
^ = 4- 66»5a' JH" » + a5.a8
^' — ^ -s 43. 4 |(jr — ^ = ii»3a<'
H -^ H ^ 90. © , ïXh' + H) = 45. o.
\:€}sx\(h ^ H) •= 9,5647 1 65o65 Lco8i(«'-t-^) = 9,84948 Sooai log. constant = 14,70696 83948
logX es i4,iaii6 97034 ; donc surfece d'une des zones tempérées ï» i3ai8i ao44o hectares
33fl TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Enfin y pour une des zones glaciales, on a
It — H = 523. a8 \{H' ^H) = ii^44' H' ^ H = i56.3a ^CJ^' + ^ff) = 78.16 log.sin ï (jfiT — H) ^=s 9,3o8a5 90190 log cos ï {H' -}- ^) = 9,3o8a5 90190 log. constant = 14,70696 83948
log 2 = i3,3a348 643a8; donc surface d^une zone glaciale = aio6i36io3 hectares.
Récapitulation.
Les deux 2ônes glaciales 4aiaa7aao6 hectares.
Les deux zones tempérées a6436a4o88o
La zone torride 30380867640
Surfece entière du globe 60939380726
Par le calcul direct 60929380650
Différence.... 76
Cette différence de 76 hectares vient de ce que, dans les recherches des nombres correspondant aux logarithmes, nous n'ayons eu égard qu'aux différences premières; ce qui est bien suffisant quand on ne veut, comme dans le cas actuel, que des résultats en nombres» ronds.
De Vaire d'une portion de zone sphéroïdique.
a 10. Considérons, pour plus de généralité, la Terre comme un ellipsoïde de révolution, et cherchons l'aire 2 d'un quadrilatère formé sur le sphéroïde elliptique, par deux méridiens dont la différence de longitude = p, et par deux parallèles dont les latitudes sont o et H.
D'abord, en prenant toujours pour équation de l'eUipse génératrice du sphéroïde terrestre ,
l'axe de rotation sera celui desjK; ainsi, la différentielle de l'aire Z,
Élisant partie de la zone entière engendrée par la réyolotiao de l'arc s de l'ellipse autour du petit axe b^^eta, en général
^ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, Q désignant le quadrant, et x étant le rayon du parallèle à la latitude iï* exprimée en grades ou en degrés. Or, on a (art. 170)
ws=s r> ajs=; j,
(1 +iico8fliî)^ aCi+ncosa^*
par conséquent, la différentielle de l'aire du quadrilatère proposé sera
aQ \ • / (i-t-iico8aJï)*'
expression qui peut slntégrer par séries ou piff logarithmes. Suppo^ sons^ comme à^l'art. 172 y
(,„). ^ + £3,008 6^+ etc.. J'
on aura
2=2^ ^^à:^ ÇdH \cosH+E^,^cosHcosiiH
a (I „.)!•/ l +£(.jC0S//C0S4fir
+£($) cos jfiTcos èjfif +.
Transformant chacun des termes de cette série , au moyen de la relation acoa H cos fj^II=i cos (ft + i)-ef-|-G0S^(^ — r a) jff} puis
intégrant et remarquant que ^"'"^ = V^'Èr *=??("'• ^7^) r ^ Tiendra
Mais, d'après Fart. 17s, on a
TBAIT
E Dfi GEOO
