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Par conwqineiit

D'ailleurs, de ti = ■ ^^ » on tire

n -^ m* = 2m — mTt 4- ti^; ainsi

Bço •+- JEojsss — un [(i — n) (a -H m)],

• ^.) H- jEc?) = + am* [(i — n) (3 H- am)],

JSct h- JS(4, = — am» [(i — n) (4 -I- 3w)];

et enfin

^tsiûiï— ;^OT(a4-/n)sin3^4-im*(5-Ham)sin5^|, v "* 1 —^ 771^(4+ 3m)sin7^+etc- J^^^^

^^MTVxiTile dans la({«elte 7>i=^ ^Tb (^^' ^7^*^ <^i^c ^^^ employait

.ra{dati8seméDt ^^ ^ aurait 771 == ^ , et a^ «s m a\

On obtient cette série régulière par un autre procédé, ainsi qu'il suit. Si, dans l'expression difierentielle

on met pour x et ef^ leurs valeurs respectives ,

acQsH b^dH

(i — e» sin» Zf)» * a(i— c»pm*JÏ)^'

trouyées aux art. 167 et 169, on aura •

dl^S-

wh^d.aînEf

Or, en faisant e sin H^sz^Zy il est évident que d'ailleurs

(I — *•)• ~ La(i — »T a(i — a*)J '

ainsi intégrant, il vient et par conséquent

sans constante, parce qu'elle est nulle lorsque H=: o. Pour appliquer plus commodément les logarithmes ordinaires à cette expression , soit ^ sin ZT = sin ^ ; on aura, en faisant attention qu'il faut convertir , dans le second membre , le logarithme ordinaire du facteur du second terme en logarithme hyperbolique ou népérien ,

Jlf étant le module o,4343g4 (art. 107).

Il résulte de là , que Taire litière de l'ellipsoïde a pour expression

Mais , pour retrouver la série précédente , l'on remarquera d'abord qu'à cause de

2 = eiT— ^ h - T-^-l

on a

valeur qui, d'après Tart, 170, peut être mise sous cette forme :

— pirb* f ^^ X p ain ^ ^^ C dHcoa H "1

\^ -r /^; Li + „ cos a£r ^J i +/1C0S a^J'

Or, en développant en série chacun des termes du second membre, puis faisant les s transformations qui se présentent d'elles-mêmes, pour n'avoir qiie des cosinus linéaires, et intégrant, on retombera définitivement sur la série (1 ).

Il suit de là, qu'en désignant par -H^ et H' les latitudes de deux parallèles, et par p , pMes longitudes de deux méridiens, Taire Z^») du quadrilatère compris entre ces lignes, sera , en Ëdsant d'ailleurs

2(.j == 'TTOb (^—^\ (sin ip cos <t> — j m (a +• m) sin 5<p cos 5* 1

5 /TZ* (5 + am) sin 5(p cos 50; .

— ^m? (4+ 5/;z) sin 7(p cos 7*! '

série dont le terme général est évidemment

le signe supérieur ayant lieu lorsque i , qui est le nombre des termes, est impair, et le signe inférieur devant être pris dans le cas contraire. On a par là le moyen de calculer, avec une extrême facilité , Faire de l'étendue d'un pays dont on a construit la carte à l'aide des latitudes et des longitudes. Par exemple, on peut embrasser dans un seul calcul la plus grande portion de cette étendue comprise entre deux méridiens et deux parallèles; ensuite évaluer, d'après des mesures prises sur l'échelle de la carte , les rapports que les parties du terrain figuré dans les quadrilatères partiels ont avec ces mêmes quadrilatères dont les surfaces s'exprimeront en niesures quarrées, à l'aide de la formule précédente (*).

(*) Voyez i pour l'expression de l'aire d'un ellipsoïde quelconque, les Exercices de Calcul intégral par M. Legendre, première partie, page 182.

ail. Ceux qui voudront rechercher diverses expressions du volume d^un segment de sphéroïde terrestre ^ compris sous des bases parallèles au plan de l'équateur , n'auront pas de peine à les trouver d'après ce qui précède. Par exemple, si o et jETsont les latitudes de ces bases , le volume V de ce segment sera donné par la formule suivante :

= *è*/ sin H.{\ — g 5., 8ia« H), OH, par cette série régulière et simple ,

V^irVf sin J/.Q — g ^ sin'ZT. (i + e» sin* Jï + c* sin*^+...)lî

f et/ étant, comme à Part. 187 , les rayons de plus grande et de plus petite courbure de la sur&ce du sphéroïde terrestre, au point dont la latitude est H.

Application numérique.

912. Étant données la difierence p — p des méridiens extrêmes d'une portion de zdnè sphéroïdique et les latitudes i/, H' des parallèles qui bordent cette portion de zone sur la Terre; évaluer en hectares Taire 2^,) qu'elle renferme. *

Soient

p— />' = 5-i8' = 5%5, H = 45-4o'i5^ IT = 4a•8'^^ aplatissement == ^, loga = 6,8o458 39646 en mètres^

m = ^-| = ^, logé = 6,8o3i7 45662;

on aura, en se bornant aux trois premiers termes de la série ,

2, — irah (^~^ /^^"^ <p cos * — j m (a -f- 7/1) sin 3ç cos 3*| ^•^ \9o' /[ +i7n*(3 + 2771) sin 5<p cos 5*J ^

de là

TRAITÉ DE CÉODÉSIE.

H at: 45'4o'i6" 4t. 6.

SMS' 9"

I m* (5 4- a/Tï)

3 • (6iry

54 ss; aig.So. o

Tous les élémens de la formule étant préparés, Ton procédera au calcul de chaque terme ; et comme le premier est le plus consîrdérable , on Tévaluera au moyen des grandes Tables de Vlacq à 10 décimales. Quant aux deux autres termes , il su£Sra de les calculer avec les Tables de Callet.

D'abord îl est à remarquer que l'angle ç étant très petit, il convient, pour avoir son log-sinus exactement, de tenir compte des différences troisièmes. Or, les Tables citées donnent

f^ff

log.sin i*46'o'

et d'après l'art. 106, si ^ désigne le logaaithme^sinus cherché, on aura \

(I) (II) (iii)

ly ailleurs, les tables étant calculées de lo" en lo", on a évidemment h = 10"; et à cause de nh = 3", il s'ensuit <iue n = o,3. De là (I) = 0,3 X 6821001, (II) = (— o,io5) X (— 10704) = ao463oo. = 1123,9.

(III) = (0,0696) (26) =s 1,5.

(I) = 4- ao 463oo