LIVRE DEUXIÈME. \i

et si pour tang B on met sa valeur {a\ on aura

^ sin At os A (i«^ cos c) + cotfe aîn csîn^

" 1— coa*^ (i—cos r) — coté sine côsû?

\ c* sîn -^ cos :^ +f c— TT J 8În A cot i 1—— cos*u^ — f c— -g- jcos ^cot h

Réduisant le second membre en série par la formule du binôme ^ on obtiendra , après les réductions ,

tang X = c sin ^ cot 6 + c* sin A cos u^ (j + cot* J)

+ c' sin ^ cos* A cot J (i + cot* h)

— g- sin A cot 6.

Mais en général

x= tang 3C — \ tang* 5C +. . . .;

ainsi substituant ici pour tang x sa valeur précédente, et faisant attention que sin^ -^ = sin -rf (i — cos* A\ l'on retombera sur la série (!)•

Il reste à obtenir Tangle C. Or, l'équation (3) devient, en y mettant pour tang c sa valeur en série,

tang C= -7-7 Tir.

« sm ^«-cos A cos b tang c

sin -^ r^ + "âj

in 6 1— co«^cotif C+-S-J

sin

puis développant en série, il viendra

^ siny^ , - sin -<^ cos ^ cot ft , f? sin^rf

o sui6 sin6 ' 3 8in ^

, sin -<^ cos* A cot* 5

sin&

et parce que

C = tang C— . \ tang» C+. • . .,

on aura

g^ %\ïiA ^ ^ sîn A cos -/^ cot i

sin b sin b

-J*. /*3 f"' ^"^ ^ I sin A cos* ^ cot* h , îIbI^O

ii6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

mais

ain»^=sin^(i— cos*u^, et -^ = — iST~'

substituant ces valeurs dans celle de C précédente, on retrouvera enfin la série (II).

Résolution des triangles sphériques dont les côtés sont très petits

par rapport au rayon de la sphère.

loo. La résolution des triangles sphériques très peu courbes, se ramène immédiatement à celle des triangles rectilignes, au moyen d'un tliéorème très remarquable dû à M. Legendre , et qui est de la plus grande utilité dans les opérations géodésiques. En voici renoncé et la démonstration.

Le triangle sphérique très peu courbe , dont les angles sont Aj By C, et les côtés opposés a, hj Cy répond toujours à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur , et dont les angles sont A — î^^B — ^6^C — j€^€ étant V excès de la somme des angles du triangle sphérique proposé sur deux angles droite.

Puisque a, J, c sont les côtés d'un triangle sphérique construit sur une sphère dont nous désignerons le rayon par rj un triangle semblable, tracé sur la sphère dont le rayon = i, aura pour

côtés -,-,-; et parTart. 64,

cos -— cos -cos -

COS-r^=

. b , c sin - sin r r

Mais pour abréger, nous représenterons respectivement -, - , - par oiy fiyy, et nous aurons

cos M — COS fi COS y

COS

sin fismy

r étant fort grand par rapport aux côtés a^ b, c, il s'ensuit, sans erreur sensible, que

il en sera de même des valeurs de cos j9, cos y et sin y.