LIVRE DEUXIÈME

De là PéquatioD précédente deviendra

Transportant au numérateur le facteur (1 — j /3* — ^ >*) élevé à la puissance — 1 , développant jusqu'aux quantités du quatrième ordre inclusivement, et réduisant, on aura

^^^ V jS^ -f y* — ^V , ^^ + /g* +y*— fl*'/fl* — auiV— a ^'v»

remettant les valeurs de «, /3, >^, le second membre sera toujours composé de la même combinaison de lettres , et pourra être représenté par

Soit maintenant ^d^' l'angle opposé au côté a, dans le triangle rectiligne dont les côtés seraient égaux en longueur aux arcs a, b^ c; on aura,

COS^^= ^frc =^c>

élevant les deux membres au quarré, et mettant 1 — sin* ^' au lieu de COS' u4'y il viendra

— 4èVsinV=a*H-*^+c*— aa***— aaV— aiV=iV.

L'équation (1) sera donc ramenée à la forme

cq^ud? = cos-^' — g~sin* -^'.

Soit ^ = -rf' -f-^ ; on aura ; enrejettant la seconde puissance de jc,

COS A = COS ^' — X sin -^' ; d'où l'on tire , après la substitution de la valeur de cos ^,

bc . ^1

Nous voyons par là que x es^u second ordre par rapport à - et - ; ainsi ce résultat est exact, aux quantités près du quatrième ordre^

iife TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

Donc à cause de -^= -r^'-+- jc,

maià i bc sin ^' est visiblement l'aire du triangle rectiligne dont a, b^c sont les cotés, laquelle ne diffère pas sensiblement de celle du triangle sphérlque proposé ; donc si l'une ou l'autre aire est appelée Sf on aura

et scmblablement y £' = £ - ^

d'où il résulte

On peut donc considérer ^ comme étant l'excès de la somme des

trois angles du triangle sphérique proposé sur deux angles droits, et l'on doit remarquer que dans tout oe calcul y les angles des deux triangles sont censés mesurés par des arcs de cercle dont le rayon est i'unfté. Telle est ia démonstration donnée par Lagrange, dans son excellent Mémoire sur la Trigonométrie sphérique {6« n* du Journal de l'École Polytechnique).

V excès sphérique ^ = 3> quiest proportionnel à l'aire du triangle,

peut toujours se calculer à priori, et cela en considérant le triangle sphérique proposé comme rectiligne. Si donc deux côtés ft, c et l'angle compris ^ sont donnés , on aura l'aire s=:ibcsinu4. Si au contraire on connaît un côté a et les deux angles adjacensi?, C, on

aura Taire 5 =ïa*^:^7Tj^^. .Cette formule n'est qu'une transformation

de la précédente ; car il est évident, i*. que sin u^= sin (5+ C),

a^que6= . .i. . /», ; 5\ etquec= ■ . .„ , ^ , art. 47.

La remarque de l'art. 91 ^st encore applicable dans cette circonstance , où il s'agit d'avoir Vexcès sphérique s en secondes j ainsi ,

UVRE DEUXIÈME- iig

La valeur de i étant toujours d'un petit [nombre de secondes, il s'ensuit que celle de l'aire du triangle n'a pas besoin d'être déterminée avec une grande précision. Mais veut-on savoir ce qu'on néglige en calculant s par le procédé qu'on vient d'indiquer? on n'aura qu'à développer en série l'expression

laug . o — 1 + tang i a tang 1 6 coa C

démontrée à l'art. 89 , et l'on trouvera , par la méthode de l'art, gî,

j 5 = tang i a tang ^ J sin C — \ tang* \ a tang» \ h sin aC

+ \ tang^ \ a tang^ i 6 sin 3C — etc. j

d'où l'on voit qu'en ne prenant que le premier terme de la série , on néglige des quantités du quatrième ordre et des ordres supérieurs , qui sont tout-à-fait insensibles dans la pratique de la Géodésie ; on a donc

j 5 = tang 7 a tang \ h sin C, et enfin s^=.\ab sin C,

en substituant en outre aux tangentes des petits arcs leurs valeurs en séries, et ne conservant que le terme du second ordre, qui est le plus considérable. Il résulte de là que l'aire d'un triangle sphérique peu courbe, peut s^évaluer comme celle d'un triangle recliligne.

lao TRAITÉ DE GÉODÉSIE.