CHAPITRE III

Description et usages du Cercle répétiteur.

11 3. Jï^i on partage la circonférence d'un cercle en plusieurs parties égales^ et qu'à partir de zéro Ton porte successivement sur cette circonférence, et suivant l'ordre des divisions, la longueur d'un arc, jusqu'à ce que sa seconde extrémité tombe exactement sur une des lignes de division, ou du moins en soit si près que la dififêrence échappe aux sens; on obtiendra rigoureusement, ou d'une manière très approchée, le nombre des parties contenues dans l'arc proposé, en divisant le nombre des parties de l'espace parcouru, par le nombre de fois que l'arc aura été porté sur la circonférence. Supposons, par exemple, que cette circonférence soit divisée en 4ooo parties, et qu'à la neuvième fois , après une révolution entière, l'arc dont on cherche la mesure tombe sur la ligne qui termine la 5o° division ; il est clair que l'espace parcouru contiendra 4o5o parties, et que l'arc [Mroposé aura pour mesure ^V" = ^^o. Cet arc sera donc à la circonférence enlière dans le rapport de 9 : 80. S'il existe une erreur dans cette évaluation, il est évident qu'elle ne doit être que la neuvième partie de celle dont peut être affeclée la neuvième division; mais rien n'empêche de rendre cette erreur beaucoup plus petite et même de l'atténuer, en portant l'arc à mesuier un plus grand nombre de fois 6ur la circonférence.

Ce moyen fort ingénieux de trouver, par des opérations répétées, le rapport d^un arc à la circonférence dont il fait partie, est du à Fastronomc Maycr ; mais Borda en fît une application très utile dans la mesure des angles, en imaginant pour cet effet le cercle répétiteur dont nous avons déjà parlé, et qui réunit le précieux avantage d'éluder presqu'entièremeut les erreurs de la division, lorsqu'on multiplie suffisamment les observations.

Un cercle de 45 centimètres (16 pouces) de diamètre suffît poiu: les opérations les plus délicates de la Géodésie, et son iimbe com-

LITRE TROISIÈME. i45

prend aisément 4ooo parties égales, dont loSovment le grade ou le degré décimal. Dans un cercle de cette dimension , et même daus les cercles plus petits, la lunette supérieurcu^j? (planche III) est adaptée à on châssis formé de deux règles ou alidades rectangulaires. On évalue les fractions des plus petites parties du limbe au moyen des divisions tracées aux extrémités des règles du châssis ; l'ensemble de ces divisions compose ce que l'on nomme le vernier ou le nonius. Pour concevoir l'usage du vernier, supposons que le limbe comprenne 4ooo parties, et par conséquent 4oo grades; et que g de ces parties embrassent les lo parties du vernier : alors quand la première lime du vernier, qu'on nomme index on ligne de foi, sera exactement sur une ligne de division du limbe, sur le 4o® grade par exemple, la seconde ligne du vernier sera en arrière de sa correspondante sur le limbe, d'un dixième de décigrade ou d'une minute centésimale. Si donc on faisait avancer la lunette supérieure suivant l'ordre de la graduation , et de manière que toutes les lignes du vernier coïncidassent les unes après les autres avec celles du limbe, on lirait successivement

4</,o, 40^,01 , 4o',oa , 40^, 1 ;

puisque l'index, partant du4o* grade, aurait parcouru tj , ensuite T^j •h'i tV-— ît d'un décigrade, ou de la plus petite partie du limbe. Le vernier donne donc dans ce cas les centièmes du grade ou les minutes. On peut même avoir par estime des millièmes ou des dixaines de secondes. En général, si le vernier contient n parties, il

donnera -i—^de la plus petite partie du limbe; et par conséquent une

partie du vernier sera à celle du limbe dans le rapport de n— 1 : 7?. Ordinairement les dix parties principales du vernier sont chacune divisées en deux également, pour rendre l'estime plus sûre.

Il suit de là que si un cercle était d'une petitesse telle que le grade ne pût être partagé qu'en 5 parties égales, chacune d'elles représenterait un arc de %o minutes centésimales, ou ao centigrades; ainsi, le vernier composé de 10 parties donnerait les minutes de â en 3.

Afin de pouvoir lire aisément le vernier, on se sert d'un micros^ cope ou d'une loupe qui grossit les objets; et même pour rendre les traits plus distincts, on est quelquefois obligé d'éclairer la partie du cercle où l'on doit lire, par un reflet de lumière provenant d'un

i44 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

morceau de papier que Ton expose au-dessus du limbe , dans une situation convenable. Cela est sur-tout indispensable lorsque les divisions sont tracées sur l'argent , parce que l'on obtient de cette manière un blanc mat qui ne fatigue point la vue. Dans les cercles français, chaque microscope est ordinairement adapté au châssis des yerniers ; mais il est beaucoup plus commode d'en placer deux aux extrémités d'une branche mobile, assujétie à tourner autour du centre du limbe.

L'agrafe qui accompagne chaque lunette sert à la rendre fixe sur le limbe de l'instrument. Pour cet efiet, l'on fait tourner dans le sens ^^onyenable les vis de pression/?, p^ (planche Y I).Quand on commence à éprouver de la résistance , on est sur que la lunette ne peut plus se mouvoir indépendamment du limbe.

A chaque agrafe est adaptée une vis de rappel 12, i{^, au moyen de laquelle on fait avancer ou reculer lentement la lunette.

Chaque lunette porte à ses extrémités deux verres convexes d'inégales dimensions. Celui qui a le plus grand diamètre se nomme Xohjectif; c'est le verre qui est traversé le premier par les rayons lumineux venant de l'objet L'autre verre ou lentille, se nomme Yoculaire, parce que c'est à travers cette lentille que l'on regarde directement.

L'objectif est formé de deux verres de différente espèce; le premier, de verre ordinaire ou de crown-glass, est convexe , et placé tout-à-fait aubout de lalunette; le second, de ztisXaXoxiàiàJlint-glass, est concave et placé du côté de l'oculaire, de manière à emboîter exactement la convexité du premier. Les lunettes qui ont un pareil objectif sont dites achromatiques, parce qu'elles ne produisent aucun iris autour de Timage de l'objet, et que la vision est alors très nelte, sur-tout vers le centre de l'objectif

On a imaginé en Bavière , il y a peu de tems, un procédé pour fairs le flint-glass , et il paraît qu'on l'obtient de très bonne qualité, c'est-àdire très dense et sans stries. On en fait aussi d'excellent en France.

On appelle champ de la lunette, tout l'espace circulaire que l'œil y découvre : il est utile qu'il soit le plus grand possible. Les meilleures lunettes sont celles qui offrent un fort grossissement.

Dans les lunettes à deux verres convexes seulement, les objets sont vus renversés , et plus clairement que dans celles où il sont vus droits, à l'aide d'un plus grand nombre de lentilles. On n'en adapte

pas d^autres aux iostrameDS de Géodésie et d'Astronomie. Ce renversement de l'image n'a aucun inconvénient, parce que l'on est bientôt accoutumé à discerner les objets dans cette situation.

L'objectif de ces lunettes est ordinairement adapté à une pièce cylindrique mobile , enveloppant l'extrémité du canon. Nous indiquerons tout à l'beure l'usage de cette pièce.

Le lieu intérieur de lalunette où viennent se peindre avec beaucoup de netteté les objets extérieurs, se nomme \^ foyer de l'objectif: on tire ou bien l'on enfonce le petit tube qui porte l'oculaire , jusqu'à ce que cette circonstance ait lieu. La distance de l'oculaire à l'objecti^ varie selon la vue de l'observateur.

Le réticule y placé près de l'oculaire et au foyer de la lunette , est un diaphragme ou petit anneau de métal dont les diamètres rectangulaires, un peuplus petits que ceux de la lunette, sont représentés par deux fils de soie, d'araignée, ou d'argent. Cet instrument a la pro^ priété de se mouvoir perpendiculairement à l'axe de la lunette, et de s'incliner d'un demi-quadrant.S'il arrivait que ces fils donnassent lieu à une parai/axe^ c'est-à-dire que leur imagis parût éprouver du dérangement àPégardde l'objet que l'on fixe, lorsque l'on regarde par diP^ férens points de l'ouverture de l'oculaire; alors on ferait mouvoir en avant ou en arrière, et parallèlement à elle-même la pièce qui entraîne l'objectif, de manière à en ramener le foyer à l'endroit même des fils supposés fixes. Au contraire, quand ces fils sont mobiles dans le sens de la longueur de la lunette, on les rapproche ou on les éloigne de l'objectif jusqu'à ce qu'il n'existe plus de parallaxe.

Les extrémités du cylindre X (pi. III et VI) traversent lesboutsdes slîpportsZ,Z^ Ce cylindre en tournant, incline l'axe Fplacé peq)endiculairement au centre du cercle auquel il sert de pivot. Pour incliner le cercle à volonté, et le conserver dans la position que Pon juge convenable de lui donner , on desserre d'abord la vis P du quart de cercle attaché au cylindre Xj ensuite on la serre quand on a obtenu l'inclinaison désirée. II est utile qu'il y ajt aussi une vis de rappel à ce quart de cercle , pour lui procurer un mouvement lent analogue à celui qu'on peut donner aux lunettes.

«Dans les cercles de Borda, l'axe l^traverse une espèce de' boîte TV qui porte le nom de tambour, et dans laquelle est enchâssé un plomb servant de contre-poids au cercle, pour le tenir en équilibre daijs le

j46 traité de Géodésie.

cas on Pon oublierait de faire agir la pioee P pour fixer le quart de cercle C au support Z.

Le périmètre du tambour est dentelé , de manière qu'a Faide de la vis sans fin /f^(pl. Y) qui engrène dans cette dentelure^ on £dt tourner lentement le cercle et les lunettes, sans que la colonne S participe à ce mouvement. Cette vis- sans fin, que l'on nonune aussi vis tangente, se détache du tambour au moyen d'un pivot tournant 27^ auquel est fijLée une petite pièce d'acier fidsant l'office d'un levier.

Les supports Z , Z' sont unis par une traverse , et forment ce que l'on nomme la fourchette. Cette traverse se fixe à la colonne de l'instrument, en la plaçant sur le talon qui termine cette coloime, et en l'arrêtant par le moyen des vis Hj EP. On voit donc que l'instru* ment est composé de deux parties qui peuvent être réunies ou séparées à volonté : on les sépare pour les emboîter et les transporter plus commodément.

Le pied de la colonne est placé au milieu d'un cercle denté z zf^ que Ton nomme cercle azimutal. Ce cercle est établi à demeure sur le pied de l'instrument , composé de trois branches ^, f^'y ^". Le bas de la colonne entraîne par son mouvement de rotation une alidade zz' ( pL YII, n* a) , à l'une des extrémités de laquelle est un vemier qui sert pour estimer les parties des divisions du cercle azimutal. La pince K est destinée à arrêter ce mouvement, tandis que la vis d'engrenage, ou le pignon O, sert à le procurer. Quelquefois le cercle azimutal tourne avec la colonne, et pour lors le vernier est fixe.

Il résulte de ce qui précède, i*". que les deux lunettes peuvent être rendues fixes ou mobiles indépendamment l'une de l'autre ; a^ que la colonne étant immobile , le limbe peut tourner rapidement ou lentement autour de l'axe Y^ si l'on désengrène ou si l'on fidt agir la vis du tambour; S"", que tout l'instrument peut tourner de la même manière sur sa colonne ; 4*. enfin que le limbe s'incline dans deux positions difTcrentes, au moyen du quart de cercle et des vis du pied*

Il nous reste à parler du grand et du petit niveau.

Le premier dJX^X. Y), adapté invariablement à la lunette inférieure ji'B\ est composé d'un étui en cuivre recouvrant en partie un tube de verre fermé hermétiquement , et contenant de l'alcool ou de réther, et une petite quantité d'air ou de vapeur de la liqueur, qui prend vêts le milieu du tube une forme plus ou moins oblongue, suivant la température de l'atmosphère. La justesse de cet instrument dépend sur-tout de sa sensibilité; on entend par là la grande facilité avce

kujaetté la'^bdle 3Vir cpiitte le milieu datube pour se rendre à son extrémité b plus haute , lorocfu'on donne la plus petite inclinaison à cetiAe.CettesensibiUtéM manifeste d'autant plus que la buUeest plus longue et que le tube est d'un; plus grand diamètre. Il faut cependant que cette sensibilité ait des bornes , car si la paroi intérieure du tubo était cylindrique, la buUe d'air, hors le cas^ d'équilibre , se précipite* raittou|oure^Vextrémitésupérieuredelacolonnefluîde,etilseraitd'ait leursextrèm^nent difficile delà rendre stationnaireau milieu du tube. Feu M. de Chezy^ ingénieur de^pants etchaussées^reconnutle premier que pour remédier è eetiseonyénient^etfeire«n«orte<iue l'écartde la bulte d'air fût proportionnelaux degrés d'inclinaison de î'axedu niveau, il allait donnera Vîntérieur du tube, dan& le sens de sa section longitudin^e , la forme d'un «rrc de cercle d'une très légère couf bure. On juge que le niveau est talé^ c^est-ànâire que la bulle' d'air est stationnaire au milieu du tube, lorsque les extrémités de t^ette bulle rqiondentaux mêmes numéros qui désignent les divisions tracées symétriquement- sur le tébe, ou sur une petite règle tl'ivoire ou de métal placée au - dessus du niveau. Les plus petite» parties de cette règle-sont or^nairemettt des millimètres, et le point zéro est au milieu du tube. * Il n'y a que l'expérience qui puisse fhire tx>nnaitne conyi)ien de partie» doit' parcourir la bulle en partant du milieu du tube, pour que Fiaôlinaison de l'axe du niveau soit de 1''. On verra par la soite' comment l'on^fàit cette expérience. M. Fortin, l'un de nos plus habiles artistes, construit des niveaux à tubes rèdés^ qui : ont «ne grande sensibilité.

'Le petit niveani^ (p^*'^^) ^1^ construit d'après le même principe : que le> précédant, et il estplacésur Vaxe JTdu cercle ; l'une de ses ex- Ltrémités est fixée â une charnière, mais l'autre extrémité peut être soulevée par le moyen d'une vis. Ce jeu est nécessaire pour caler ce niveau, lorsque le limbe du cerclea été disposé verticalement à l'aide d'un fil-à-plomb suspendu. à une pince qu'on adapte, à la circonférence dU limbe. Pour, que cette verticalité ait lieu , il faut que. le ' fil-à-plomb balte librement sur la ligne tracée autour de la petite ^e '^^la seconde pince accrochée au point ie plus bas de la circoijAfêrencedôntlls'agit. Lorsque l'artiste a eu le soin de tourner le <ier6le sur son axe même , il est plus exact , pour mettre le plan de ce cercle dans une situation verticale, de disposer l'axe horizofitalcmGQt au moyen d'un niveau à buUe rd'air.que Ton y suspend.

j i4. Le cercle de Borda, tel que nous venons de Te décrire , est extrêmement précieux en Géodésie et en Astronomie ^ à cause de Fexactitade des résultats auxquels il conduit lorsqu'on sait en fiiire un bon usage. Néanmoins , il n'est pas exempt de quelques iobperfections, et l'une des plus grandes, selon nous, est dans l'eflfet de la vis tangente; car si en la Élisant engrener, il arrive qu'un de ses filets tombe précisément sur un de ceux du tambour , Iç cercle éprouve un ébranlement subit et violent aussitôt qu'il re^ çoit un petit mouvement de rotation par le moyen de cette vis, en sorte que les lunettes sont transportées tout à coup bien au-delà des points auxquels on vise; mais on corrige ce défaut en substituant une pince à la vis tangente, comme le fait maintenant M. Bellet. Un autre inconvénient, c'est que la colonne est si longue, que le cercle oscille par un vent faible, ou par le moindre cboc; mais fl est des artistes cjui remplacent cette colonne par un axe en fer, soutenu par trois branches de cuivre Ëiisant les fonctions d'arcs-boutans : alors le cercle a dans toutes ses positions une grande solidité. Tels sont les cercles astronomiques de MM. Lenoir et Fortin. >

M. Relchenbach, artiste très distingué de Munich, construit, de* puis plusieurs années , des cercles répétiteurs qui ont aussi acquis une grande réputation. Ils sont principalement remarquables par l'exactitude de la division, la bonté des vis de rappel, et en ce que la lunette supérieure est adaptée à un cercle mobile tournant avec la plus grande liberté dans un autre cercle gradué. Le grand cercle astronomique que cet artiste a construit pour M. Laplace , et qui est établi à l'Observatoire royal, est un chef-d'œuvre d'exécution. M. Fortin en construit un autre, d'après les principes deM.Trought(m : on a tout lieu d'espérer que ce nouveau cercle mural rendra de grands services en Astronomie.

De la mesure des angles entre deux objets.

11 5. Avant de procéder à la mesure d'un angle , il est essentiel de s'assurer si les axes optiques des lunettes, c'est-à-dire si les droites menées par le centre de réfraction de chaque objectif et llntertfectîon des fils des réticules, sont exactement paraUèles au plan du limbe : pour cela, on se sert d'une lunette d^épreuve.Celte lunette ep (pLIV), qui n'a qu'un fil , traverse deux plaques quarrées qq'^ parfaitement égales. Lorqu'elle est placée sur le Kmbe disposé horizontalement,. QU voit à quelle ligiie distincte d'un objet très éloigné son fil horizontal

tepond; et si, en la renversant sur les faces qq opposées à .edUes jq'q' ce fil passe par la même ligne apparente, on est sûr alors que Taxa optique est exactement parallèle au limbe. Si au contraire cette qpreuye £iit connaître que Taxe optique passe par une autre ligne, il sera nécessaire dans ce cas d'élever ou d'abaisser le réticule de la lunette de la moitié de la distance des deux lignes observées; ce qui se Ëiit au moyen d'un tourne*vis qu'on implante dans la tête dïe la vis de rappel de ce réticule. Cette vérification étant faite , et la lunette d'épreuve restant dans la même situation, l'on dirige sur sa ligne de repère, les deux lunettes de l'instrument; et si les fils horizontaux de leurs réticules, ou bien si les intersections des fils inclinés d'un demiquadrant n'y répondent pas , on lés y amène au moyen des vis de rappel r des réticules ; après quoi les axes optiques des trois lunettes se trouvent parallèles au limbe.. ...

On peut se passer de lunette d'épreuve par le procédé suivant. Après avoir rendu vertical le plan du limbe et mis le cercle azimutal dans une position horizontale , à l'aide d'un petit niveau nn^, on amène la lunette supérieure sur un objet éloigné, ensuite onfoit fidre exactement une demi-révolution à l'instrument, puis l'on ramène la lunette sur l'objet ; alors si l'intersection des fils du réticule s'est écartée du premier point de mire dans le sens horizontal, cela vient évidemment de ce quel'axe optique n'est pas parallèle au plan du limbe; dans ce cas l'on amène l'intersection des fils au milieu de l'intervalle, à l'aide de leur vis de rappel. Pour vérification l'on recommence cette opération plusieurs fois, et quand on est sûr que le parallélisme existe, il ne reste plus, pour l'établir relativement à la lunette inférieure, qu'à &ire coïncider son axe optique avec celui de la: lunette supérieure. Ce procédé, dont il est &cile de se rendre raison , serait exact sans les imperfections peut-être inévitables de l'instrument; aussi vaut-il mieux, pour plus de sûreté, recourir à la lunette d'épreuve.

Lorsqu'on doit observer une flèche, on trouve quelquefois qu'il est plus commode et plus exact de l'amener à l'intersection des fils inclinés, ainsi qu'il vient d'être dit. Mais il est à propos de remarquer que de quelque manière qu'on dispose ces fils pour l'observation, il &ut préalablement les vérifier dans la situation qu'on aura adoptée, parce que, comme ils ont dans chaque lunette un mouvement commun, il arrive souvent que par un petit dé&ut de construction leurs intersections ne répondent par précisément au même point, dans les

ifio TRjOTÉ DE GÉODÉSIE.

doux iMMitiMê • que Pon peut . donner ncL réticnlas ; : et - ctet ce <|iii ferait ipieies^nglesMreieat coursât obeenrés^dans an pianautra qite celui «urileqMi on compte les grades ou les «tegrés. Enfin, il est important ée rendre 'Pob|eetif fixe à fégard dutobe de la lunette; cAf, conime!ie««entre de figure et celui de réfimction ne eomdideiit pas toujours, 'Vaxe»optique^seidénangerait dans le cours d'une observMiokiy'Sirdbjeetifyenaîtà touftier sur luMnême.

Mamteiiànt , pour mesurer un^ atigle entre lieux objets terrestres , il &Ut d'abord amener tes ffl:«8 optiques des lunettes dans le plan de cet angle, et les y cotiserveir pendant tout te coure de robservation. PMiroet «Sët, l'éncominence par di^ioser le limbe du cercle de tmaniére que^son plan passe à très peu. près par les deux points de mire ; or, c'dst a quoi V^no panricntea bompyaat à la meâimple, et inclinant seulement le limbe, en fidsant tourner nn peu, s'il ert nécessaire, tout l^strumentsur iaciUonne, fosqu^ ce que les objets paraissent à égales diàtances du limbe. Ensàite, Pun des observa* leurs (car' il est bon d'étrte deux, pour s'entr^aider et éviter beaucoap de ienteura et tàtonnemens) rendant la oobmneimmdisle , donne un aourement defrotabien auMmbe, jusqu'à ce que la lunette supérleupè fixée À zéro 'SOit- dans la ^dîpection de Pmi des ob)etsyde jodiui de droin^par exemple.Le second observateur de son côté, place la kioette inférieure, rendue libre, dans la direction de l'autre objet ;tt chacun choîsîsssnt «ne vis du pied de l'instrument, la plus'vowne du'vi^rtical de son oculaire, la fait mouvoir pour amener l^îmage de lV>b$et dms'te champ de sa kmette, et ensuite à intersection ides fils.

Ge pnMédéeMi évidemment fondé>Mr ce principe qn'im plan- est dofliné de posid«n lorsquYl passe par deox drilles qui se coupent, ou' fersqne 'passant par un peint, ilestassujétrà étreparMiieÀces mêmes droites. Ceux qui commoicent à ^e usage du cercle, ont quelquefois de la peine à se rradre ce procédé fiimiKer , quoiqu'il ^^it'fort simple, et qu'il réussisse d'autant mieux qu'on aeu laprécatSftion de disposer une des brandies du pied dans la directî^i' de la ligàe ^i divise à peu prés en deux parties égales l'angle à mesnrer. Cependant s'ilarrivait que par' ufie position particulière du oerèïe, les deux raouvemens imprimés en même tetos aux d»» lunettes Avec les vis du pied se nuisissent «on tinuellement, il fandrafit déranger wn peu ladite€tiende5pieds,^fiade'détlTOrecet'eSët et deparve*

zrîr au but quW se propose d'atteindt^* M^Delâmbre tt donné une formule pour éviter les tâtonnemens à cet égprd^ mais* avec un .peu de pratique, on est toujours dispensé d'en faire usage.

Supposons dbncque les axes optiques soiéiit dans le plante Pangle a mesurer, et que les divisions du limbe, selon l'usage en France , soient numérotées de gauche à droite; on amènera, i*. sur Tobjet à droite la lunette supérieure toujours fixée sur zéro, en faisant tourner le limbe, après avoir isolé la vis tangente des filets de la vis du tambour, ou desserré la pince qu'on lui a substituée; ensuite, en fhisant tourner cette vis lentement, lorsqu'elle aura été remise en action.

a*. On amènera la lunette inférieure sur l'objet à gauche, d'abord en desserrant son agrafe pour la rendre libre, puis en disant jouer la vis de rappel de l'aigrafè rendue fixe : alors quand les deux lunettes seront exactement dirigées sur les deux objets, on aura la première partie de l'observation.

3^ Sans déranger les lunettes, on desserrera la vis tangente, et Ton fera tourner le limbe en dirigeant la lunette inCerieure sur l'objet à droite; et pour l'y fixer, l'on fera engrener la vis tangente. De cette manière, l'objectif de la lunette supérieure aura été repoussé dans le même sens d'une quantité égalé à l'angle mesuré ; et s'il arrive que le cercle ne soit plus dans le plan des objets, on l'y remettra à l'aide des vis dû pied.

4*. On amènera enfin sur l'objet à gauche, la lunette supérieure rendue libre, et on l'y fixera en serrant son agrafe j par ce moyen, cette lunette aura décri^un arc égal au double de celui qui mesure l'angle proposé. On lira l'arc parcouru par la ligne de foi du vemier , et la moitié de cet arc sera la mesure de l'angle observé, abstraction Élite toutefois de la petite erreur causée par l'excentricité des lunettes.

Cette mesure s'obtient donc à l'aide de deux observations conju^ guées. Dans la pranière, la lunette supérieure est fixe à regard du limbe, tandis que l'inférieure est mobile. C'est tout le contraire dans la seconde observation.

En répétant l'opération précédente i , a, 5, 4 • • • • fois, et partant toujours du point où la lunette supérieure est arrivée sur le limbe à la fin de la seconde observation conjuguée ou de l'observftfion paire , on aura évidemment le quadruple, le sextuple, FoctupliB,. etc., de

i&a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

TaDgle, pourra qa'on ne néglige pas de tenir compte des circonle*' renées entières parcourues.

116. Il existe un autre procédé pour mesurer un angle avec le cercle répétiteur j le yoicî. Au |ieu de fidre des observations croisées, comme çi*dessus, on fixe d'abord la lunette supérieure à zéro, et on la dirige sur l'objet à droite, ensuite on y amène la lunette in« fcrie we , qui ne sert plus alors que de repère ; et saos Ëiire tourner le limbe, on pointe la lunette supérieure, rendue libre, sur l'objet à gauche, ensuite on la fixe. De cette manière, l'angle est mesuré exac* tement par l'arc que cette lunette a parcouru lorsqu'elle n'a point è! excentricité, c'est-à-dire quand le plan mené par l'axe YAxx cercle (pi. III) contient en entier l'axe ab de cette même lunette. Si l'on veut continuer d'observer l'angle proposé, pour compenser les erreurs du pointé , et atténuer sur-tout celles des divisions du limbe , on fera tourner l'instrument en désengrenant la vis tangente, afin de ramener la lunette supérieure sur l'objet à droite, et on l'y fixera. On y ramènera la lunette inférieure pour la faire servir de repère, et ensuite on dirigera, comme la première fois, la lunette supérieure, rendue libre, sur l'objet à gauche. Alors la ligne de foi du vernier de cette lunette marquera le double de l'angle observé. On peut continuer d'opérer de la même manière pour avoir le triple, le quadruple, etc.^ de cet angle ; mais ce procédé exige évidemment plus de tems que par les observations croisées, lorsqu'on veut atteindre le même degré de précision.

117. Dansles grands cercles, la lunette supérieure entraine ordinairement 4 verniers disposés à angles droits , ou à peu près, afin depouvoir lire sur quatre points difierens de la circonférence du liknbe, et obtenir par là une moyenne plus indépendante des erreurs de la division et de celles de la lecture. Supposons, par exemple, qu'on Usç les quantités suivantes au commencement de l'opération :

vemiers i**^ a^ 3« 4*

(a) 0,000, 100,025, 199,985, 3oo,oi5,

et qu'après la dixième observation de l'angle, ces vemiers marquent respectivement les nombres suivans, en tenant compte des circon* férences en<lîires parcourues durant la série.

IIYRE TROISIÈME. j55

(b) 548^113, 648^,io8, 748^,100, 848',io5;

on prendra le complément à l'unité, des parties décimales comprises dans la ligne (a), toutes les fois qu'elles ^appartiendront à des nombres au-dessous de 100, aoo ou 5ooj et Ton affectera tous les restes du signe négatif. Ici Pon aura '^ .

• (a') H- 0,000, +o,oa5, — o,oi5, 4- 0,01 5.

On procédera de même par rapport aux parties décimales comprises dans la ligne (6), si les nombres dont elles dépendent n*ont pas tous le même chiffre aux unités. Or, dans le cas actuel, cette circonstance n'ayant pas lieu, on a

ire

-H o,io5.

Ensuite on fera une somme des fractions (a' ), qui sera + 0,026, que l'on retranchera de celle des fractions (6'),, c'est-à-dire de -4- o,4a5 ; puis l'on divisera le reste + o,4oo par 4, et le quotient + 0,100 sera la partie décimale à ajouter au nombre 548^ j de sorte que le décuple de l'angle mesuré sera définitivement 548^, 100; donc l'angle simple s= 54^,810.

On voit clairement par cette méthode, qui est générale, que le quart de la somme des nombres delà ligne (a') marque le point de départ d'un vemier woye/î parcourant l'arc moyen entre les quatre; tandis que le quart de la somme des nombres de la lighe {b') désigne le point d'arrivée de ce même vernier.

Mais il y a moyen de simplifier un peu le calcul précédent. Pour cela, ajoutez toutes les décimales de la ligne (a') , et ôtezde la somme autant d'unités qu'il se trouvera de verniers marquant moins de loo^, ou aoo ou 5oo : ici l'oji a o,oa5.

Ajoutez de même toutes les décimales de la ligne (&) , et êtez de la somme, ou ajoutezry autant d'unités qu'il y aura de nombres où le chiffre des unités aura une valeur moindre ou plus forte que celui qui se trouve dans le nombre marqué par la ligne de foi du premier vernier. Enfin, de cette somme, ainsi diminuée, ou augmentée s'il est nécessaire, soustrayez la première et divisez le reste par 4, c'est- I. ao^

i54 TtiAITÉ DE (ÎÉODÉSIE.

à-dire par le nombre des verniers j le quotient sera la partie décimale moyenne cherchée.

Voici le cas. Au commencement les vermers marquaient

0,000, 100,001, 199>998> 3oo,oo3; j

à la fin de la dixième observation , ils indiquaient

^ 53aSooi, 63x^998, 73aSoo3, 833',oo3.

Or dans la première ligne , la somme des décimales diminuée cre

l'unité ; = ^^^

dans la deuxième ligne, cette somme dinûnué de Tunité = o,oo4

diflcrence = o,ooa

1 = o,ooo5

Autre exemple. Au conmiencement, les verniers marquaient 0,000, 100,001, 199,998, 3oo,oo5î à la fin de la dixième observation Ton avait

421,998, 5aa,ooi, 621,997, 731,996-

Or, lasonmie des premières fi*actions diminuée d'une unité ^= o^oosi celle des secondes fractions augmentée d'une unité. . . . =: 3,999

différence = 3,990

de là arc parcouru == 4ai',9975, et angle mesuré 3= ^^ ^'^^^^

= 4aSi9975.*

On peut aussi se dispenser de faire la soustraction indiquée, en prenant le complément arithmétique et à l'unité de la somme des parties décimales marquées par le vemier au commencement de la série; ou, ce qui revient au même et ce qui est plus simple, on lit le vemier à contre-sens , en mettant par la pensée 10 à la place de zéro, et réciproquement. Bien entendu qu'il &ut alors ôter du résultat autant d'unités qu'on a pris de complémens, si les verniers manfbent des nombres aunlessus de 100, aoo et 300^.

A moins qu'on ait peu de tems pour observer, il est toujours utile dénoter tous les angles d'une même série, afin de pouvoir s'assurer de l'uniformité de sa marche. Yoici l'ordre que Ton peut suivre à cet égard :

UVRE TROISIÉBfE.

Bai ,729

939, laa

io56,5ii

58#,6945 6^46fi5

VERNIERS

an point

de départ.

d'arrivée.

0,000 o,oc6 o^oo5 0,008

0,996 feompi 0,99a'

Arc moyen parcouru = ii73»,897a5 ( 68^,6948636 j

Somme Le quart

Il n'est pas nécessaire de lire les quatre vemlerç chaque fois qu'on veut inscrire un angle multiple ; i IsufRt de les observer au commencement et à la fin de la série, comme dans le tableau précédent. Ainsi, les fractions décimales des nombres de la seconde colonne ont seulement été indiquées par le premier vernier, à l'exception de celles du dernier nombre 1173,8975:2, qui sont le résultat de la combinaison des fractions insérées dans les deux dernières colonnes; combinaison faite d'après la troisième méthode exposée ci-dessus.

Il n'arrive pas toujours que les séries de cette espèce soient aussi régulières que la précédente; car les vapeurs qui s'élèvent quelquefois durant l'observation, par l'action d'un soleil ardent, produisent des ondulations qui font paraître les objets mobiles, et qui nuisent par conséquent à l'exactitude du pointé. De là ces anomalies qu'on remarque dans les séries d'un même angle. En général, les meilleures observations ont lieu pendant l'absence du soleil.

118. Dans les triangulations du premier ordre, il est convenable de prendre plusieurs séries d'un ,méme angle à des jours difierens ; mais 5 séries de ao observations, chacune prise dans les circonstances favorables et avec un cercle de 35 centimètres de diamètre ,

i56 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

5ont toujours suffisantes. NéaumoiDS, comme le plus souvent elle» difierent entre elles, on en prend la moyenne arithmétique.

Il n*est peut-être pas inutile de dire qu'on entend par moyenne arithmétique, le quotient qu'on obtient en divisant par le nombre total des observations la somme des produits du nombre des observations d'une même série , multiplié par l'arc parcouru sur le limbe. Si, par exemple, n est le nombre des observations de la première série, et A l'arc parcouru ; que/i' et A^ soient relatifs à la seconde série; que 7l" et ud^" se rapportent à la troisième série; l'angle

moyen sera '^^L^'T^i — • En faisant chaque série d'un même

nombre d'observations, la règle est plus simple, puisqu'il ne s'agit que de diviser la somme des résultats par leur nombre.

De la mesure des distances zénitales.

119. La distance au zénit d'un objet est le complément de sa hauteur angulaire, ou sa dépression augmentée de 100 grades, ou, ce qui revient au même, l'angle entre cet objet et le zénit de l'observateur. Avant d'observer une distance zénitale , on mettra le limbe du cercle dans une situation verticale ainsi qu'il suit.

On disposera l'axe JTdu limbe (pi. VI et V) dans une position à peu près horizontale , en desserrant la pince du quart de cercle et en renversant le limbe : ensuite , après avoir amené la bulle d'air du grand niveau dfoM milieu du tube , ce qui se fera d'abord en rendant libre la lunette inférieure, puis serrant son agrafe et faisant usage de sa vis de rappel, on fera tourner tout l'instrument sur sa colonne 6^ de manière que Tindex , ou la ligne de foi du cercle azimutal zz'^ partant de la ligne de division qui se trouve vis-à-vis un des pieds de l'instrument, de f^^av exemple, parcoure une demi-circonférence. Si , dans cette état, la bulle d'air, après quelques oscillations, ne se fixe pas d'elle-même au milieu du tube, l'axe de la colonne ne. sera pas dans un plan vertical; alors on fera la correction moitié avec la vis du pied /^ qui se trouve précisément au-dessous du grand niveau, moitié avec la vis de rappel K de la lunette inférieure.

On ramènera l'index du cercle azimutal au point de départ; et si, dans cette première position, la bulle ne conserve pas le milieu du tube, on fera la correction qui vient d'être indiquée. On continuera cette épreuve jusqu'à ce que la bulle revienne d'elle-même entre ses

ttVRË TROISIÈME. i5^

repères dans les deux positions de Tinstrument^ Alord Taxe de Ih colonne sera dans le plan vertical passant par zz'.

Ensuite, si après avoir placé Findex à loC du point où il se trouve maintenant , la bulle ne rentre pas entre ses repères , on Vy ra-* mènera en feisant la correction moitié avec la vis f^\ moitié avec lavis /^'', c'est- à -dire en élevant Tune et abaissant Tautre d'une égale quantité. De cette manière, Taxe S de la colonne du cercle so trouvera à la fois dans deux plans verticaux, et sera par conséquent vertical. Ainsi, quelque part que soit placé l'index du cercle azimutal , la bulle reviendra au milieu du tube pour s'y fixer. Cependant, si l'instrument a quelque petit dé&ut de construction , ou bien si l'opé-» ration que Ton vient d'indiquer n'a pas été faite avec toute l'exactitude possible, la bulle sera errante, lorsqu'on fera tourner la colonne <^ et qu'on arrêtera l'index sur différens points de la circonférence j il faudra donc pour la rendre stationnaire au milieu du tube, faire de légères corrections, en procédant comme ci-dessus. Au surplus, la verticalité de la colonne n'est pas d'une nécessité abs^ue ; elle dispense seulement de caler sans cesse les niveaux quand on observe une distance au zénit.

£nfin, l'on mettra avec beaucoup de soin le limbe de l'instrument dans une position verticale , à l'aide du fil-à-plomb dont il a été parle à l'art. 1 13; ou mieux encore, au moyen d'un niveau à bulle d'air disposé pour cet effet. Alors si le petit niveau gh que porte l'axe l^du cercle est incliné à l'horizon , on le calera au moyen de la vis de rappel qui y est adaptée, et l'on serrera la pince du quart de cercle, afin que le limbe ne puisse plus se déranger à l'égard de l'axe de la colonne. Lorsqu'en manœuvrant l'instrument , l'horizontalité du petit niveau n'aura plus lieu, on la rétablira en tournant dans le sens convenable la vis du pied qui se trouvera à peu prés dans la direction de ce niveau , et cela afin de remettre le limbe vertical.

Maintenant, pour mesurer une distance.au zénit, l'observateur fixera à zéro l'un des verniers de la lunette supérieure, et placera cette lunette à sa droite, si les divisions de l'instrument sont numérotées de gauche à droite; ensuite, il la dirigera sur l'objet, en détachant la vis tangente, puis &isant engrener cette vis pour procurer un mouvement lent à cette lunette. Alors l'aide observateur placera horizontalement la lunette inférieure qui porte le grand niveau, en la faisant mouvoir indépendamment du limbe. Lorsque la bulle restera

i68 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

tfu milieu du tube , en même tems que le point de mire sera sous le fil horizontal du réticule, ce que chaque obserrateur saura eo s'avertissant mutuellement, on aura la première partie de l'obsenration, et le cercle sera à la droite de celui qui pointe sur l'objet.

On fera ensuite tourner tout l'instrument sur sa colonne , jusqu'à cequerindexdu cercle azimutal ait parcouru une demi-circonférence^ c'est*à-^re que le limbe soit à la gauche de l'observateur dans le vertical de Fobjet; et pendant que l'aide observateur, toujours placé à l'opposé des divisions du limbe, ramènera la lunette inférieure dans la position horizontale pour caler le grand niveau, en faisant tourner le limbe à l'aide de la vis tangente du tambour , l'observateur fera mouvoir la lunette supérieure, qu'il aura rendue libre, jusqu'à ce que le point de mire soit exactement sous le 61 horizontal. Pour parvemr à ce but, il aura soin de serrer l'agrafe de cette lunette et de faire usage de la vis de rappel. Mais ce mouvement , imprimé à la lunette supérieure, aura pu déranger la bulle du grand niveau; il feudra donc || replacer entre ses repères, ou la caler en faisant tourner la vis tangente, et ensuite ramener l'axe optique de la lunette supérieure sur le point de mire , au moyen de sa vis de rappel. Lors** que le grand et le petit niveau seront calés, et que l'objet sera en même tems sous le fil, on aura la seconde partie de l'observation ^ et l'arc parcouru par le vemier de cette lunette sera le double de la distance zénitale cherchée.

En effet, soit Cle centre du limbe (pi. V,n' 2), AB la direction de la lunette lors de la première observation, et CH la ligne horizontale déterminée par le grand niveau. Lorsqu'on tourne le limbe à gauche pour faire la seconde observation conjuguée, et que l'on cale derechef le niveau , la lunette supérieure prend la direction ^'13', c'est* à-dire qu'elle ftiit avec la ligne horizontale CfTle même angle qu'auparavant, mais en sens contraire. Donc le point O, d'où l'on compte les grades, se trouve alors en O'; donc, si on détache la lunette supérieure pour la ramener sur l'objet B , le point O' reviendra en O, en parcourant l'arc OZO'. Mais cet arc est évidemment le double de la distance zénitale ZCO cherchée; donc à la fin de la seconde observation conjuguée, on a le double de cette distance.

£n répétant plusieurs fois cette opération, et partant toujours du point où s'est arrêtée la ligne de foi du premier vemier à la fin de la seconde observation conjuguée, l'on parviendra au quadruple, au

sextuple, etc., de la distance zénifale, et Ton atténuera les erreurs du pointé et de la division, comme dans la mesure des angles entré les objets terrestres.

Nous prescrirons de mettre, avant tout, une des branches du pied de l'instrument dans le plan de l'angle à mesurer; voici pourquoi. iDans la deuxième partie de l'observation , Ton est obligé, pour caler le grand niveau, de faire tourner le limbe autour de son axe; mais les filets de la vis tangente qui produit ce mouvement, étant trop espacés les uns des autres, il n'est guère possible d'amener exacte* ment par ce moyen la bulle au nûlieu du tube. Aussi, quand la correction est légère, vaut-il mieux la faire avec la vis Y du pied, qui se trouve précisément au-dessous du grand niveau , et qui procure un mouvement très doux, sur-tout si, au lieu de celte vis, on fait agir celle de l'étrier ee^ sur lequel elle pose. On peut aussi, par la même raison,amener le fil horizontal de la lunette sur l'objet, avec cette même vis, lorsqu'on fait les observations impaires, puisqu'alors cette lunette est fixée au limbe. Ce mouvement de la vis dont il s'agit ne dérange pas le limbe de sa position verticale, ce qui est évident.

lao. Malgré toutes ces précautions, il en est encore d'autres à prendre pour obtenir la plus grande précision possible. Par exemple, comme on n'est pas toujours sûr que le point de mire soit exactement sous l'axe du fil, il importe, pour ne pas tenir compte de la demi - épaisseur *de ce fil, s'il est d'un diamètre assez sensible, de mettre successivement ses bords supérieur et inférieur en contact avec le point de mire; parce que si l'angle observé est plus petit dans l'observation impaire , il sera plus grand de la même quantité dans l'observation paire , ou réciproquement.

De plus , comme il est commode de mettre le point de mire à une petite distance du fil vertical, et que rien ne peut faire juger de la parfaite horizontalité de l'autre fil, voici la manière de se prémunir contre l'erreur que causerait la petite inclinaison de ce dernier fil.

Si, lors de la première partie de l'observation, le point de mire m (pi. V, n* i) paraît dans la lunette à la droite du fil vertical^/^, il sera réellement entre ce fil et le limbe, puisque les objets sont vus renversés ; et l'angle ff^Xreprésen tera l'erreur commise sur la distance zénitale, ^\Hh est la vraie position du second fil à l'égard de l'horizontale ^X Mais la lunette se renversant dans la deuxième partie de l'observation, il s'ensuit que le fil u^Zf sera incliné dans le même sens

i6o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

par rapport à Fobsenrateur.Si donc Pod place Timage da point de mire en ot', c'est-à-dire à gauche du fil-^/^et de manière que ytm'^s^^niy la nouvelle erreur faite sur la distance au zénit sera=x^A, c'està-dire égale, mais de signe contraire à la précédente; ainsi, il y aura compensation. Il est donc évident que le point de mire se retrouvera réellement entre le fil vertical et le limbe , et au même point physique.

Dans tous ceci nous avons fait abstraction de Texcentricité de la lunette supérieure , p^ce qu'elle n'existe pas dans les cercles que Toa construit maintenant; d'ailleurs, eût-elle lieu comme dans la figure citée, la mesure des distances au zénit ne subirait pour cela aucune correction , parce que celle qui est relative à la seconde observation conjuguée est égale et de signe contraire à la correction qui se manifeste pendant la prenûère observation, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer.

Les jlistances zénitales des objets terrestres servent pour réduire les angles à l'horizon, et Ëdre connaître les dififérences de niveau des stations.

lai. Il arrive quelquefois que le lieu de l'observation ne permet pas de faire iaire au limbe une demi^révolution. Dans ce cas, on le laisse dans la position la plus favorable, et l'on mesure la distance zénitale, en faisant des observations successives analogues à celles décrites à l'art. 116 ; c'est ce que l'on concevra enopre mieux par ce qui suit.

Après avoir mis le cercle dans une position verticale , dirigez la lunette supérieure, mise à zéro; sur un objet très éloigné; amejiez-y aussi la lunette inférieure, afin de rendre les deux axes optiques parallèles. Cela fait, et sans détacher du limbe la lunette inférieure, calez son niveau à l'aide de la vis tangente , puis rendez libre la lunette supérieure, pour lu pointer sur Fobjet dont on désire connaître la distance zénitale , et fixez-la dans cette position ; alors l'arc qu'elle aura parcouru sera l'angle de hauteur ou de dépression cherché.

Pour doubler cet angle, refaites la même opération, comme si la lunette supérieure était fixée sur zéro. Cette lunette parcourra ensuite un nouvel arc qui, ajouté au premier, sera la mesure du double de l'angle cherché. On pourrait de même se procurer le triple, le quadruple, etc., de cet angle. Mais l'on conçoit bien qu'il sera aflfècté d'une erreur occasionnée parle défaut do parallélisme de l'axe optique

de la lunette ioférieure et de l'axe de son niveau, qui est dépourvu de moyens de rectification : c'est là ce qu'on nomme l'erreur de collinutUon.

ma. Cest ici le cas de dire comment on détermine le degré de sensibilité dû grand niveau. Pour cet effet, mettez le limbe vertical, comme pour prendre une distance auzénit; fixez la lunette supérieure à zéro, et dirigez-la sur un objet quelconque, en faisant tourner le limbe avec la vis du tambour, jusqu'à ce que cet objet soit sous le fil horizontal. Desserrez la lunette inférieure, pour* amener une des extrémités de la bulle du grand niveau vis-à-vis le trait de division extrême de la règle qui supporte ce niveau, et voyez si la lunette supérieure ne s'est pas dérangée. Ensuite faites tourner la vis du tambour, jusqu'à ce que la même extrémité de la bulle arrive à l'autre trait de division extrême, pourvu toutefois que l'autre extrémité de la bulle n'atteigne pas celle du tube. Ensuite, ramenez la lunette supérieure sur le point de mire , en faisant usage de sa vis de rappel. Enfin, lisez le nombre de parties de la règle parcouru par la bulle : ce nombre n sera celui qui correspond à l'arc décrit par la lunette supérieure.Mais cet arc étant trop petit pour pouvoir être lu exactement , recommencez la même opération comme si la lunette sunérieure partait de zéro , et vous aurez le double de l'angle correspondant au même nombre de parties d'inclinaison du niveau. Continuez de la. même manière jusqu'à ce que vous ayez, par exemple, le décuple de l'angle cherché. Enfin, divisez cet angle ji par le nombre n de

parties, et le quotient -sera le nombre de secondes correspondant

à une partie d'inclinaison du niveau.

On est sur-tout obligé d'évaluer cette inclinaison, lorsque Ton opère avec un cercle à niveau fixe. Ce niveau , au lieu d'être adapte à la lunette inférieure , est fixé sur la colonne , et se trouve par conséquent tout-à-&it indépendant du limbe. Il est des observateurs qui préfèrent de beaucoup le niveau fixe au niveau mobile; parce que, d'après cette nouvelle disposition, l'on observe avec une très grande promptitude les distances zénitales des astres.

ia5. Pour observer avec un niveau fixe, on desserre la vis du tambour, afin de donner toute liberté au limbe de tourner lorsqu'il est vertical. Cependant on peut l'arrêter au besoin^ au moyen d'uno 1. ai

ï65i TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

forle pince ^ qui &it corps avec la colosae^ ou bien lui imprimer irn mouveraieitt de rotation très lent, à Taîde d'une vis derappd adaptée à cette pince^ Quant au grand niveau qui est y comme nous venons de le dire, fixé sur la colonne et entièrement isolé du cercle , il ne sert que pour mettre vertical Taxe de cette colonne , ou pour en iaire connaître Tinclinaison. Ce niveau a aussi sa vis de rappel pour le caler, et est placé parallèlement au limbe.

Ceci étant bien compris, voici la manière de mesurer l'inclinaison de Taxe de la colonne , et d'évaluer son efilët sur les distances zénitales.

Représentons par B la longueur actuelle de la bulle d'air du niveau , et supposons que l'artiste ait eu le soin de mettre le zéro de Pccbelle exactement au milieu de cette bulle, lorsque le tube est horizontal. Dans cette position, les extrémités de la bulle marqueront les mêmes nombres; et si on retourne le niveau bout pour bout sans changer la position du plan sur lequel ce niveau repose, la bulle, après quelques oscillations, rentrera entre ses repères. Mais si on élève une des extrémités du niveau, l'extrémité droite par exemple, la liqueur obéissant à la loi de la pesanteur se déplacera, et portera la bulle vers la partie élevée ; en sorte que Fextrémité droite de cette bulle marquera ^ B + x = D parties de Téchelle, tandis que l'extrémité gauche marquera ^B — x= (7 ; puisque nous supposons que le tube est bien calibré, et que la bulle, pendant l'expérience, conserve sa longueur. Or, x désignant, en parties de l'échelle, l'inclinaison de l'axe du tube, on a ax = Z> — G; c'est-à-dire que le double de cette inclinaison est égal à la différence des nombres marqués par les deux extrémités de la bulle, quand le plan sur lequel s'appuie le niveau est horizontal.

Mais donnons au plan , dans le sens de la longueur du niveau ^ une inclinaison/ telle que l'extrémité droite de la bulle marque

alors l'extrémité gauche niarquera

Maintenant si nous retournons bout pour bout le niveau, sans rien changer d'ailleurs à la position du plan , l'extrémité droite de la bulle donnera

iB-x+:y=:Dr,

cette dâ gauche donnera au contraire

ainsi , de ces quatre équations Ton tirera

ax = 2> — Z>,, ou X

ax = G. — G, ou 5C=— 4 — ,

^y=LD — G., ou 7 2y=A— G , ou j^

de là les deux règles suivantes, doonées^parM. Delambre (^^^no-* mie^ tom. I, p. 8a).

i/". Le double de l'inclinaison du tube est égala la différence des deux nombres de là droite j le second nombre se retranche du premier.

Si X est positif, le bout du tube qui était d^abord à droite', est plus élevé que celui qui était à gauche; si x est négatif, c'est le contraire.

a*. Le double de V inclinaison du plan sur lequel s'appuie le niveau, est égal à la différence des nombres indiqués successive^ ment par rextrémité qui était d'abord à droite; le second nombre se retranche du premier.

Si j est positif, c^est la partie droite du plan qui est la plus élevée; ce serait le contraire si y était négatif.

Ce que nous disons du plan, doH s^entendre de Paxe de b colonne du cercle qui porte le niveau. Ainsi, dans Tobservation d^une distance zénitmle avec un cercle à niveau fixe, on doit toujours considérer là même extrémité physique de ta bulle avant et après le retournement du cercft, pour évaluer Tinclinaison de Taxe delà colonne.

Supposons, par exemple, que le cercle étant dans sa première position, G soit rextrémité de la buUe dirigée vers l'objet, et D soit Texlrémité située du côté de f observateur. Ttons la seconde posilioa du «cercle, les mêmes extrémités physiques changeront de nom, puisque le bout dû Àiveau qut était tourné ^^ps Pobjet sera au contraire tourné vers Fobsei^fMearî ainsi J9 deviendra 6« et G deviens

i64 TRAITÉ DE GÉODÉStE.

dra i7,. Si donc ddns le cours d'une observation de distance zenitak, on lit à chaque position du cercle, les parties du niveau marquées par les deux extrémités de la bulle, afin d'obtenir plus de précision ^ et qu'on désigne généralement par 6 les parties correspondantes à l'extrémité objet^ par D les parties correspondantes au même instant à l'extrémité observateur^ les diverses valeurs de y seront renfermées dans les deux suites suivantes :