CHAPITRE IL

De la meilleure condition des triangles^ du choix et delà

construction des signaux.

109. i^ ous ayons déjà dit que les triangles d'un réseau du preoiier ordre doivent être les plus grands possible ; mais la courbure de la Terre et la force des lunettes du cercle répétiteur fixent à cet égard une limite que l'on ne saurait franchir sans s'exposer à nuire à la précision qui résulte de l'emploi d'un bon instrument , quand les objets qu'on observe sont bien distincts. Nous avons dit aussi que les triangles réunissent les conditions les meilleures, quand ils sont équilatéraux ou peu différens de cette forme; c'est ce que va prouver le calcul suivant.

Soient, comme de coutume, A^By Clés angles, et a, &, cles côtés d'un triangle géodésique; on aura

asin B= ft sin^;

et si l'on suppose que la base h ait éié mesurée avec un soin tout particulier, Terreur sur cette mesure pourra être considérée comme nulle. La différentielle de cette équation, en y regardant b comme constant, sera donc simplement

- h cos Al . a cos B ,„

2im B sin If '

et à cause de -r~jr == -r^ , on aura

da=:a cot Ad A — a cot BdB.

Dans cette formule différentielle, les variations cL/, dB sont supposées positives : elles peuvent en général désigner les erreurs comniises sur la mesure des angles ^, 5; erreurs qui se composent de celios de rinstrument et de celles du pointé. Si on admet qu'elles

soient égales, et dans le mémie sens, on aura, pour Terreur du c6té cherché a,

da = ad^ (cot-^ — cotB),

laquelle sera évidemment nuUe ^\^z=:B.

Si au contraire on suppose que les erreurs d^^ dB soient égales, mais de signes différens , on aura

da^=^'àzadA (cot-^ -|- cot fi); et puisque d'après l'art. 45

il s'ensuit que

co8{A'^B)+coaC'

Tertreur da sera donc la pfus petite possible, lorsqu'on aura cos (^ — B) = 1 , ou -^ = 5.

Il résulte de ces deux hypothèses , que la condition la plus avan^ tageuse est en effet que les deux côtés cherchés d^un triangle soient chacun égaux à la base mesurée.

Dans la pratique, il est Impossible de satis&ire rigoureusement à cette règle; mais en formant des triangles dont les côtés différent peu entre eux, les erreurs des observations angulaires auront très peu d'influence sur les côtés calculés. En général, il ne faut admettre aucun angle au-dessous du tiers d'un angle droit, à moins que les localités ne forcent à s'écarter de ce précepte. D'ailleurs l'on se procure par là un autre avantage ; c'est qu'un angle de cette grandeur s'observe avec le cercle de Borda plus facilement que s'il était plus petit.

La formule fondamentale a = ^^^ étant difierenciée par rapport à a et &, on a

da=db(^',

ainsi, Terreur qui afiècte le côté cherché est égale à celle de la base, multipliée par le rapport *-~ , ou par une quantité plus grande que 1. 18

i58 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

l'unité. En cflct, en supposant S = ^ on a ^ -H C= ^ ,etparco*i»

«équent -g- pour la valeur moyenne de A ou de C

Les bases doivent donc être mesurées avec Tattention la plus scrupuleuse , et n'être pas trop courtes par rapport aux autres côtés des triangles dont elles dépendent.

En formant un long réseau , on conditionne les triangles dont il 8c compose , de manière à ce qu'ils s'agrandissent peu à peu , à partir de la base mesurée, et qu'ils acquièrent les dimensions que comportent les localités et les instrumens.

iio. L'expérience démontre que les erreurs dans la mesure des angles, loin de s'accumuler de plus en plus sur les côtés des triangles par lesquels on passe pour arriver à la dernière ligne d'une longue chaîne , se compensent au contraire en partie , lorsque ces triangles remplissent les conditions qui viennent d'être énoncées. Par exemple, avant l'invention des instrumens et d6s méthodes de calcul maintenant en usage en Géodésie, Bouguer et les autres académiciens français qui fUrent chargés de la mesure des trois premiers degrés au Pérou, trouvèrent seulement 65 centimètres (a pieds) d'erreur entre la mesure et le calcul , sur la dernière base déduite d'une série de vingt-huit triangles étendus sur un arc de plus de 55oooo mètres ; et de nos jours, MM. Delambre et Méchain n'ont pas trouvé une difierence d'un tiers de mètre dans la longueur de la base de Perpignan, conclue de celle de Melun, par une chaîne de plus de 60 triangles, quoique la distance qui sépare ces deux bases surpasse gooooo mètres (-^^ftro/îo/n/ede M. Delambre, tlll, p. 545)» Néanmoins, M. Laplace, dans un savant Mémoire sur le Calcul des Probabilités appliqué aux opérations géodésiques {Connaissance des Tems de i8ao, p. 422), trouve en général de l'avantage à ce qu'un réseau soit composé du plus petit nombre possible de triangles»

111. Le choix des stations, c'est-à-dire des points où l'on doit observer, exige beaucoup de discernement de la part de l'ingénieur, pour allier l'économie avec la précision à laquelle on désire atteindre. Il est nécessaire qu'il fasse d'abord la reconnaissance du pays, et trace le plan de son canevas trigonométrique. S'il a pour but de mesurer un arc de méridien, ou toute autre ligne fondamentale d'un«

grande opération geodésique, il faut qu'il dispose ses triangles de manière qu'ils soient, autant que possible, trayersés par cette ligne; or c'est de quoi il s'assurera en faisant dés observations et des calculs provisoires , comme nous l'enseignerons par la suite. Mais s'il entreprend le levé de la carte d'une contrée, il n'est plus gêné dans sa route ; il a la liberté d'étendre son réseau dans tous les sens. En général , il doit choisir de préférence les endroits assez élevés pour qu'ils se projettent dans le ciel, lorsqu'ils sont aperçus des stations voisines.

Supposons que du point ^ (fig. 16), on voie le point B dans le ciel. Pour savoir si de ce second point l'objet ^ se projettera de même dans le ciel, on prendra la distance zénitale ZÂB et la distance zé*nitale ZAC du point opposé de l'borizon. Or, il peut arriver que la somme ZAA'\-ZAC surpasse sensiblement deux angles droits; dans ce cas, l'objet ^ sera bien visible du point B. Mais si la somme dont il s'agit est plus petite que aoo^, l'objet A se projettera en terre ou sur la montagne qui borde l'horizon vu du point B , et sera souvent difficile à distinguer nettement, à moins que ^intervalle qui le sépare des limites de l'horizon ne soit considérable.

Lorsque la somme des deux distances aénitales sera de deux angles droits, ou quelques minutes de plus , il y aura Ifeu d'espérer que le signal udf , vu de la station B^ sera suffisamment élevé par la réfraotion , pour être ap^u dans le ckK

112. Les clochers, les tours et les donjons couronnés de plateformes sont en général des stations commodes; mais il n'est pas toujours possible d'en disposer pour former des triangles avec les conditions les plus a v^uatageuses , et le plus souvent ces objets ne dispensentpas de Pusage des signaux, quand on veut rendre le pointé plus sûr. Il est vrai que, dans ce cas, ces signaux sont très simples, et s'établissent à peu de frais. Par exemple, une poutre verticale, surmontée d'un poinçon ou tonneau, ou d'un petit cône, étant établie sur le haut d'un édifice dont la forme et la grosseur nuiraient à l'exactitude des observations angulaires, offre unpoiut de mire avantageux. Quelquefois aussi l'on préféré un disque d'un demi-mètre de rayon, peint en noir, et percé au centre pour apercevoir le ciel à travers. Mais ce moyen n'est praticable que quand on peut charger quelqu'un de diriger le disque en face de l'observateur.

Dans les opérations délicates exécutées en Angleterre, vers la fia

i4o TfeAITË DE GÉODÉSIE,

du siècle Heraier , et dans Flnde au commencement de celui-ci , Von a préféré les observations de nuit, et l'emploi des feux du Bengale, parce qu'ils jettent une lumière très vive. Nos cercles français, construits d'après le principe de la répétition , se refusent à l'usage de ces feux de courte durée ; mais on y supplée par des lampes à courant d'air, accompagnées de miroirs paraboliques qui réfléchissent la lumière dans la direction de l'observateur. Ces signaux paraissent être les meilleurs qu'on puisse se procurer; MM. Biot et Arago s'en sont servis en Espagne,avec beaucoup de succès, dans la prolongation de la méridienne de France ; et M. Laplace vient d'en recommander expressément l'usage pour la mesure de la grande perpendiculaire dirigée de Strasbourg à Brest, l'une des lignes fondamentales du canevas trigonométrique de la nouvelle carte du Royaume.

On augmente le foyer de lumière, en réunissant plusieurs réverbères; mais il faut en confier la garde à une personne qui prenne le soin d'entretenir les lampes , afin que le centre de figure soit toujours le même. Il parait que trois réverbères de moyennes dimensions, qui seraient disposés aux angles d'un petit triangle équilatéral, efiriraient mie masse de lumière suffisante pour une distance de dix à douze myriamètres. En les adaptant à un pivot qui représenterait l'axe âa signal, on aurait la faculté de les tourner au gré de l'observateur. Les avantages qu'on trouve dans leur emploi consistent en ce que l'on n'a aucune phase àcraindre; que lepoint de mireest toujours très distinct; et qu'à moins d'oscillations produites par une atmosphère agitée, ou de fortes brumes, les observations sont généralement plus concordantes que celles qui sont faites de jour, et pendant la présence du Soleil.

Quand on ne peut profiter des édifices comme points de station , l'on emploie des signaux qu'on établit sur des lieux élevés. On les forme avec de longues files de bois réunies en pyramide tronquée à base quadrangulaire, et on leur donne de la solidité en les enfonçant eh terre, ou en les maçonnant aux quatre angles de la base; enfin, pour les rendre plus visibles, on garnit de planches les quatre faces jusqu'à environ deux mètres de terre : cet intervalle, laissé libre, est nécessaire pour voiries signauxenvironnans. Alors on se place précisément dans l'axe du signal, afm d'éviter la réduction au centre (f/.lafig. 17): cet axe est déterminé par la verticale passant par le point de mire. On a soin , en faisant te plan du signal, d'indiquer le point où cette verticale rencontre la base.

lies ingénîettrs géographes sont dans l'usage de planter une borne au centre d'un signal érigé en rase canipagne< Cette précaution, que ne prennent pas toujours les observateurs, procure des points de repère très utiles, tantpour ceux qui doivent lier leurs opérations de détail aux points trigonométriques, que pour ceux qui voudraient coordonner des nivellemens partiels du terrain avec le nivellement général résultant de la triangulation.

Des arbres bien droits, et dépouillés de branches vers le bas de leurs tiges, sont aussi de bons signaux naturels; lorsqu'ils se trouvent isolés et sur les sommets des montagnes , ils s'aperçoivent de très loin, sur-tout s'ils se projettent dans le ciel ou sur les nuages.

On fait aussi construire en pierre des pyramides quarrées, et on les dispose de manière que les faces soient à peu près perpendiculaires aux côtés des triangles qui ont ces pyramides pour sommets. Si ces signaux se projetaient en terre , ou sur un fond qui les dérobât à la vue, on les ferait peindre, afin qu'ils pussent se bien détacher par l'efifet de l'opposition des couleurs. Lorsqu'un signal se projette dans le ciel, il convient de le peindre en noir; s'il est vu sur im fond vert, la couleur blanche le fera bien distinguer.

M. Delambre prescrit de donner à un signal une hauteur telle, que de la station la plus éloignée il paraisse sous l'angle de 5i" de la division sexagésimale ; dans ce cas cette hauteur est

JEr=o,oooi5 Jf ,

K étant la distance à ce signal. Il prescrit en outre de donner au côté de la base le tiers de la hauteur.

Parmi les signaux d'une forme insolite , nous citerons particulièrement les flèches très aiguës , parce qu'elles sont souvent invisibles. Les moulins à vent, à cause de l'irrégularité de leur figure, sont aussi de fort mauvais signaux; d'ailleurs comme ces objets mobiles tournent sur un axe qui ne passe pas par le centre de figure , ils se présentent sous difïerens aspects, selon la direction dans laquelle on place les ailes pour donner prise au vent. Il résulterait donc de leur emploi des erreurs d'observation qu'il serait impossible d'évaluer.

Si l'on est obligé d'adopter pour signal une flèche élevée , if fèiut tâcher de se placer le plus près possible du point où l'on doit viser des stations voisines, afin que le défaut de verticalité de la flèche ne donne lieu à aucune erreur sensible dans^ la réduction à l'axe»

i4s TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

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