PREMIER EXEMPLE

i46. iNous choisirons pour premier exemple, la base dite de la Goldalchj mesurée en Bavière par les ingénieurs-géographes français y parce qu'elle est susceptible d'un grand nombre de réductions.

Pour mesurer cette base, l'on fit usage de 5 régies de bois de sapin, qui avaient chacune 5 mètres, et qui étaient construites comme nous l'avons dit précédenmient. Ces règles , mises bout à bout et en ligne droite, composaient une longueur appelée portée. Chaque portée, placée sur des poutrelles soutenues par des chevalets, fut mise de niveau, afin d'éviter la réduction à l'horizon, et de pouvoir mettre plus intimement les règles en contact. On observa la température de chacune de ces règles avant de les changer de place, et l'on considéra la moyenne des cinq températures, comme la température de la portée que représentait ce système de règles. Enfin, après avoir procédé de la sorte, en allant d'une extrémité de la base à l'autre, on trouva 866?®''*^, -r^-h dans la longueur de cette base.

Il restait à étalonner la portée, et à connaître exactement sa dilatation , pour appliquer à la base mesurée la correction de température et l'évaluer en mètres. Or, afin d'atteindre ce but, l'on jugea à propos d'établir sur le terrain un étalon invariable : c'était deux pieux implantés en terre, et distans l'un de l'autre d'un peu plus de 25 mètres. Il fallait alors connaître rigoureusement la longueur de cet étalon, c'est-à-dire la distance fixe des centres des pieux, et ensuite comparer cette longueur à celle de la portée. On employa à cet efiet un mètre provisoire en cuivre qui représentait exactement, à la température de lo grades, 3 pieds 1 1 lignes ^ de la toi^ du Pérou prise à la température de i3* de Réaumur, ou de i6«,a5. Mais pour mesurer l'excès de l'étalon sur la portée, l'on se servit d'un autre mètre en cuivre, divisé en millimètres, et auquel on avait adapté un verr

flio TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

nier (art. ii5). Ce mètre auxiliaire fut trouvé un peu plus court que le métré provisoire ^ dans le rapport de Soooo à 5ooi4.

Voici maintenant les principaux résultats des expériences dont il s'agit.

Expériences relatives à la longueur E de rétalon.

Ala tempcr. de 9^,575=5? ,onatrouvé E=:a5"''+o,o8775=:fl5-H,

16 ,875=^ £J=25 +o,o839o=fl5+«'f

Remarquez que les unités représentent des mètres provisoires, aux températures f, ï', t", et les fractions c, /, c", des parties du mètre auxiliaire : ces parties doivent donc être multipliées par le rapport USt?» puisqu'elles sont trop grandes*

Expériences relatives à l'excès mr de ^étalon sur la portée.

A la température de 9',375=:f , on a trouvé «r = 0,0995a ,

a6 ,a8o=^' cr"= 0,09052.

Ces valeurs sont de même des fractions de mètre auxiliaire ; il est donc nécessaire de les multiplier aussi par le rapport ^~ , pour les évaluer en parties du métré provisoire.

Soit £(,e) la longueur de l'étalon invariable , exprimée en mètrea provisoires à 10 grades de température, d la dilatation relative du cuivre, pour chaque degré du thermomètre centigrade; et, comme ci-dessus, it la température observée, € l'excès de l'étalon sur a5 fois la longueur du mètre, enfin k le rapport f^T^ : il est évident qu'on aura, en vertu des trois premières expériences,

£(,,5=[a5+ l'A:! [1 + rf(/' — 10)], £o.) = [a5 + €"A] [1 + !/(«"-. 10)];

ou bien faisant, pour abréger,

a5 + €Â:=^, t — \oz=zB y

on aura plus simplement

LIVAE TROISIÈME. tu

Ces trois équations ne renfermant que deux inconnues, savoir, E(,.y et d: Tune d'elles serait satisfaite par les yaleurs de £7(,o) et d déduites des deux autres, si les observations étaient exemptes d'erreurs j mais comme il n'en est jamais ainsi, Ton pourra , par exemple, combiner ces équations deux à deux, et prendre une moyenne arithmétique entre les différentes yaleurs d'une même quantité ; de cette manière on trouvera

c'est la longueur de l'étalon en mètres provisoires, à la températive de lo grades. On aura en outre, par un milieu,

cf = 0,00002093 ;

c'est la dilatation relative de la règle de cuivre, employée dans la mesure de l'étalon.

Maintenant, désignons par IIo la longueur de la portée au terme de la glace fondante, mais évaluée en mètres provisoires à 10 grades de température} par A sa dilatation absolue par chaque degré du thermomètre centigrade, c'est-à-dire sa dilatation évaluée'en fraction de mètre provisoire ; on aiu:a , d'après les deux dernières expé* riences rapportées plus haut, et en désignant toujours par £(,•) la longueur de Fétalon

£(..)=no-HAt4.«^A [i-f.rf(f — io)]=n.+A« +^k (i-h rfB),

£(,.j===:n.4- A«''-h'2r''A [1 + rf(i''--io)] ==n«+ Ai^'H- wU(i H-rf^^^

De ces deux équations du premier degré, l'on tirera aisément les valeurs des inconnues n, et A : faisant le calcul , on aura

ITo = 24"-^,994o4 , A = o" ',0001 1667.

Or, par le tableau des températures des portées, inséré dans le Registre des observations, l'on voit que toutes ces températures sont positives, c'est-à-dire au-dessus de zéro; ainsi, la correction totale à laquelle elles donnent lieu estadditive et de i"',g7754. Cette correction, comme on le conçoit bien, est l'expression de la somme des

sii» TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

corrections partielles. Si, par exemple, n portées eussent été observées à la même température T, la correction qui leur est relative serait évidemment nT£k. Mais le nombre de portées contenues dans la base était de 866,i486, par conséquent Ton a

Longueur de la portée Oo = 24" ^99404

multipliée par 866 ,i486

produit -211648 ,55a7S

Correction de température + ^ 9977^

Longueur de la base en mètres provisoires, iS' = a 1 65o ,55009.

Postérieiu*ement à la mesure de cette base, le métré, déduit des opérations géodésiques de MM. Delambre et Méchain, fut définitivement fixé à 3 pieds 11 lignes -^^ de la toise du Pérou; le rapport entre le mètre légal et le mètre provisoire étant donc ^g'^^^ »

il est clair qu'il &ut multiplier par ^^^ la valeur précédente de iS' trouvée trop courte ; partant Fcm a

mètres définitife ou BssdS' X

La difierence de niveau des extrémités de la base étant très petite, on peut considérer la longueur B comme celle d'un arc de grand cercle terrestre compris entre les verticales de ces mêmes extrémités, et représentant le sol moyen de la base. Or, il résulte d'un grand nombre d'observations barométriques, que ce sol est élevé de 486" au-dessus du niveau de la mer ; la réduction de la base à ce niveau , évaluée au moyen de la formule de Tari. i44, sera donc—» i^jôôSa j de là

base réduite au niveau de la mer = 2i655"',9098;

c'est cette longueur qu'on emploie immédiatement dans le calcul des triangles, quand on les considère comme sphériques.

Si M. Bonne, qui a dirigé les travaux géodésiques de la Carte de Bavière, en publie un jour le précis, par la voie du Mémorial du Dépôt de la Guerre , il sera possible que l'on trouve ses résultats relatifs à la base précédente, un peu differens des miens, parce que je n'ai voulu ni discuter à fond, ni faire connaître moi-même

toutes ses expériences ; aussi ne doit-on regarder ce qui précède que comme des exemples de calcul propres à guider en pareille circonstance.

On devait mesurer une base de vérification avec des-règles de fer, dont l'appareil est assez commode, comme je m'en suis convaincu en mesurant, en 1811 , avec ces règles, une petite base dans laplaino du Vésinet, près St.-Germain-en-Laye, dans la vue de déterminer la hauteur de l'aqueduc de Marly au-dessus de la Seine. Mais malgré la précision qu'on obtient par un pareil procédé^ elle n'équivaut pas à celle qui résulte de l'emploi des règles de platine dont il a été parlé à l'ar-t. i45. Pour ne laisser rien à désirer à ce sujet, voici un exposé succinct de la mesure de la base de Melun, et des diverses réductions qui y sont relatives.