N« II

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des règles.

SOMME

des thermomètres.

SOMME

des languettes

SOMME

des réductions à rhorizoD.

SOMME

des différences de niveau.

aoi8a/',3

— ia56i ~ 5i8

+ iii33i

3oai'' 6o4a<

ia< 75863,8

o'3a7ii,3

Les règles^ comme nous l'avons dit^ ont été réduites séparément à

l'horizon, ce qui a produit ,• • • ^ 0*3^71 1, 3

Et les languettes y réduites de même, ont donné 17898

En sorte que la réduction totale à l'horizon est 0^3289091 .

On fit correspondre, à l'aide d'un fil-à-plomb , l'extrémité de la première et de la dernière règle aux deux termes de la base; ainsi, la longueur mesurée doit être augmentée d'une épaisseur de cordonnet évaluée à 0*00067,8.

On a donc

Longueur mesurée 6o4a*

Languettes 34* ^6068, 3

Épaisseur du fità-plomb -<- 0.00057,8

Réduction des règles à l'horizon. . . — o . 327 1 1 ,3

Réd. des languettes à rhorizon. . . — ^78,8

Base mesurée. , 6o75*93a36,3

Thermomètres 12*76863,8

Somme des rfN 7*364

Mais la dernière règle, ou la 3o2i*^™®, dépassait réellement le terme austral, et l'intervalle réduit à l'horizon fut trouvé de 0*06492,8, quantité évidemment soustractive.

De plus , les deuxpartiesde la base, dontl'une = 3946*, l'autre 2 1 3i*, formaient un angle horizontal de i79^io'47'\o9 : en le réduisant au plan des cordes (art. 150) , on le trouve de 179® 10' 4o''?9i ; d'où l'on conclut, pour la réduction à la ligne droite (art. 92) , — 0*142371 .

Enfin une petite correction , évaluée à + 0*00002,78, est résultée de ce que la dernière règle était éloignée du coude où était placé le centre du poteau , de i pied 7 pouces 8 lignes.

Delambre ayant substitué la corde à l'arc, il faut en outre réduire chacune des parties de la base , à l'aide de cette formule :

différence de l'arc à la corde = — ,^\ ,

dans laquelle R désigne le rayon moyen de la Terre (art 130). Faisant

le calcul , on trouve

Pour la partie 3946* — 0*00023,88

Pour la partie 2i3i — 3,76

Réduction aux cordes. . . — 0.00027,64 Correct, du vemier des languettes (art. 145) — 0.01100,48 C'est-à-dire la correction moyenne 0*00000, 3644 multipliée par le nombre des règles.

Report. — o^oiiaSyiti

Réductions précédentes 2**.. ..... — 0.14239,10

Somme — o. 2o855,24

Résultat immédiat 6075.93236,35

Base corrigée 6075.72381,11

Les éléments de la réduction de la base au niveau de la mer sont donnés par ce qui suit.

Le sol du terme austral est élevé au-dessus de la mer de 36^ 1 1 Celui du terme boréal , de 45 ,91

Moyenne entre les deux termes l^i^joo

Le sol au coude est élevé de l\'x ,00

En regardant Télévation moyenne entre les deux termes comme l'élévation moyenne de la base , la réduction calculée par la formule de l'art. 144 serait — 0^,07615. En partageant la base en sept arcs différents, Delambre a trouvé — 0^,07735 ; c'est ce dernier résultat qu'il a employé. Ainsi,

Base réduite à la ligne droite 6075,72381

Réduction au niveau de la mer '— 0,07735

Base au niveau de la mer. ...» 6075^,64646

Il s'agit maintenant d'avoir égard à la température des règles. Or, la somme 1 2*75863,8 des thermomètres métalliques divisée par 3o2i, nombre des observations ou des règles , donne le quotient 0*00422, 3o ; c'est la température moyenne des règles.

En partant d'une remarque de Delambre, le point de la glace de ces mêmes règles est, selon Borda, de o*oo383p,3

Mais des expériences ultérieures citées précédemment (page 238) ayant démontré que le thermomètre centigrade répondait plus exactement à -<- i^' ,35, il faut soustraire du nombre précédent 2,5

Reste donc pour le véritable terme de la glace des quatre règles o*oo38oP,8

et comme lo degrés deRéaumur valent a 3p,i6, il s'ensuit que pour 1 3 degrés du même thermomètre on a. . io^y i

donc i3 degrés de Réaumur répondent à 4iû ,9

mais à la température moyenne de la base , on a eu. . . 4^^ 9^

Ainsi la différence est de 1 1 ^4

L'allongement de la règle de platine étant deoP,9a459 celui qui correspond à la différence 11,4 sera ioP,539

Ces parties sont des deux cent-millièmes de la règle; en les multipliant par 3038, nombre des règles , on aura pour la réduction totale à i3 degrés de Réaumur. • . . o,3aoi7

Ajoutant cette correction à la base exprimée en demimodules, savoir 6075^,64646

on trouvera que cette base, réduite à cette dernière température et à la ligne droite , vaut en demi-modules. 6075,96663 Ajoutant la différence de l'arc à la corde 0,00087

L'arc de la base •. =6075,96750

Cette valeur est donnée en parties du demi-module qui surpassait la demi-règle n^ i de 0^00000,10, d'après des expériences faites au retour de la base de Perpignan ; ainsi la réduction additive sera de o*,ooooo, i X 6076. . = + 608

Donc, la base réduite = 6075,97358 et comme à cette température de 1 3 degrés de Réaumur le demi-module ne valait que i toise — o^ooooi 1574? il s'ensuit que cette base doit être encore diminuée de o*,ooooi 1574 X 6076 =—0,07032

donc enfin , la base réduite vaut en toises du Pérou. . . 6075,903^6

Delambre a trouvé 6075,90338

DiflFérence entre son calcul et le nôtre. . . . o*,oooia

Toutefois ota peut s'arrêter au nombre 6075^,9, à cause des petites erreurs inévitables dans l'alignement et l'épaisseur des règles ; mais il est à remarquer que Delambre présenta en dernier lieu , à la commission des poids et mesures , pour la base réduite à la ligne droite , la valeur 6o75%899 197 qu'il faut augmenter de o%ooo 87a , pour la

i5o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

changer en arc, ce qui donne 6075^900 069; et c'est en effet sur cette base que tous ses derniers calculs ont été faits (page 45 du tome II* de la Base du Système métrique).

Il est évident que, par la manière dont on a mesuré cette longueur, chaque règle ou les deux toises formaient à la surface de la Terre deux tangentes d'une toise chacune. Or, la somme de toutes ces tangentes ayant été prise pour l'arc correspondant, on a nécessairement commis une erreur; mais cette erreur est-elle sensible? c'est ce qu'il s'agit de savoir. ^

Soit A un arc terrestre dont le rayon est R ; on a , comme l'on sait ,

A-tangA < ^«"^.i * ^^^ ctc • A — lang A — j — j^ h -5 — ^^^ eic. ,

série qui donne l'arc A en toises , si la tangente est donnée en unités de cette espèce. Mais, dans la supposition actuelle, tang A = i*; on a donc simplement

tang A ^ A = \-^ = 351-

Cette différence entre la tangente et l'arc doit être multipliée par le nombre de toises contenues dans la base, c'est-à-dire par 6076*; ainsi, à cause de log R = 6,5 1 4o6 à trè&-peu près , l'on a 0% 00000 0000 1 89 à retrancher de 6o75S9o3a6, pour avoir le véritable arc de la base. Il est donc toujours permis de négliger cette correction.

A la rigueur, cette base étant un arc du sphéroïde terrestre , se trouve douée d'une double courbure, qu'on peut néanmoins considérer comme nulle. Observons en outre, que l'analyse des probabilités offre une règle fort simple, à l'aide de laquelle on détermine^ dans certains cas, l'erreur moyenne commise dans la mesure d'une base; la voici :

En désignant par a l'erreur accidentelle due à une lecture inexacte des verniers de chaque règle , l'erreur totale s à craindre sur la longueur d'une base contenant n règles, sera

Par exemple , les parties du vernier des languettes de chaque règle de platine étant des cent-millièmes de toise, il n'est guère possible de commettre dans la lecture une erreur ai estime de plus de j de partie

ou de oSoooooaS = a, soit en plus, soit en moins ; ainsi, pour une longueur de 3o2 1 = n comme la base précédente , on aurait seulement

6 = ±1 o*,oooooa5 v3oâT= ±:o*,oooi37;

quantité assez petite pour n'en tenir aucun compte.

Quant à Terreur due à un défaut d'alignement des règles et à leur épaisseur, Delambre trouva à peine cinq millièmes de toise à ôter d'une longueur de 6076 toises.

Le grand canevas trigonométrique de la nouvelle Carte de France , dont les lignes primordiales ont été mesurées par l' ex-corps des Ingénieurs-Géographes militaires , se rattache aux bases de Melun et de Perpignan mesurées par Delambre , et à cinq autres , pour lesquelles on a employé pareillement les règles de platine ; mais seulement au nombre de trois , parce qu'il a été décidé que celle n^ i resterait en dépôt au Bureau des Longitudes, pour servir désormais de terme de comparaison aux trois autres. On trouvera, page 4^ du Discours préliminaire de notre Nouvelle description géométrique de la France (tom. I), un autre exemple du calcul précédent appliqué à la mesure de la base d'Ensisheim près de Colmar.

5a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.