NOUS
des stations.
AHGLKS 8PHSIUQUBS.
LOG. SIHUS DES A1HSLK8.
Malvoisine
Lieursaint
Melun
Faisant usage de la notation de l'art. 54^ le côté a sera connu ; ainsi , par la règle des quatre sinus , on aura ces deux proportions pour déterminer les deux autres côtés A, c,
sin A : sin B : : sin a : sinbj sin A : sin C ; ; sin a : sin c.
Mais elles supposent que la base a , donnée en mètres j est un arc de grand cercle réduit en parties de l'unité ou du rayon des Tables. On peut cependant exprimer en mètres le sinus de a, et pour lors sin b et sin c seront donnés en pareille mesure. En effet, lorsque le rayon est l'unité, on a (art. 91)
sm or = X ( I — ^ H • • • • I ;
mais le rayon de la Terre étant désigné par |9, l'on a
sinjc = a:(i— ^--H r — ....).
\ Dp* 120p* / .
sin 'or sera donc donné en mètres, si l'arc x est lui-même exprimé en unités de cette espèce. De là
log sin X = log X -h log (i - ~ ^
en négligeant les autres termes de la série, qui sont toujours insensibles dans la pratique de la Géodésie , et représentant par jul le module 0,434^94 9 dont le log = 9,63778.
Le passage de l'arc au sinus , ou réciproquement , se fera donc trèspromptement, en remarquant que le coefficient de ;r*, c'est-à-dire
^, a pour log. 5,26187 lorsque p = 6 366 198™.
Si Ton désigne par D le degré moyen et par n la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est i, on aura p = ^, et par
suite
Delambre , qui le premier a fait usage de ce procédé , et évalué tous les côtés de ses triangles en toises, a supposé D = 57oao^ On a aussi en parties du rayon
de là
et
enfin,
cos or = I :+...;
ilogcosa? = log(i-^)= ~^';
log sin X = log x + \ log cos a:.
Pour application, soit, comme Delambre, x = i4o88S2858; en convertissant cet arc en secondes, on aura, d'après la valeur de D ci-dessus ,
logjc =4,14886 log 36oo" = 3,5563o c. log 57020 = 5,24397 ^
logx" = 2,94913, d'où x'' = i4'49%5;
puis y par les Tables de Ylacq à lo décimales, on aura
log i4o88Sa858 = 4,i4885 84^^18
+ ilogcos i4'49",5 = 9>99999 ^^SSg
et enfin y log. sin or en toises = /^^i/^SSS 70767
Lorsque le sinus de a: est donné en mesures connues , et qu'on veut avoir a: de la même manière , on a , par ce qui précède ,
log a: = log sin X H- ^ sin ^Xy ou log X = log sin a: — ^ log cos x.
Soit 9 comme ci-dessus ,
log sin X en toises = 4» ^4885 70767 - I log cos X =^99999 86539
de là log X = 4,1 4885 84a 18
La valeur de a:, ou plutôt de a, dans le 4 3^ triangle que nous prenons pour exemple, est, en arc, 6076^9001, dont le log . sin = 3,78361 03721; ainsi les deux proportions précédentes donneront
c. log sin A = 0,18643 00703 =0,18643 00703
log sin a = 3,78361 03721 = 3,78361 o37ai
log sin B = 9,986^5 01 102 log sin C = 9,96264 1^944
log sin b = 3,96629 06626 log sin c = 3,92268 17368
Passant du sinus à Tare, comme ci-dessus, on a
C'est ainsi que Delambre a obtenu tous les côtés des triangles de la méridienne ; mais il observe que l'on peut très-bien s'en tenir aux Tables deCallet, et résoudre dans tous les cas les triangles géodésiques, au moyen des logarithmes à 7 décimales.
Lorsqu'une chaîne de triangles est terminée par deux bases, on est dans l'usage d'en calculer chaque moitié avec la base qui en fait partie : alors on prend pour côté de jonction la moyenne arithmétique entre
les deux résultats. Mais Delambre, pour ne pas laisser accumuler ainsi toute l'erreur sur un côté, aime mieux faire accorder exactement les deux bases 9 en modiûant tant soit peu les angles des triangles. Cette manière de répartir, tout le long de la chaîne , Terreur entre une base calculée et mesurée, quoique étant tout à fait arbitraire, ne donne lieu cependant qu'à des corrections qui sont bien en deçà des limites des erreurs probables d'observation. Laplace, dans l'ouvrage que j'ai déjà cité (art. 110), donne à ce sujet une méthode certaine et toute fondée sur une analyse rigoureuse; je la ferai connaître à l'art. 207.
Résolution des triangles sphériques peu courbes , par la Trigono^
' métrie rectUigne.
150. La méthode par laquelle on ramène, à l'aide du théorème de Legendre , la résolution des triangles sphériques à celle des triangles rectilignes , est généralement adoptée à cause de sa simplicité. Ainsi , pour calculer les différents côtés des triangles ABC, BCD,... [fig* 34)» on ôte de chacun des angles horizontaux de ces triangles le tiers de l'excès de leur somme sur deux angles droits ; après quoi l'on applique successivement à chaque triangle le principe de l'art. 48.
Je choisirai pour exemple un des triangles du réseau trigonométrique que je fis servir, en 1816, d'exercice aux élèves du Corps royal des ingénieurs-géographes , savoir : le triangle Panthéon — ScUnt-Martindu-Tertre—Dammartin. Dans ce triangle , le seul côté de commun avec la méridienne de France est la distance du Panthéon à Saint- Martin, laquelle = ag 269^,30, réduite en arc et au niveau de la mer. Voici les résultats de nos observations et de nos calculs.
WOMS DES STlTtOMS.
ANGLES EÉOmrS.
Dammartin (église paroissiale)
Panthéon •
Saint -Martin
Somme. ..•.•••■.
200 • ooo3* 1 .
258 TRAITO DE GÉODÉSIE.
Les angles réduits , rapportés dans ce tableau , sont ceux de position réduits au centre et à l'horizon (art. 152 et 129); leur somme étant de aoo^.oooS^^i, l'excès sur deux angles droits = 3\i.
Désignant par A^ B', C les angles moyens ^ ou les angles A, B, G diminués chacun du tiers de cet excès, on aura
ANALES MOYBHS.
LOG. SllfVS.
Gela posé , le triangle ABG supposé rectiligne , donnera , en adoptant la notation de l'art. 100,
sinA' ; sinF \\a\b, sinA' ; sinG \\a\ c\
les côtés b et Cj c'est-à-dire Danimartin-^Saint'Martin^ et Panthéon- Dammartin^ seront donc connus. Opérant par logarithmes, on a
c. log sinA'
log^i
log sinB'
logé = 473982 171 = 25 oi6",o
c. log sinA'
loga
log sinG'
log c = 4,524971 1 = 33 494">3o.
Il est utile , dans la pratique , de mettre de l'ordre dans les calculs ,de cette espèce, et de les abréger autant que possible. Voici comment les ingénieurs-géographes les disposent sur leurs registres.
BMBI
