COTÉS
en mètres.
64v3ia5 51,5278
29269^,30 25oi6 , 00
aoo.ooo5 ,6
Dans ce tableau , les mètres qui sont sur la même ligne qu'un angle expriment la longueur du côté opposé à cet angle , et ainsi des autres. La première longueur est toujours la base ou le côté connu.
Si le triangle ABC [fig. 34) représentait celui qu'on vient de calculer et qu'il fût le premier du réseau , le second triangle BCD aurait évidemment pour base le côté BC , et se calculerait de la même manière que le premier triangle. En allant ainsi de proche en proche, on arriverait au dernier côté KL du réseau.
151. Pour obtenir les angles sphériques dont on déjà vu Tusage à l'article précédent, il faut connaître l'excès sphérique de chaque triangle; d'ailleurs cet excès met à même d'apprécier la somme des erreurs des observations. On le détermine ainsi qu'il suit.
Par l'art. 100, l'excès sphérique « = — p, ^ dénotant Faire du
triangle que l'on considère , p le rayon de la Terre, et R" = -^—r, le
nombre de secondes contenues dans le rayon. Or, on a^=^ — - — ,
a6o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
et , par ce qui précède ,
log a =: 4 ;4664 1 , log * = 4 ,3982a;
mais avant d'évaluer t y nous remarquerons que — est une quantité
constante y dans laquelle |9 et R doivent être exprimés par les mêmes unités qui ont été choisies pour la mesure des cotés et des angles des triangles. Ainsi j pour avoir le logarithme de l'excès sphérique % exprimé en secondes, au logarithme de l'aire du triangle on ajoutera la quantité
log R — alog|9.
Si l'on part des anciennes mesures et de la division du cercle en 36o^y
on aura
logp = 6,514069 logR'' = 5,3144^9
log R — a logp = a,a863i . .
Si l'on fait usage des nouvelles mesures et de la division du cercle
en 400 «,
log p = 6,8o388 , log R* = 5,8o388 ,
logR — 3log/9 = 2,19612.
Enfin , si les côtés du triangle sont exprimés en mètres , et qu'on emploie la division du cercle en 36o^ , on aura
log R — a logp = 1,70667.
La valeur ci-dessus de s étant calculée par les logarithmes, on aura, en vertu des données précédentes,
logi, ou 0,5 = 9,69897
logsinC = 9,98642
log a = 4,4664 î
log b = 4,39822
log s = 8,55oo2 log constant = 2,19612
log € = 0,74614 = 5*, 57;
UVKE TROISIÈME. a6i
l'excès sphérique est donc tel que Tindique le tableau ci-dessus. Or, la somme des trois angles observés étant de 20ok,ooo3,i, Terreur totale est de ^''yS; c'est la quantité dont il s'en faut que le triangle ne ferme exactement. Chacun des angles étant augmenté du tiers de !2%5, on a les angles sphériques cherchés.
Il arrive souvent , quand le triangle a peu d'étendue , que la somme des erreurs des observations , lorsqu'elle est négative , surpasse , abstraction faite du signe, l'excès sphérique de ce triangle. Dans ce cas, la somme de trois angles observés est nécessairement moindre que 200^. Néanmoins, l'on forme les angles sphériques en corrigeant chaque angle du tiers de l'erreur totale, si les observations ont été faites à chacun des sommets, dans des circonstances Êivorables; c'est en effet la répartition la plus avantageuse , comme Laplace l'a démontré dans le second Supplément à sa Théorie analytique des Probabilités. Cependant si la mesure de tel angle méritait plus de confiance que celle de te] autre , on modifierait cette règle de répartition , de manière à faire supporter à l'angle le plus douteux la plus forte correction.
152. Puisque l'excès sphérique du triangle ABC [fig. i5) est égal
à la surface s multipliée par -^ , et que cette surface se compose de
celle des deux triangles rectangles ABD, CBO, on a, en désignant par s' y s" ces deux triangles partiels,
mais, d'après l'art. 100,
j' = I c' sin A cos A «^^ == i ^* sin C cos C
= I c* sin a A , =\a^ sin aC;
donc
c* sinaA . a* sinaC
4 p* sini'' 4 P* «ini"'
Telle est la forme qu'il convient de donner à la valeur de 6 , pour calculer une table qui donne l'excès sphérique en deux parties; mais
a62 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
comme cette table est très-peu utile, je me suis dispensé de la reproduire dans cette 3® édition. Au surplus, Delambre l'a donnée en toises {Base du Système métrique décimal) , et il a même formé une table à l'aide de laquelle on a tout d'un coup l'excès sphérique. Quant à celle-ci je l'ai donnée en nouvelles mesures ; on la trouvera à la fin de ce volume, sous len° III : pour s'en servir, on cherchera sur la carte des triangles, et au moyen de son échelle, les nombres de mètres contenus dans leur base et dans leur hauteur, et avec ces deux nombres, pris pour arguments , on entrera dans la table comme dans toutes celles à double entrée. Quoique cette table s'arrête aux nombres lo ooo et 5o ooo, on voit bien qu'elle peut servir pour des nombres multiples. Désignant par b la base , et par h la hauteur d'un triangle , on a évidemment
Veut-on faire usage des anciennes mesures , c'est-à-dire de la toise et de la division du cercle en 36o^? Dans ce cas,
log — ^ = 1,98528, ou bien t = o", 00000 00096 66.6/r.
Veut-on au contraire employer les nouvelles mesures? On a
log— =1,89509, ou bien g = o", 00000 00078 54 hh.
Dans l'application de ces formules, il est suffisant d'exprimer les longueurs en unités de mille toises ; ainsi l'on a , en secondées sexagésimales , ou dans la première hypothèse ,
£ = o",oo96666A; et en secondes centésimales , ou dans la seconde hypothèse ,
C'est d'après cette dernière valeur que j'ai calculé la table en question.
153. Pour donner une autre application de l'excès sphérique^ résolvons le triangle géodésique dans lequel on connaît seulement l'angle C et les deux cotés adjacents a, b^ savoir :
C = I20*,a897*,i2, logfl = 4^6859571, logé = 49^434696.
On trouvera Fexcès sphérique de ce triangle de 12*, 65; le tiers 4*>ï*^ étant ôté de l'angle C, on aura l'angle réduit C = 120^,289290. Il s'agit maintenant de résoudre un triangle rectiligne dans lequel un angle est C'y et les deux côtés adjacents sont a et 6 , comme ci-dessus. Pour cet effet, l'on aura recours à la méthode de l'art. 49, qui donne lieu au calcul suivant :
logfl = 4^6859571 1. tang(9 — 5o*) = 9,2110910 c. log b = 5,45653o4 logcot-|^C = 9,8591844
log tang y =0,14^4875 j^^ ^^^
ICrrs 60, 144645
