TYPE DU CALCUL
log . cos/ = 9,36522 78723 — l. COS ^ COS A = 9,69071 80464
différen. log A = 9,67460 98289 ^^j^ur approchée a = 0,47262
log a = 9,67451 20959 I -fl = 0,52738
r = OjOoooo 22700 log A. = log a — r
iogr = 4>356o2 59
— log(i— a) = 9,72212 37 log(i-fl) = 9,722 £2 36559
1 I ITT-, R = -h 20343
Iogr* = 4963390 22 .
logfl = 9,67451 21 log(l — A) =r 9,72212 56902
i-r* = — 22 l.cotg^cotA = 9,99726 18916
log R = 4>3o84i 21 log( — cosF) = 9,71938 76818
Cette méthode et cet eiLémple ont été donnés par Legendre dans la Connaissance des Temps de 18 19. Des calculs semblables conduiront à
log cos G = 9986933 39724,
logcosH = 9,91728 6o3i3,
et les tables citées fourniront , d'après ces valeurs , les résultats suivants : -
On pourrait déterminer le sinus de chacun de ces angles, de F par exemple, en faisant A = cos^ F, et procédant comme à l'art. 107. '- Voyez au surplus le Mémoire de Legendre, où l'on trouve ces valeurs:
log sin F = 9.9302746482, log sin G = 9.8276374638, log sin H = 9.7503664860.
Observons maintenant que si , dans le triangle actuel , on abaissait de l'angle H une perpendiculaire sur le côté opposé h , cette perpendiculaire tomberait en dehors, parce que le segment ^ de ce côté et celui d correspondant de l'angle opposé seraient tous deux négatifs. En effet , des relations
tang tp = tang g cos F, cot 9 = cos g tang F, démontrées art. 76, on tire, d'après ce qui précède,
log. tang ç) = 9,7982694-- ; log. cot 6 = 0.0173688— ;
d'où
Ainsi les deux autres segments analogues sont
f' = 72°9'o" ô' = 78^ 6'i9%5 puisque d'ailleurs, h = 4o.o. 10 H = 34- ï5.3.
aSo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Enfin l'arc perpendiculaire dont il s'agit, et que nous désignerons par py étant déduit de la proportion des quatre sinus , on a
sin p = sing sin F ; de là
log.sin/? = 9.81 56382 y et/? = 4o^5iV,74.
Voilà donc onze éléments connus d'un triangle, dont plusieurs pourront servir de données pour vérifier celles des formules trigonométriques que l'on voudra choisir comme exercice de calcul.
Pour donner une nouvelle application de la formule générale d'interpolation rapportée à l'art. 106, je vais chercher l'angle G , dans une table qui donne les sinus et cosinus logarithmiques de minute en minute; or j'y vois que cet angle, donné par son cosinus, est compris entre 4^*° ï5' et 4^® 16'. En s'arrétant donc à a = 4a**i5', et ayant seulement égard aux premières et secondes différences , on a
log cos G = 9,86933 397^4 = J^ logcos4a®i5' = 9,86935 97165 = A
La même table donne <?A = — 1 147947 > d^^ A = •— 571, A = 60"; ainsi
n = .^ = o.n^àj &^A = aaa,
et plus exactement,
""n = ~'^ \ ti = o,2a43i ; — 1147735 '
enfin
G = /i + nA = 4a^i5' + o,2243i x 60" = k'^^'i^' i3%4586.
Si la table était calculée pour des intervalles de 10^ comme celle de Vlacq , qui a pour titre : Trigonometria artjficialis ^ on aurait précisément le résultat ci-dessus.
28a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
laquelle on donnera autant d'étendue que le terrain pourra le permettre.
Au lieu de tracer effectivement cette ligne sur la surface de la Terre, on emploie une construction qui conduit au même résultat sans présenter les mêmes difficultés : voici en quoi elle consiste.
Soit ABCDE.... {fig> 34) une chaîne de triangles étendue dans le sens du méridien , et dont les côtés , calculés par la méthode de l'art. 150, sont de très-petits arcs du sphéroïde terrestre. Supposons que l'on connaisse par l'observation Vazimut ou l'inclinaison du côté AC sur le premier côté AM de la méridienne; alors on trouvera, par la Trigonométrie, le point M où cette courbe rencontre le côté BC. Les points A, B, G étant dans im même plan horizontal, la ligne AM sera de même dans ce plan , et représentera par conséquent une tangente à la surface de la Terre ; mais le prolongement MM' de cette ligne se trouvera au-dessus du plan du second triangle horizontal BGD; si donc, sans changer l'angle GMM', on rabat la ligne MM' sur le plan de ce second triangle BGD, en la faisant tourner autour de BG comme axe , le point M' décrira un très-petit arc de cercle qui pourra être considéré comme une droite perpendiculaire au plan BGD; ainsi l'opération se réduit à plier le côté MM' suivant une verticale, et à calculer la distance AM' pour trouver la position du point M'. En pliant ainsi de proche en proche les parties de la méridienne sur les triangles horizontaux correspondants, on aura, à l'aide du calcul, la direction et la longueur de cette méridienne , depuis une extrémité de la chaîne des triangles jusqu'à l'autre.
Nous ferons remarquer, à cet égard , que l'on emploie les angles sphériques de chaque triangle , c'est-à-dire les angles horizontaux corrigés chacun du tiers de la quantité dont leur somme diffère de deux angles droits plus l'excès sphérique (art. 151). Ainsi, dans le premier triangle partiel AGM , on connaîtra les deux angles A , G ; le premier est l'azimut supposé observé avec une grande précision, et le second est un des angles sphériques du triangle ABG. Au moyen de ces deux angles et du côté AG connu , l'on évaluera, par la méthode de l'article cité, l'excès sphérique £ du triangle AGM, et le troisième angle sphérique M sera = aoo« -t- e — A — G; alors, ôtant j e de chaque angle, leur somme sera réduite à deux angles droits, et l'on pourra, par ce
moyen y procéder, comme à l'art. 159, pour déterminer le côté A M et le segment CM, cVst-à-dire que l'on aura ces deux proportions :
sin(aoo«? — A - C + f g) : sin(C — | s) : : AC ; AJM, sin(aoo«f ^ A-C + |£):sin(A-|€) :: AC : CM.
Si l'on traite de la même manière le triangle ABM dans lequel les angles sphériques A, B seront connus, on obtiendra le segment BM, et, en l'ajoutant à CM, la somme devra être égale à BC déterminé directement.
Il est évident que le second côté MM' de la méridienne se déterminera par un procédé tout pareil , puisque dans le triangle BMM' on connaîtra le côté BM et les deux angles adjacents B , M ; mais la résolution du triangle ABM' donnerait immédiatement AM'. Pour abréger ainsi le calcul de la méridienne, il faut faire un choix de triangles bien conditionnés (art. 109).
Quant à la partie M 'M'' qui se trouve extérieure à la chaîne des triangles, on pourra l'obtenir ainsi qu'il suit : on prolongera CD jusques en N , afin de former le triangle MCN dans lequel le côté CM et les angles C, M seront connus, et l'on déterminera, comme cidessus , les côtés MN , CN et l'angle sphérique N. Ainsi , dans le quadrilatère sphérique NDFM", l'on connaîtra les trois angles, DNM" supplément à deux droits de CNM, NDF supplément à deux droits de CDF, et DFM' supplément à quatre droits de DFE -t- EFG + GFH : on pourra donc résoudre le triangle DNF, c'est-à-dire déterminer, parla méthode exposée à l'art. 153, les angles sphériques DNF,DFN et le côté NF, diagonale du quadrilatère proposé. Il résultera de cette détermination , que dans le triangle NFM'' l'on connaîtra le côté NF et les deux angles adjacents, savoir l'angle FNM"= aoo«— CNM— CNF, et l'angle NFAJ" = DFM*' — DFN ; ainsi l'on pourra calculer les côtés NM'^ et FM% passer de là à la détermination de M" M*' à l'aide du triangle M''HM'' qui offrira pour données k côté M"H = FH — FM" et les angles sphériques adjacents M", M'^'HM"; enfin, atteindre l'extrémité M""' de la méridienne.
S'il arrivait, cependant, comme dans la partie sud de la méridienne de France, limitée à l'île de Formentera {PL X), que le réseau de
a84 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
triangles qui en mesure l'étendue s'éloignât beaucoup trop de cette ligne pour que l'on pût opérer facilement de cette manière , on choisirait le méridien qui traverse la plus grande partie de ce réseau , et l'on supposerait alors que l'arc rectifié de cette ligne auxiliaire est égal à celui de la ligne méridienne principale qui serait comprise entre les mêmes parallèles. On verra au chapitre xvi un exemple numérique pour ce cas particulier.
160. Une ligne tracée ainsi qu'il vient d'être dit , ou déduite de mesures trigonométriques , par le moyen que l'on vient d'indiquer, se nomme ligne géodésique : elle a la propriété d'être la plus courte que l'on puisse mener entre ses deux extrémités sur la surface de la Terre, et elle y mesure par conséquent la distance itinéraire des lieux; c'est ce que l'on démontrera plus bas. A la rigueur, cette courbe diffère un peu du méridien terrestre, et c'est un fait dont il est facile de se rendre raison ; car pour que la ligne que déterminent les opérations géodésiques coïncidât avec le méridien terrestre, il faudrait que les verticales des points A, M, M', M'' fussent parallèles au plan du méridien céleste , c'est-à-dire à celui qui passe par la verticale du point A et par l'axe du monde ; circonstance qui n'a pas lieu lorsque la Terre n'est pas un solide de révolution. Cependant , dans l'état actuel des choses, la différence entre les deux courbes dont il s'agit est si petite, qu'il est inutile d'y avoir égard.
161. Maintenant, si l'on imagine un cercle perpendiculaire au méridien céleste , et passant par la verticale du lieu de l'observateur, il représentera le premier vertical de ce lieu. L'ensemble de tous les points de la surface de la Terre qui auront leur zénith à la circonférence de ce cercle , formera la perpendiculaire à la méridienne , que l'on tracera absolument comme il est indiqué ci-dessus.
Sur la sphère , les perpendiculaires à la méridienne sont des grands cercles qui se coupent tous à l'équateur en deux points diamétralement opposés; mais sur l'ellipsoïde de révolution, et à plus forte raison sur le sphéroïde irrégulier, ces perpendiculaires concourantes sont des courbes à double courbure. En effet, soit A un lieu situé entre le pôle et l'équateur, et ABB' (Jig. 36) la perpendiculaire à la
méridienne PA ; le premier côté AB de cette ligne sera dans le plan AMB déterminé par la verticale AM et par le côté AB. De même le second côté BB' sera dans le plan BNB', BN étant la verticale du point B : or on verra, au chapitre suivant, que CM>CN; la verticale BN sera donc inclinée sur le plan AMB. Il en sera de même de la ligne BB' qui représente le prolongement de AB, plié suivant une droite parallèle à BN. On prouverait pareillement que B'B" s'écarte du plan BNB', et ainsi de suite; donc les quatre points A , B', B'', B'"' ne sont pas dans un même plan ; donc enfin la perpendiculaire à la méridienne est en général une courbe à double courbure.
Quelle que soit la nature du sphéroïde terrestre, les parallèles à l'équateiir sont des courbes dont tous les points sont à la même latitude : sur le sphéroïde de révolution , ces courbes sont planes et circulaires.
162. La situation d'un lieu est déterminée lorsque l'on connaît la perpendiculaire à la méridienne, ou le parallèle sur lequel il se trouve, et sa position sur cette perpendiculaire ou sur ce parallèle. Donc lorsque tous les triangles qui forment le canevas d'une carte géographique ont été calculés et orientés d'après les principes exposés précédemment , on obtient les positions respectives des sommets de leurs angles , par le moyen de leurs coordonnées ou de leurs distances à la méridienne et à la perpendiculaire du lieu principal. Voici comment on calcule ces distances par la méthode de Legendre , et lorsque les sommets des triangles s'écartent peu de la méridienne.
Supposons, comme ci-dessus, que les triangles ABC,BCD (j^g. 34) fassent partie d'une chaîne quelconque d'autres triangles dont les côtés soient des arcs de grand cercle d'une sphère ayant pour rayon la distance du niveau de la mer au centre de la Terre , et que l'on connaisse par l'observation l'angle CAX qui mesure l'azimut z du côté AC, ou son inclinaison par rapport à la méridienne AX; on calculera, par la méthode de l'art. 152 , l'excès sphérique £ propre au triangle rectangle AcC , et Ton établira ensuite ces deux proportions , pour trouver Ac, Ce,
sin(iooS — i 0 • ^^^(^ — I ê) : : AC : Ac = or, sin (ioo« — I ê) ; sin (z — | s) ; : AC ; Ce =y.
a86 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
L'azimut de ^ est connu immédiatement à cause de
BAX = CAB — GAX; et, si l'on calcule l'excès sphérîque s' propre au triangle ABM'^ on aura
AM'B = 2008 ^ M'AB - ABM'+ b'.
Pour déterminer les côtés AM', BM', il faudra ^ comme nous l'avons déjà dit, ôter de chacun des angles sphériques du triangle ABM' le tiers de b% et l'on aura ces deux proportions :
sin (aoo8 — A — B + I ê') ; sin(B — I g') : : AB ; AM', sin(aoo8 - A — B + | ê') : sin{A — | e') : : AB : BM',
en désignant respectivement par A, B les angles sphériques M'AB, ABM'.
On connaîtra donc dans chacun des triangles rectangles A6B , M't/D, deux angles et l'hypoténuse , c'est-à-dire tout ce qu'il faut pour déterminer les côtés Aby 6B , et M'^, ^D. Donc les distances des points B,D à la méridienne AX et à la perpendiculaire AY seront connues.
Traitant de la même manière le triangle ACN ou M'DN, pour avoir AN et DN prolongement de CD , et ensuite le triangle DNF, pour connaître le côté NF et les angles DNF, DFN, il sera facile de calculer les coordonnées du point F.
La distance /F et les angles DFN, NF/ étant connus, on aura
/FP = aoo« ~ EFD — DFN - Nï/;
car tous les angles horizontaux autour d'un même point de station valent quatre angles droits; ainsi dans le triangle rectangle y FP on connaîtra deux angles et un côté; on pourra donc calculer l'excès sphérique qui lui convient, l'angle FP/ et les côtés /P, FP. Résolvant ensuite le triangle rectangle eEP, on aura de même la position du point E à l'égard de la méridienne AX et de sa perpendiculaire AY, c'est-à-dire les distances Ee, Ae = AP — eP. Il est nécessaire, avant tout, de figurer, d'après l'échelle, la chaîne des triangles observés, afin de voir si ceux tels que ACN, eEP , etc. , que l'on forme pour faciliter le calcul des distances à la perpendiculaire et à la méridienne, n'ont pas des angles trop obtus ou trop aigus.
Telles sont en peu de mots deux méthodes de calcul que l'on peut employer pour trouver la longueur d'une ligne géodésique quelconque comprise entre deux points tels que A et X. Mais en considérant la ligne AX comme une méridienne , on voit que Ton détermine en même temps les azimuts d'un grand nombre de côtés de la chaîne ; on peut donc vérifier si les azimuts conclus de la série des triangles s'accordent avec ceux qui résultent de l'observation.
Nous exposerons plus tard , à l'art. 201 , plusieurs méthodes analytiques beaucoup plus commodes que les deux précédentes, et applicables, soit à la détermination d'un arc de méridien, soit à celle d'un arc de parallèle.
163. Afin de donner un exemple du calcul rigoureux des distances à la méridienne et à la perpendiculaire, dans le cas où la Terre peut être supposée sphérique , soient A le Panthéon , et B Dammartin. Alors l'azimut BAX compté du nord sera z = 5i*,4oo3*, et le logarithme de la distance AB ou K sera log K = 4>52497i i .
Il s'agit d'abord d'évaluer l'excès sphérique du triangle rectangle ABft; or on a art. (100)
j = Y K.* sinzcosz, s étant l'aire de ce triangle ; partant
logi = 9^69897
!2 log K = 9,04994
sin z = 9,85883 COSJ3 = 9,83972
log^ = 8,44746 log.const. = 2,196112
log.excèssph. f = o,64358 £ = 4*j4oï
de là z — 1£ = 5i*^,4ooo*,o7, z — ^e = 5i*,4oor,53;
a88 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
et à cause de
-^ = ^^^^S^ = ^^fe^ = K^cos(z-fe)[,+V.«*...],
on aura , en convertissant l'excès sphérique en parties du rayon dans le facteur [ï + iV ^^•••]» pour satisfaire au principe de Fhomogénéité ,
logK = 4,5a497ii 4,5249711
l.cos(z — fe) = 9,8397211 l.sin(z — |é) = 9,8588296
logi*"^ terme = 49^646922 log i^ terme = 4>3838oo7 dex, de/,
• Hts = 8,74473 8,74473
2logÊ = 1,28716 1,28716
2sin i' = 8,39224 8,39224
log 2® terme = 2,78882 log 2® terme = 2,80793
2® terme = o™,ooooooo6i5 2® terme = 0^,0000000642.
Ces seconds termes sont tout à fait insensibles ; ainsi en s'en tenant aux premiers , on a
164. Les géographes emploient pour calculer les distances à la méridienne et à la perpendiculaire , un procédé un peu plus commode et qu'il importe de faire connaître, quoiqu'il ne soit pas aussi exact que le précédent. Ils mènent par tous les sommets des triangles des parallèles à la méridienne et à la perpendiculaire ; par ce moyen , les côtés de ces triangles deviennent les hypoténuses de triangles rectangles qu'ils résolvent en partant de l'azimut connu, et sans tenir compte de l'excès sphérique , parce qu'ils considèrent tous les triangles de la chaîne comme décrits sur une surface plane. Par exemple , la résolution des triangles rectangles APM, AP'M' (Jig. 37) donnera les Coordonnées absolues jc/y x' y* des points M, M'. La résolution du
triangle M'il^ô fera de même connaître les distances relatives 6M", ftM' ; et comme les coordonnées absolues du point M" sont x'\f'% on ^ura
a:" = AP' + ÔM', 7" = P'M' - bM\
Pareillement, lorsque Ton aura calculé les distances rfM", rfM"', on aura, pour coordonnées absolues du point M'",
x'" = AP" -h dM% j" = V'W + ^/M^
et ainsi du reste.
C'est de cette manière que les distances des lieux de la France à la méridienne et à la perpendiculaire qui passe par l'Observatoire de Paris, ont été calculées approximativement par Cassini. Nous ne nous arrêterons pas à montrer comment on détermine les angles aigus des triangles rectangles M'ôM", M^t/M'", . . ., ou les angles d'inclinaison de leurs hypoténuses par rapport à des parallèles à la méridienne, parce que cette opération ne présente aucune difficulté, dès que l'on connaît l'azimut de départ; mais nous ferons observer que lorsque l'on enregistre les distances à ]a méridienne et à la perpendiculaire, il importe d'indiquer le sens dans lequel elles doivent être prises; et, à cet égard , on peut adopter la convention établie dans la théorie des courbes, relativement aux signes; par exemple, admettre que dans la région sudouest , limitée par la méridienne et sa perpendiculaire , les coordonnées x^ y sont positives. Alors les signes seront donnés par le tableau suivant :
Région sud-ouest + «^c, + ^,
Région nord-ouest — a:, + ^,
Région nord-est — -3:, — y^
Région sud-est..- + x, — ^.
Si , dans le calcul des distances à la méridienne et à la perpendiculaire, on désigne par K le côté connu, et par Z son angle d'inclinaison avec le méridien d'une de ses extrémités, compté du sud à l'ouest et depuis zéro jusqu'à 4oo^, on aura généralement
jr = KcosZ, ^ = KsinZ;
a90 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
en sorte qu'en observant la règle des signes de sinus et cosinus (art.éG), on saura tout de suite à quelle région appartiennent x et j^.
