MODE DE SON TRACÉ

165, Soient, comme ci-dessus, ABC, BCD (^^. 38) deux triangles consécutifs d'un réseau, et AM == ds l'élément ou le premier côté d'une ligne géodésique quelconque; MM' le prolongement de cette ligne. Si Ton prend MM' = ^, et qu'on' le plie suivant la verticale M'N au second triangle BCD , on aura MN ou ds' égal à ce prolongement , et cela à un infiniment petit près du troisième ordre ; car l'angle M'MN=: / étant considéré comme un infiniment petit du premier ordre , on a , à cause du triangle rectangle élémentaire M'NM,

ds' = ds cos / = ^^ 1 1 — - j = efo ,

en négligeant les termes d'un ordre supérieur à / ^ ; mais - ^ est une

quantité du troisième ordre; donc ds* = ds\ donc la propriété d'une ligne géodésique s résuite de ce que sa différentielle ds est constante. D'un autre côté , la normale

M'N = ds sini = ds \i ^ j •=! ids — ^ ds,

ou simplement M'N=«/y; donc la normale comprise entre le prolongement du premier côté de la ligne géodésique et la surface terrestre est du second ordre. On remarquera que puisque la ligne géodésique AMN est égale à la distance rectiligne AMM', cette ligne jouit nécessairement . de la propriété d'être la plus courte entre toutes celles que l'on peut mener sur la Terre, entre ses extrémités A, N. En effet, ABM' > AMM' = AMN : mais ABM' = ABN à un infiniment petit près du troisième ordre : donc ABN > AMN.

Maintenant, soient x, jr^ z les coordonnées rectangles de l'origine de l'élément ds^ ou du point A du sphéroïde terrestre ; celles de l'extréoiité

M de cet élément seront x + dx^jr + djj z + dzj et les coordonnées du point M% extrémité du second élément MM' ==ds^ seront évidemment

Mais nous venons de démontrer que la petite normale M' N , ou la perpendiculaire au second triangle BCD, est du second ordre; par conséquent elle peut être considérée comme la diagonale d'un parallélipipède rectangle dont les côtés seraient du même ordre," c'est-à-dire ddx, ddjTj ddz. Ainsi les coordonnées du point N, ou du pied de cette normale , seront

jc-4- ^dx — ddx = X', j+ ^dj — ddj=:Y'j z+ idz — ddz = Z',

Or, par la théorie connue des surfaces courbes ( Traité élémentaire du Calcul différentiel de M. Lacroix, ou mon Recueil de propositions de Géométrie y 3* édit., page 434)» on a en général, pour les équations des projections de leur normale ,

X'-X-+-/i(Z'~Z) = o, Y'- Y+(jr(Z'-Z) = o,

p = (;7-), q = (^) étant des coefficients aux différentielles partielles; on a donc, pour le cas dont il s'agit,

ddx -^ pddz = Oj ê .

ddj + qddz = o. ;

D'ailleurs, lorsque u =/(x,7yZ) = o désigne généralement l'équation d'une surface courbe , /étant le signe d'une fonction quelconque , son équation dififérentielle est , comme on sait ,

mais, en supposant aussi l'équation de cette surface représentée par

aga TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

z = f {x,y), on a de même, pour son équation différentielle,

de là on tire aisément

/du\ / dz\ (du\ / dz\

Enfin 9 substituant ces valeurs dans les équations (A), il vient

Telles sont les équations de la ligne la plus courte sur une surface courbe quelconque, puisqu'elles résultent de la propriété même de

cette ligne. Éliminant entre elles (-^) , on a, pour troisième équation

de la plus courte distance ,

Ces trois équations seront donc celles d'une ligne géodésique, si i^ = o exprime l'équation de la surface terrestre {vojrez aussi sur ce sujet le Calcul des F^ariations ^ par M. Lacroix, ou celui de M, Francœur).

1B6. Pour première application , supposons w=jc^-4-j^*+;5*— r*=o, c'est-à-dire considérons une sphère du rayon r; les trois coefficients aux différentielles partielles seront évidemment

(du\ /du\ fdu\

ainsi , en divisant par ds chacune des trois dernières équations précé-

tiition ,

^ cosX' cos(p' — - cosX' siiKp' — sinX' = o,

A Tt

Si l'on suppose que la ligne géodésique , partant du plan des xz y lui soit perpendiculaire, on aura B = o, 9' = o; ainsi

- - tanff)' - - "^^^ d'où

équation qui exprime évidemment une des propriétés connues du triangle sphérique rectangle.