J F = PH

Nsini"cosH/

azimut

(O z'=ioo«-jj^tangH+ijj4ptangH(i+tang«H); OU 9 si l'on connaît seulement H « ,

(O z'=ioo«-jj^,tangH. -ijp:^,tangH, (1 + itang»H,y Enfin des formules (6'') et (c'') on tire sans difficulté cette relation

{d") (P' - P) sinH = loo» - z' +lp^ tang» H

laquelle est, comme on voit, presque indépendante de l'aplatissement

terrestre.

Ces formules n'exigent que la recherche d'un très-petit nombre de logarithmes, et elles ont toutes des éléments communs qui en rendent le calcul très-rapide. Elles servent surtout lorsque les sommets des triangles sont connus par leurs distances à une méridienne et à sa perpendiculaire (art. 163) ; et comme elles dépendent de la latitude H du pied de la perpendiculaire y^ latitude qui le plus souvent n'est pas donnée immédiatement , il est nécessaire de résoudre d'abord cette question :

Connaissant la distance x du pied M de la perpendiculaire y au point principal du réseau trigonométrique dont la latitude connue est h , trouver la latitude de M.

Or, on a par l'art. 185

ATT TT f ^ 3 / <?* \ sinaAj:» , .

AH = H — A = — : — ;7— /l \\- — ^ — y (ij

p et p' désignant les rayons de courbure du méridien et de l'arc perpendiculaire à l'origine de x\ c'est-à-dire que

(i — ff*sin» A)* (i — e»sin*A)*

X doit être pris positivement ou négativement, selon que cet arc se trouve au nord ou au sud du lieu principal. On peut presque toujours, dans

la pratique , se contenter du terme — : — ;; ; d'ailleurs il est aisé de cal-

*^ * ' p sin r '

culer le second terme , en faisant usage des valeurs numériques données dans l'art. 181; et il y a cela de remarquable, que les coefficients de X et x^ sont constants pour toute l'étendue de la carte.

Au surplus, les formules (a'), (6'), {(/) étant générales, on pourra les appliquer encore dans cette circonstance , en regardant les coordonnées rectangulaires x^jr comme deux lignes géodésiques consécutives K, K'* l'une jc ou R ayant pour azimut Z = o , ou Z = aoo*^ , selon que cette abscisse s'étendra vers le sud ou vers le nord; l'autre^ ouK' ayant pour azimut Z= loo* ou Z;= 3oo*, selon que cette ordonnée sera à l'occident ou à l'orient du lieu principal du canevas trigonométrique.

Cependant si Tabscisse x était de plus d'un degré sexagésimal , il faudrait en déterminer l'amplitude par la série (II) de l'art. t8S, prolongée jusqu'aux termes du 3® ordre.

197. Si l'on désigne toujours par h la latitude du lieu central d'une carte, par H, H' les latitudes respectives du pied et de l'extrémité de la perpendiculaire jr^ par P la différence de longitude de ces points y on aura ensuite

H = A + A;i, tangP = ^, amplitude en degrés,

„=i8î4 + |e«^8m«H.4' (art. 188); et

sin(H — H') = sin H sini^ tang - ( I 4-e' cos' Hh- . . .), ou

sin(H — H') =sinH'tangMtang?(H-e*cos'H'+. . .);

en vertu des art. 62 et 195.

Ces dernières formules ne dépendant pas de la petitesse de u , doivent, pour cette raison, être substituées à celles de l'art. 196, lorsque les points de la carte sont très-élpignés du méridien principal. Mais, comme les positions géographiques des sommets d'un réseau se calculent plus aisément et avec plus d'exactitude par la méthode des distances obliques (art. 195), nous ne prolongerons pas plus loin nos remarques à ce sujet.

Applications numériques.

198. Dans le dessein d'abréger le calcul des formules précédentes, nous avons construit la table lY , pour l'aplatissement o,oo3!24 9 ^^ pour le quart du méridien de 100007^4"^'^'"; ce sont, en effet, les deux éléments fondamentaux qui furent adoptés en 181 7, au Dépôt de la Guerre, pour les calculs de tous les points trigonométriques de la

36o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

nouvelle carte de France (art. 181). Nous aurons recours à cette table pour résoudre la question suivante.

La latitude du Panthéon , à Paris ^ déduite de celle de l'Observatoire royal , est , selon les opérations de la carte de France | K=5/i''jti']^aj55 ; sa longitude orientale , comptée du même Observatoire 9 est.... P = — o°,oio6,8i ; le log. de la distance, en mètres , du Panthéon au clocher de la paroisse de Dammartin , est log K = 49^249711 (art. 150); enfin l'azimut de cette distance sur l'horizon du Panthéon est Z = a5i''94oo.^ compté du sud à l'ouest : on demande la latitude H' et la longitude P' de Dammartin , ainsi que l'azimut Z' du Panthéon sur l'horizon de cette ville. [Voyez PL IX.)

Calcul de la latitude (formule a').

En écrivant cette formule ainsi ,

H' = H - AKcosZ - BK* sin^Z, ; "

on a

et en faisant