DEUXIÈME SOLUTION

195. Quoique les démonstrations des formules précédentes soient très-élémentaires, cependant ceux qui connaissent le Calcul différentiel préféreront sans doute la méthode suivante, à cause de son élégance et de sa généralité , et parce qu'elle conduit plus rapidement aux mêmes résultats.

Conservons d'abord la notation précédente, puis considérons PA {Jig- 40 bis) comme le premier méridien, et AM" comme un grand cercle

dont la partie AM = s soit constante de direction , mais variable de grandeur, et dont l'autre partie MM' = K représente un côté de triangle. Cela posé, si Ton mène les autres méridiens PM, PM' ayant respectivement H, H' pour latitude y et P, P' pour longitude; que de plus V, V soient les angles PMM', PM'M", ou les azimuts de K et de son prolongement , comptés du nord ; on aura généralement

la lettre y étant le signe d'une fonction indéterminée. En supposant donc que s reçoive un accroissement K , on aura , en vertu du théorème de Taylor,

H-=H + f H + i^JSK.+jij^^K-H

Maintenant, pour déterminer les valeurs des coefficients différentiels, formons le triangle sphérique différentiel APR, dans lequel AR = ds, l'angle APR = dV et l'angle extérieur PRM' = Y + dY; ce triangle offrira évidemment ces relations :

sinrfP sin(V+<^V) sin ds cos H

sin (V + rfV) sin V

cos H "" cos (H -hdB.)^

sin (H + dTL) = sin H cos rfj -H cos H sin A cos V ,

puisque AP = loo* — H , RP = loo** — (H -|- rfH). Si l'on chasse les dénominateurs , qu'on développe , enfin qu'on réduise conformément k la doctrine des infiniment petits, on obtiendra sans peine

^siny ^^tanffVtanffH ^ — cos V

et par suite

^ = sinV tangH.

Les trois coefficients différentiels de premier ordre étant connus, Ton passe sans difficulté à ceux des ordres supérieurs, en regardant seulement ds comme constant; et tout calcul fait on a, y compris les coefficients du premier ordre ,

(^) =<^-V, (^) = -sin«VtangH,

sin 2V tang H

\€U J "" cosH* \ds- ) ~ cosH '

fdPV'\ asinVcos>V, . ,, a„v 6sinV/i^ ^ „\

(^') = sin V tang H, {^) = 1 sin aV(atang» H + 1) (^') =- 6sin»V tangH (^+ i tang^n)

6sinVcos*VtangH(|+tang»H) = 6sinVcos^ VtangH(i +^tang^H) -6sinVtangH(|+|tang«H).

Si Ton s'arrête aux quantités du second ordre , et que Ton compte les longitudes et les azimuts du sud à Touest j ce qui exige que l'on iasse V = 200 — Z , et V = 4oo — Z', on retombera précisément sur les séries (a), (6), {c)y en supposant d'ailleurs K réduit en secondes et représenté par u.

Pour faire à la première de ces formules la correction due à l'ellipticité de la Terre , nous nous appuierons encore sur ce principe, savoir: que les arcs de même étendue sont en raison inverse de leurs rayons ; mais au lieu de prendre le rayon de courbure du méridien elliptique à la latitude H de départ, nous considérerons, pour plus de précision,

celuiqui répond à la latitude moyenne |(H-l-H'). Ainsi, en nommant R ce rayon , et appelant dH la différence de latitude sur la sphère , AH la différence de latitude des mêmes points sur l'ellipsoïde , on aura

-=-, ou AH = -rfH;

c'est-à-dire qu'il faudra multiplier par - la valeur approchée de H'— H

que donne sur la sphère la première série (A) , pour avoir cette différence exactement sur l'ellipsoïde de révolution. On a donc en définitive , et en secondes de degré ,

" -"-"^NSSrr- R « N»sini" ^""S «• R

et il suffira de connaître approximativement H' comme dans la première solution (art. précédent), pour déterminer R.

Procédons maintenant au développement en série du rapport- . D'abord on a

N= 1 -=:a(H-i6^sin*H + |c*8in^H...),

(i— ^8in»H)»

et si l'on fait i (H + H') = H -\-\cm. = Ç, on aura

, ^(. - ^' »m' %y ^ i (,^e. + e.|e«sin»Ç— Ksin«Ç+ie*sin*Ç).

Multipliant ces deux séries l'une par l'autre, changeant les sinus en cosinus , et faisant attention que sin» Ç = sin» H - rfH sin H cos H , on aura , toutes réductions faites ,

-= I +e» cos» H -1-e* cos* H — |e« <lHsin H cos H,

ou mettant pour dH sa valeur approchée - - cos Z, on aura enfin - = n-e»cos»H-t-e*cos»H-»-|e*|cosZsinHcosH.

La correction à appliquer à la latitude H' calculée sur la sphère , et que nous avons désignée par t|^ (art. précédent) , est donc

i^ = (e^ cos* H + e* cos' H + I e* ^ cos Z sin aH j rfH ,

et elle sera donnée en secondes si ^H est exprimé en mêmes unités.

Lorsque nous exposerons au chapitre P"^ du sixième livre les principes de la trigonométrie sphéroïdique , nous ferons voir comment on arrive à ces derniers résultats par la considération des propriétés de la ligne de plus courte distance , résultats qui dépassent sans doute les besoins ordinaires. Toutefois lorsque les triangles destinés à la mesure précise d'un arc de méridien sont de la grandeur de celui qui a été mesuré en Espagne (art. 154), il importe de calculer les différences de latitude par la série (A') précédente, prolongée jusqu'aux termes du troisième ordre inclusivement, et d'y appliquer la correction ^J^ que nous venons de trouver, comme on le verra par la suite.

196. La méthode précédente, par laquelle on détermine les positions géographiques des sommets des triangles , à l'aide des distances obliques, avait été proposée, dès 1787, par Legendre, dans un Mémoire sur les opérations géodésiques , imprimé parmi ceux de l'Académie des Sciences ; et c'est celle que Delambre a principalement adoptée, à l'occasion de la nouvelle mesure d'un arc du méridien. Legendre, considérant en outre le cas où la ligne géodésique est perpendiculaire, a donné des formules qui dérivent des séries (A), en y supposant V = 100^, comptant les azimuts du nord, et faisant V = aoo^ — z\

La première hypothèse introduite dans les coefficients différentiels , donnant

\ ds

les séries dont il s'agit se réduisent aux suivantes :

H' = H - |K>.taDgH,

cos H 3 cos H

z' = 1008 — K tang H + I K» tang H{{ + tang^ H' ) = ioo« — R tang H'— | K» tang H'(i+ 1 tang^ H')

Mais H' n'étant que la latitude approchée du point M', il faut^ d'après ce qui a été dit précédemment, avoir égard au terme dépendant de l'aplatissement de la Terre. Alors si , pour indiquer que la ligne géodésique K est perpendiculaire au méridien de M, on la désigne par jTj et qu'on la divise par N pour la ramener à une sphère du rayon pris pour unité y on aura définitivement en secondes

(a'O H, =H-i'^^(i + e»cos»H);

réciproquement

(aj H = H. + '-^;?5i5i(n.e»cos«H,);

V /// « 2 N» sin r ^ '^ ^

puis longitude

(Ô'O P' = Ph..4 — -fi-l^tang^n), ou bien