a65.&ii
6i.6i53,6 ti6i.a559,3
— oGoio6«8i
Saint-Marlin-du-Tertre
Panthéon ; . .
Belle' Assise
Panlhéon
Vélizy
Saint-Marlin-du-Terlre
Les Allaets
Dans ce tableau la position de Dammartin n'est pas comprise^ parce qu'elle a été déterminée précédemment. Si l'on veut trouver pareillement celle de la flèche de Saint-Denis , on partira de son azimut sur rhorizon du Panthéon , qui est de ao6%o793'' , et de la distance de ces deux points qui est de 9998™,7.
MOYEN DE RAMEITEB, A UNE CERTAINE HYPOTHÈSE d'aPLATISSEMENT DES RIÊSULTATS GEODÉSIQUES OBTENUS DANS UNE AUTRE HYPOTHÎlSE.
200. Si, après avoir déterminé les coordonnées géographiques des points pris pour fondements d'une grande carte, on reconnaissait que l'aplatissement de la Terre choisi à cet effet fût trop différent de celui qui convient à la région levée géométriquement , la question à résoudre pour corriger les résultats obtenus serait celle-ci :
Étant données les latitudes et longitudes des points éCun réseau de triangles j calculées sur un ellipsoïde dont F aplatissement est a, trousser, par la voie la plus prompte , ce que deviennent ces éléments géographiques lorsque F aplatissement est ai! ^^oL-hda.
Solution. Soient comme précédeniment H, H' les latitudes, et P, F les longitudes de deux points quelconques d'un ellipsoïde de révolution dont a est l'aplatissement , Q le quart du méridien et a le rayon de l'équateur. Appelons en outre  la difféi*ence des parallèles de ces points , B celle de leurs méridiens, mesurée sur un arc de parallèle passant par le point H'; on aura, art. 190, les deux relations
A = -^ (H' ~ H) - 3 a ^ sin (H' - H) cos (H' + H) , P-P = JË^(,asin»HO,
dans lesquelles n désigne le rapport de la circonférence au diamètre, et les amplitudes sont exprimées en degrés sexagésimaux. Si l'on suppose que la latitude H et la longitude P sont les deux données fondamentales qui , avec l'azimut de départ , ont servi à calculer H' et F, ces dernières quantités varieront avec a , et il en sera de même de Q et de a ; ainsi , en différenciant et négligeant les quantités du second ordre, telles que
txda, etc., on aura
(i) rfH' = | ^sin(H' - H)cos(H'+ H) - ^(H' - H), (2) rfF = - </a(sm» H' + I) (P' - P) - ^ (P' - P) ,
à cause de
a = ^(i+ia), etde "^ =\doL ' ^^
Telles sont les deux formules de correction à employer lorsqu'on veut rendre rigoureusement comparables des positions géodésiques qui n'ont pas toutes été assujetties à la même hypothèse d'aplatissement : elles ont le précieux avantage d'être non-seulement indépendantes de A et de B, puisque ces quantités doivent être supposées invariables, mais encore de la petitesse des amplitudes H' — H et F — P. Par exemple lorsque deux triangulations sont rattachées Fime à l'autre, et que tous les points de chacune ont été ramenés au même aplatissement a, on ajoute une constante aux latitudes et aux longitudes des points qui avaient été déterminés en supposant l'aplatissement a! ; et il est évident que cette constante est exprimée par la diflférence qui existe entre les coordonnées géographiques des points communs aux deux triangulations.
L'effet d'un changement d'aplatissement de la Terre, sur un azimut conclu, s'évalue aussi avec facilité, car la formule {if)j art. 196, dans laquelle nous changerons H en A^, pouvant visiblement s'écrire ainsi :
z' = 90° — (P'— P)sinAo-*-- - -,
sa différentielle , en regardant P et A^ comme constants , est
dz' = — rfP'sinAo,
et puisque h^ est nécessairement la latitude du pied de la perpendiculaire abaissée du point H' sur le méridien de H, on a cette relation (art. 56)
cot Hq = cot H' cos( F — Pj
pour déterminer cette latitude. Il suit de là et de ce que 2' = Z' — 1 80®, que la différentielle dz' se change définitivement en celle-ci :
(3) dZ' = [^a(sin>H'+i)(F - P) + ^ (F - P)j sin h^;
l'azimut Z' étant , bien entendu , compté du sud à Touest.
Il faut faire attention que y dans ces formules , la différence de longitude F' — P est positive ou négative, selon que le point P' est à l'occident ou à l'orient du point P; ainsi l'on pourra, dans la formule (2), prendre toujours P' — P positivement et ajouter algébriquement à cette différence de longitude sa correction dP' ; mais dans la formule (3) il faudra prendre P' — P négativement, si le point P' que l'on considère est à Test de la méridienne de P : cela est important pour ne pas faire une fausse application numérique de ces formules. Le deuxième volume de la Description géométrique de la France oflfre, aux pages 628 et suivantes, plusieurs exemples de leur utilité; en voici un : Quel serait l'aplatissement que devrait avoir l'ellipsoïde terrestre pour que les observations de latitude et d'azimut faites à la tour Saint-Âubin d'Angers, s'accordassent avec la latitude et l'azimut géodésiques calculés dans l'hypothèse de o,oo3a4 d'ellipticité, et en partant de pareilles données recueillies à l'Observatoire de Paris? sachant qu'à Angers l'on a eu
Latitude. Azimut de La Salle.
Géodésiquement. . . . H' = 47^28'! 0^67 Z' = io«33'48%56 Astronomiquement. . . 47«2i8. 6 ,79 io.33.3i ,85
rfH'=^I 3T88 dZ' = ~ 16,71 Longitude géodésique F = + 2i**53'ai",57 ;
et que de plus à Paris la latitude de l'Observatoire H = 48**5o'i3'''. Celaposé,lesformulesdifférentielles(i), (3), danslesquelles nous ferons
-^ = dqy et P = o, seront numériquement
- 3%88 = 8ii",oa da -h 49aa%53 dq,
— 16 ,71 = 7999 ,7 da -h 7669 ,7 dqj
et donneront
d^ = — 0,00521734; éafa = — o,ooi5834;
mais par supposition , a = o,oo35i4 5
donc c/! ^=. tf, Àç' doL =. o,ooi6566 = zr-5-21;
donc la correction du quart du méridien est
rfQ = Q X rfy = - 52734°",
en supposant Q de dix millions de mètres. C'est-à-dire que pour que l'accord demandé eût lieu, il faudrait que Paris et Angers fussent situés sur un ellipsoïde très-peu différent d'une sphère d'un rayon moindre que celui de la Terre. Mais cette conséquence, pour être juste, implique , sinon la parfaite exactitude des mesures géodésiques et astronomiques , mises en comparaison , du moins l'extrême petitesse des erreurs dont elles peuvent être affectées, et c'est ce qui est en effet indubitable. Sans entrer quant à présent dans plus de détails, voilà de quelle manière j'ai été amené à conclure que si les ea.ux de la mer recouvraient tranquillement le sol de la France, leur surface n'y serait pas celle d'un solide de révolution.
