PAR DIVERS PROCÈDES ANALYTIQUES

201. Lorsque l'amplitude géodésique d'un arc de méridien est connue avec une grande exactitude y et qu'elle est au plus d'un degré et demi y il suffit , pour en avoir immédiatement la longueur, de la multiplier par le rayon de courbure correspondant à son milieu, et calculé dans la même hypothèse d'aplatissement adoptée pour la détermination des différences de latitude des sommets des triangles. Par exemple , selon les calculs faits au Dépôt de la guerre, par M. Largeteau, la différence des latitudes de Dunkerque et de Greenwich est (p = 0^,49 lA^'ySa; et à la latitude moyenne ^ = 56*^,45, le logarithme du rayon R de courbure, déduit de la table IV, est

logR = 6.80433^8 on a de plus log y = 3.6914900

logsini' = 4.1961199 logconst. 9. 71 01 800

de là , log distance mérid. = 4 • 4oa 1227 en toises ;

et enfin , arc du méridien compris entre les parallèles de Dunkerque et de Greenwich , A := 25î24i^>93. C'est aussi ce que Delambre a trouvé par un tout autre procédé que nous expliquerons bientôt.

La méthode géométrique expliquée à l'art. 159, pour déterminer la longueur d'un arc de méridien et d'une perpendiculaire , dépend de celle sur laquelle est fondée la résolution des triangles sphériques peu courbes, et de la connaissance de l'angle azimutal du premier côté du

réseau. Quoiqu'elle soit fort simple, on ne saurait cependant l'appliquer avec succès qu'en choisissant parmi les triangles du canevas construit à une échelle assez grande , ceux qui jouissent des conditions requises.

Lorsque , dans les calculs de cette espèce , on emploie uniquement les angles sphériques, ainsi que l'a fait Delambre dans la détermina ~ tion de l'arc du méridien compris entre les parallèles de Dunkerque et de Barcelonne ^ on se trouve obligé de passer des logarithmes de sin K et sin K' à celui de sin (K — K!). Par exemple , la résolution du triangle sphérique ACM {Jig. 34) donnant log sin CM , on a besoin de connaître log sin BM = logsin(BC — CM), pour pouvoir résoudre le second triangle sphérique BMM'. Voici comment Delambre lève cette petite difficulté.

A cause de

sinK - sinK'= asin| (K - K') cos^(K-h K')

sin(K — K')co9|(K + K')

oo»-i.(K — K')

on a

par suite

sin (K - K') == ("°«^-"''^;)co»i(K-K') ^ ' cos|(K+K')

Sin K 1^1 - -^^j ^,i(g^.K,) »

log sin (K - K') = log sin K + log (i - ^)

+ log[i-asin»i(K.-K')] -log[i-asinH(K + K')].

D'ailleurs la petitesse de K et de K' permettant de faire

log [i- asin'KK - K')] - log[i- asin^ (K + K')] = aM [sin4(R + K') - sin'i (K - K')] = a/* sin^K sin iK'

s-l-fisinKsinK',

on a, en faisant attention que sin K et sin K' sont donnés en mètres, log8in(K-R') = logsinK + log(i-^) + ^sinKsinK';

p étant Je rayon de la Terre, et /x le module o,434^9-*- Pareillement

logsin(K + K') = logsinK + log(i+|^)-J^sinKsinR'.

Mais on est dispensé de Tusage de ces formules et d'une figure , par le procédé analytique suivant.

Supposons premièrement qu'il faille calculer la longueur de la méridienne AX ( j%. 34) comprise entre les parallèles des points extrêmes A, L. On commencera par déterminer, à l'aide des formules (a'), (i'), {c')j les positions géographiques des points B, D, F, H , K , L, situés sur la ligne polygonale qui s'étend le long de la méridienne. Ensuite on calculera la différence des parallèles des deux premiers points A , B, c'est-à-dire l'arc de méridien qui les sépare ; puis des points B, D ; puis des points D, F, etc., jusqu'à ce qu'on soit enfin arrivé à l'extrémité L de la chaîne. La somme de toutes ces différences sera la longueur cherchée , comme cela est évident.

La formule qui donne en unités métriques la différence des parallèles de deux points tels que A, B extrémités du premier côté K du réseau, est précisément la première (A) de l'art. 195, dans laquelle R est exprimé en mètres. Mais, dans cette circonstance , il est indispensable de conserver les termes du troisième ordre ; ainsi , en rétablissant l'homogénéité et faisant H' — H = dM , on a cette formule de rectification employée par Delambre ,

r/M = ~ K cos Z — i 1^ sin^ Z tangH -h i |J sin^ZcosZ( H-3tang^ H); (A)

N désignant la normale au point A de l'ellipsoïde de révolution. On voit donc que la distance entre les parallèles du pied et du sommet d'une

perpendiculaire^ à la méridienne est simplement rfM = -l^*^, tangH',

en désignant par H' la latitude du sommet dont il s'agit.

Si , au lieu de recourir à ce résultat déjà obtenu , l'on voulait y parvenir aussi directement que possible par la voie du calcul différentiel , on ferait , comme à l'art, cité , ^M =y'(K), pétant le signe d'une fonction quelconque; et par le théorème de Maclaurin, on aurait généra-

lement

les coefficients différentiels répondant à K = o. Or, d'après la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique ,

sin H'= sin H cos K — cos H sin K cos Z ,

le rayon représentant Tunité , et l'azimut Z , toujours compté du sud à l'ouest, étant censé aigu ; et par des différentiations successives prises en regardant R et H' comme les seules variables , il vient , après avoir fait K = o,

i^lë) = ^ ^'''' ^ ^^^^ (3 + tang^ H) ;

valeurs qui , étant substituées dans la série précédente , reproduisent la formule (A).

La valeur numérique de la- normale N ne peut se calculer qu' approximativement pour chaque point de départ; il en est de même des valeurs des séries {a'), (é')> (^')» puisque quand il s'agit d'évaluer un arc du méridien. Ton est censé ne connaître l'aplatissement de la Terre qu'imparfaitement. Mais l'incertitude qui existe à cet égard n'est ici d'aucune conséquence.

Remarquons d'ailleurs que , dans le calcul de la différence des parallèles, chaque arc partiel, tel que rfM, peut être considéré, vu sa petitesse, comme celui d'un cercle dont le rayon est égal à la normale correspondante ; mais la véritable amplitude de cette petite ligne géodésique est sur le sphéroïde l'angle des deux normales de ses extrémités, et non celui des deux rayons extrêmes de l'arc de cercle dont il s'agit.

En calculant de la même manière la distance comprise entre les parallèles des points extrêmes A, L, à l'aide de la ligne polygonale ACEGIL, qui ne s'écarte pas encore trop de celle qu'on veut déterminer , on aura une vérification du premier résultat : il convien- I. , 48

dra de prendre le milieu entre les deux , s'ils difTèrent un peu l'un de l'autre.

Afin de donner une application de la formule précédente , nous allons évaluer la différence des parallèles du Panthéon et de Dammartin. Les éléments de cette formule sont, d'après l'art. 198 ,

log K = 49534971 1 , Z = a5i^94oo3, H = 54*,a74a55 ;

et la table IV donne, avec l'argument H, log N = 6,8o54i3a9 puisque l'aplatissement des méridiens , en France, a été supposé de -^ (art. 181).

TTPB DU CALCUL.

1*' terme.

logK = l.cosZ ^

4,5a497ii