terme log
a* terme.
log i = 9>69897 alogK = 9,04994
a log sin Z = 9,71766
log tang H = o,o5849
c.logN = 3,19459
log 2^ terme = 1,71965 —
a log tang H = 1.4* terme = 9,3374' -^
Réeapieuiation.
i*' terme = + a3i57",4a a« terme — 5a"*,438 \
4^ — o ,ai7 )
di£f. des parall. ^M = a3io5 ,a5
On calcule directement la correction à faire aux distances obliques , pour les réduire à l'arc du méridien compris entre les parallèles de leurs extrémités , en employant la formule suivante :
K-rfM = aKcosHZ + i^8in»ZtangH
- igjsin* Zco»Z(i + 3tang* H)
qui n'est autre que (A), en y écrivant 2Cos*|^Z— i au lieu de cos Z; et pour lors toutes les fois que cos| Z sera très petit , totrt le calcul pourra s'effectuer avec les logarithmes à cinq dédmales.
Nous pouvons évidemment appliquer ici la simplification que présente la formule (a) de Fart 199; c'est-à-dire remplacer la précédente (A') par celle-ci :
(aO rfM = - K cos Z -- I ^sin^ Z tang{(H + H'),
dans laquelle N est la normale à la latitude moyenne -^(H + H')? latitude géodésique qu'il suffit de connaître approximativement.
Pour exemple y et pour le cas le plus défavorable, cherchons la distance méridienne comprise entre les parallèles de CamjHfe^ et du Desierto de las PalmaSj deux des stations de MM. Biot et Arago , situées sur les cotes de Catalogne; et prenons pour données celles consignées dans la Nouvelle description geométriqêse de la France j à savoir :
Latitude approchée de Gampvey.. . H =^ 43^4
Latitude /efeiw de Desierto H' = 44 ,5, |(H+H') = 44b.
log K = 5.2065667 en mètres;
azimut de Desierto sur l'horizon de Campvey
On a de plus, à la latitude 44^ l'ogN = 6.8051869 en mètres. Cela posé , par la formule (A) il vient en toises
ciM = 5886oSa - 4i5So - 3So6 - 6So5 = 58436Si,
et la formule (af) étant également? évaluée par les logarithmes, on
38o TRA^rrÉ DE GÉODÉSIE.
trouve
I*' terme. a* ternie.
logK = 5.2065667 — l^gi =9*69897
cosZ = 9.8530750 — 2logK=o.4i3i3
log const. . . 9.7101800 asinZ=9. 69166
logi**^ terme 4.7698217+ tangi(H-hHO =9.91 765 I" terme 5886oSa comp. log N =3. 19481 2« terme — 4^3,1 log const. =9.71018
DisTAircE MÉRIDIENNE 58437, 1 log 2* terme 2.62640= —423^06 ci-dessus 58436, i
Différence i^o
Ainsi cette nouvelle formule est en discordance d'une toise avec la précédente , parce qu'elle est appliquée à l'un des plus grands triangles qui aient été mesurés ; mais elle s'en écarterait beaucoup moins dans toute autre circonstance. Sa simplicité la rend propre à abréger singulièrement les calculs faits comme premier essai, et même à vérifier promptement un résultat obtenu.
Une autre méthode analytique fort exacte, quia une grande analogie avec celle-ci , mais qui conduit encore plus vite à la rectification d'un arc du méridien , consiste à évaluer rigoureusement les différences des latitudes des extrémités de tous les triangles qui s'étendent le long de cet arc , différences qu'il importe par conséquent de connaître à la précision d'un dixième de seconde centésimale, à l'aide de la formule (Â'), art. 199. Par ce moyen, la somme de toutes ces différences ou amplitudes partielles sera l'amplitude totale qu'on introduira ensuite dans la formule de rectification (M') démontrée à l'art. 177, pour avoir en mètres le développement entier de l'arc du méridien. C'est ainsi que j'ai opéré pour vérifier les diverses parties de la méridienne deDunkerque, et que j'ai découvert une erreur de 68 toises commise parla Commission du Bureau des Longitudes qui évalua, en 1808, la longueur de l'arc de méridien compris entre les parallèles de Montjouy et de Formentera [Nous^elle Description géométrique de la France ^ t. II, p. 34). En effet, selon mes calculs bien vérifiés, l'amplitude géodésique de cet arc de l'extrémité sud de la méridienne deDunkerque, est,
en grades , et par une moyenne entre deux valeurs très peu différentes H — H' = (p = a% 9974? 89
Latitude géodésique de Montjouy.. H = 45 >9599, 3o
Latitude idem. deFormentera. H' = 4^ 996^16,214
De là H + H' = 0 = 88 ,9aa5,l!4
Ensuite, appelant A Tare de méridien cherché , la formule (M') de Tart. 177, qui prend cette forme
A = Vç — V sin ff cos$ + V" sinaç) cos aî>,
s'évaluera très-promptement en partant des valeurs numériques des coefficients V, V, V, obtenues dans l'hypothèse d'aplatissement adoptée pour la carte de France (art. 181), et par moi relativement aux amplitudes partielles dM^ ctMf^ • . . = 9 ; et alors les logarithmes de ces valeurs seront
logV = 5.oooo3i4> lûgV = 4-491^^09» logV" = 1.49^2;
le rayon a de Téquateur étant exprimé en mètres, et l'amplitude f l'étant en grades ou degrés centésimaux. Mais, pour avoir A en toises, il faut ajouter à chacun de ces logarithmes 9.7 10 1800. Voici au reste le type de ce calcul fort simple :
!«' terme. 2* terme. 3* terme.
log V = 5.oooo3i4 logV' = 4-491^209— logV"= 1.49^4^+
logç =0.4767578 1. sin ç = 8.6727173 log sin 29 = 8.97327
logconst. =9.7101800 l.cos$ = 9.238366o logcos2$ = 9.97310—
i*' terme. . . . +153804*^,57
2* terme. ... — 129 ,56
3® terme. ... — * i ,4i
Distance méridienne exacte de Montjouy
àFormentera A=i53673 ,60
Selon la Base du Système métrique ^ t. m, p. 545 . . i536o5 ,17
Erreur commise par la Ck>mmission du
Bureau des Longitudes. • = 68*^,43
38a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Si r amplitude 9 avait été évaluée en degrés et fraction décimale de degré, il aurait suffi de faire log V = 5.0457889 (*).
Cette erreur de 68 toises méritait, à cause de sa gravité, d'être signalée dans l'intérêt de la science. Pour la retrouver à l'aide de la méthode de Legendre exposée à l'art. 150, je puiserai dans la iVbwi^eZfe Description géométrique de la France (t. Il), les éléments des calculs, ainsi qu'on le voit dans les tableaux suivants; mais je ferai remarquer , auparavant , que la méthode abrégée ci-dessus m'a donné pour résultat moyen 1 53674*^,1 3, en procédant du nord au midi, e^ v/c^ very^^ et passant par les côtés les moins éloignés de ta méridienne deDunkerqûe. Un des membres de la Commission de 1 84 1 > chargée de refaire à son tour la même vérification, est arrivé à la même valeur par un autre procédé très-exact mais beaucoup plus long. {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. XII, p. 1 178.)
{*) La rectification de cet arc, effectuée par parties, au moyen du logarithme du rayon de courbure de chacune d'elles, est encore assez prompte, en ayant recours à la Table IV qui donne ce logarithme. Par exemple, en diTisant l'amplitude 2^, 9974,9 en trois parties dont deux soient, chacune, d'un grade ou de 10000 secondes centésimales, et la troisième de 0^,9974*99; puis calculant les rayons de courbure corre^ pondants aux milieux de ces arcs partiels, on aura
à la latitude de 45^, 46, logB =6.8o36o59; à la latitude de 44 , 46, logR' = 6 . 8o354 1 1 ; à la latitude de 43 ,46, logR''^: 6.8034763;
et si l'on procède comme au commencement de cet article, en allant du nord au sud, on trouvera
pour le I®' arc d'un grade 5ia75^,oi
pour le a* arc d'un grade 5ia67 ,36
pourle3"de o,9974*,9d'amplit.. . 5ii3i ,06
PiSTANCB xiiBioiEnirB i53673 ,4^
Détermination de la plus courte distance de Mon^oujr à Saint-Jean
(Pi X).
TaUNGLU à réMNidre.
MontsernitA.
Montjouy B..
MataB C
MonUgut. • . .
Nontjouy. ...
MooUerrat. . .
Saint- Jean...
Montjouy....
MonUgut....
DOimÉBS
aofiM •phirlqvM.
io3. 53. 11,94
lof.oOléf en Bètrw.
