en tois. dH = -h

Ainsi en définitive, on a trouvé ci-dessus : .

i5383oT,63 ôtant (163,73 - 8,07) = i55 ,66

il reste pour la distance

méridienne de Montjouy

à Fermentera 153674^,97

Selon la Comm. du Bureau

des Longitudes de 1 808 . 1 5 36o5 ^ 1 7

Erreur 69 ,80 .

Si l'azimut de départ à Montjouy était, selon Delambre, de... 207*^39'57",5, c'est-à-dire de 5",5 plus fort que je ne l'ai supposé d'après Méchain, la correction de latitude à Formentera serait de — o",o455 sexagésimale [formule {m') de l'art, 204] , ou de 0*^,72; et alors la distance méridienne ci-dessus serait réduite à i53674^>a$, comme je l'ai trouvée en premier lieu à deux di^cièmes de toise près par la méthode de Delambre, mais en partant de l'azimut de Belle- Assise sur l'horizon du Panthéon (^Description géom. de la France, tom. II, page 37). On peut donc s'en tenir définitivement au nombre 153674 toises.

Les méthodes de rectification précédentes reposent sur la supposition que tous les méridiens qui traversent l'espace occupé par le réseau de triangles appartiennent au même ellipsoïde de révolution, et voilà pourquoi,^ en effectuant le développement de l'arc du méridien de Saint-Jean , on élude si facilement les difficultés que présenterait le procédé de Legendre, si on voulait l'appliquer comme dans le cas où les triangles s'écartent très- peu de l'arc à rectifier réellement. Il aurait pu se faire, cependant, que la longueur cherchée se fut trouvée un peu différente de celle calculée ci-dessus, si les localités eussent permis de prolonger directement la chaîne méridienne de Dunkerque jusqu'à l'île dlviza.

202. Il est des géomètres qui emploient, pour rectifier un arc de méridien, la méthode des perpendiculaires exposée à Tart. 164, mais que l'on rend plus exacte et plus générale ainsi qu'il suit :

Soienl MM;' [fig, 4*) im côté K de la chaîne des triangles, et AX

Ja méridienne dont on cherche la longueur. Si, par les points M, M S on conçoit deux arcs de grand cercle OM, OM' perpendiculaires en P, P^ à la méridienne AX^ ces arcs se rencontreront en un point O qui sera le pôle de Tare PP' qu'on a en vue de calculer. Or, en désignant les coordonnées AP, PM par ar, jr] celles AP', P'M' par x% ^'; les latitudes de M, M' par H, H', et leurs longitudes par P, P^; enfin la normale au point M par N; Tamplitude de l'ordonnée du point M s'obtiendra à l'aide de la formule

(i) sin jr = cos H sin P,

qui dérive de la propriété du triangle sphérique rectangle />PM formé par les deux méridiens p9^ pM et par l'ordonnée circulaire PM.

Si l'on désigne l'azimut Villp par Çj ce même triangle donnera

(a) cotÇ = sin H tangP,

et I oo" — Ç sera en M la convergence 6 du méridien PM par rapport à l'axe pX des abscisses ; ainsi (art. 196)

Q = loo** — Ç =^tangH,

en supposant^ exprimé en minutes ou en secondes.

De plus , l'azimut du côté MM^ sur l'horizon de M est connu ; représentons-le par Zf comme à l'ordinaire; alors l'angle OMM' sera égal à Ç — Z. D'ailleurs , en considérant les deux arcs OP, OF comme deux méridiens, les ordonnées^, y seront , par rapport à eux, les latitudes de M, M' ; et comme dans le triangle sphérique OMM' le côté MM'=K est très-petit à l'égard des deux autres , on aura, en vertu des formules {b)j (a) (art. 195), et en faisant aoo" — Ç -t- Z = V, pour abréger,

(fi') x' = or -H — anVcosV— 2^,

(a') f = I — KcosV— ^ ^sin^Vtang^;

d'où l'on déduira

PP' = or' — X.

Il suit delà que, si Ton connaît x^ yen mètres, on aura par ces formules , a/, y^ en même mesure ; mais en partant de l'origine A de la méridienne, les coordonnées x^jr sont nulles.

Remarquez qu'il n'est pas nécessaire que la formule (i) soit évaluée avec une extrême précision, en tant qu'il n'est question que d'avoir les diflFérences jc' — x et ^ — ^ ; mais qu'il faut que les angles Ç et Z, soient généralement déterminés à chaque point à projeter; ainsi Ton doit avant tout connaître les positions géographiques de ces mêmes points. Si cependant le réseau trigonométrique était traversé par la méridienne, on pourrait, sans inconvénient, déduire les azimuts Z de la supposition du parallélisme des méridiens (art. 164) et faire simplement V = loo + Z. C'est ainsi que Delambre a opéré depuis Dunkerque jusqu'à Montjouy {Base du Système métrique^ t. III, p. 4)- Toutefois ce serait mal interpréter sa formule que de l'employer dans cette hypothèse , s'il s'agissait de projeter des côtés éloignés de la mé» ridienne. La preuve en est dans l'erreur qui avait été commise en i8o8 par la Commission du Bureau des Longitudes, en procédant de la sorte et sans examen préalable , dans la recherche de la distance méridienne comprise entre les parallèles de Montjouy et de Formentera, ainsi que nous l'apprend le rapport très-circonstancié que M. Largeteau a fait au nom de la nouvelle Commission de 1841, qui a examiné à fond la question actuelle. (Voyez Addit. à la Corm. des Temps pour i844> page Ta3.)

Au surplus, quoique la série (/3') soit théoriquement exacte , elle est très-longue à évaluer, à cause des éléments subsidiaires dont elle se compose. Disons cependant qu'en choisissant convenablement pour axes des abscisses , dans la longueur d'une chaîne de triangles telle que celle d'Espagne {PI. X),un ou deux méridiens auxiliaires, et déterminant sur chacun les arcs partiels correspondants, à l'aide de la projection orthogonale, la formule (/3') pourrait s'appliquer à la manière de Delambre, et alors les calculs seraient beaucoup plus simples.

Bornons-nous, maintenant, à corroborer par un exemple la remarque relative à cette série (/3'), appliquée dans le cas le plus g^éral; c'est-à-dire projetons orthogonalement la distance de Formentera à Campvey sur le méridien de Dunkerque.

On a

Latitude de Fermentera H = 4^*^59626,46

Longitude ouest comptée de ce méridien P = o ,9364^09

Latitude de Campvey H' = 43 ,4oo3,4o

Longitude ouest F= i ,1378,90

log distance de ces deux stations, ou log K = 4*6673346 en mètres. Azimut de Campvey >à Formentera. . . Z = 178^,0796,2

A cette station logN = 6.8o5i652 en mètres.

A Campvey logN' = 6.8o5i74o

Appelons en outre ^ et ^ les perpendiculaires abaissées de H et H' sur le méridien de Dunkerque, et l'on aura, en vertu de ces valeurs, par la formule (i),

X = o^,73ii%34;

delà

JogJ* = 3.8639970

sin 1' == 4-^961 199 '

log^ = 8.0601 169 en parties de l'unité. logN = 6. 5 1 5345a = log normale en toises.

log^ = 4-5754621 en toises, y = 37623'^,7 Le même procédé conduira à ^ = 45465 ,6

Évaluant la formule (2), en partant de Formentera, il viendra logtang(ioo — Ç) = 7.963374, d'où 100 — Ç = 585o'',83 = 0;

et pour connaître l'azimut V du côté K sur la perpendiculaire y (cet azimut étant compté du sud à l'ouest, en regardant le point de concours des deux perpendiculaires^, y' comme le pôle de la sphère), on aura V = 100^ + Z + 0 ; partant ,

Z = 1 78^, 0795,2 sin V = cos (Z -H ô)

100 + ô = 100 ,585o,8 cosV =— sin (Z-|- ô).

ensuite la formule (|3') donnera

I®' terme. 2* terme.

logK = 4.6673346 logK* = 9.33467

sinV = 9.9751404 — sinV = 9.97514

c. cos^ = a86 cosV = 9.51715