CHAPITRE XVII

FORMULES DIFFÉRENTIELLES SERVANT A CORRIGER LES POSITIONS GÉO- GRAPHIQUES PROVISOIRES DES POINTS PRINCIPAUX d'uNE CARTE, ET APPLICATION DU CALCUL DES PRORABILITÉS AUX OPÉRATIONS GÉODÉ- SIQUES.

204. Les éléments des calculs d'un grand canevas trigonométrique sont sinombreuxy et les opérations qui en procurent les valeurs exactes demandent tant d'attention , qu'on est quelquefois obligé de faire subir aux données de départ reconnues fautives, de légères corrections qui influent plus ou moins sur les positions géographiques déjà calculées. Il est donc important de rechercher quelles sont, en général, les relations qui existent entre les quantités susceptibles de varier par suite de leur mutuelle dépendance; afin que si quelques-unes d'elles doivent être rectifiées, on puisse corriger toutes les auti'es de la manière la pins simple et la plus directe. La méthode analytique que nous allons exposer conduit précisément à ce but.

Supposons d'abord que les latitudes et longitudes de tous les points principaux d'un réseau trigonométrique aient été calculées à l'aide d'un azimut provisoire ; il s'agit de faire à ces latitudes et longitudes les corrections dues à l'erreur commise sur cet azimut, sans recourir pour cela aux formules de l'art. 195, ni à d'autres qui pourraient remplir le même but.

Comme les distances entre les points trigonométriques sont censées avoir été déterminées exactement , la nouvelle orientation s'effectue surle-champ, en faisant tourner tout le réseau autour du point où l'on a observé l'azimut, d'une quantité angulaire égale à la différence de l'azimut vrai à l'azimut approché. En effet, soient A (^. 43)lelieu del'observation , B un sommet quelconque de triangle , et C le pôle de la

Terre que Ton peut supposer sphérique dans cette circonstance. Si , en vertu de la variation observée dans l'angle BAC , le point B doit être transporté en B', tout autre point b lié invariablement au premier sera , par suite du mouvement commun autour de A , transporté en b' ; et l'angle bkb'y qui est égal à BAB', sera la variation d'azimut , variation que nous supposerons de quelques secondes seulement. La question , envisagée sous ce point de vue , est donc ramenée à la recherche des équations différentielles d'un triangle sphérique dans lequel un angle est variable et les deux côtés qui le comprennent sont constants

Soient ABC ce triangle, eta, 6, c les côtés opposés aux angles de mêmes dénominations; on aura

cos a = cos6 cosc + sin b%\XkC cos A, - (i)

cos c =: cos a cos b + ^inasinb cos C, (2)

sin A sin c = sin a sin C. (3)

Si l'on différencie les deux premières équations, en faisant varier A , a et C , et regardant 6, c comme constants, on aura

da sin a = dA sin A sin b sine, o == — rfa sin a cos b + da cos a sin b cos C — dC sin C sin a sin b.

Mais de la troisième équation l'on tire sin c = — . ■ ■ : mettant cette valeur dans la première équation différentielle, on obtient

da = dA sin 6 sin C ; {m)

et introduisant cette valeur dans la seconde, on a

rfC = — cos 6(1— cot a tang b cos C) dA. (n)

Soient maintenant H la latitude vraie du point A; H' la latitude approchée du point B ; Z l'azimut approché du côté BA , observé sur l'horizon de A , et compté du sud à l'ouest depuis o jusqu'à 400*; enfin P' la différence approchée des longitudes des points A et B : les formule» de correction (m) et (n), relatives à la variation d'azimut de départ, seront

respectivement

dW — cos H sin P' rfZ , (rnf)

rfP' = sin H (1 — tang H' cot H cos P') dZ ; («')

puisqu'en supposant comme de coutume Z < 100^ on a nécessairement da = — dW, dA=—dZ et dC = dV.

Si, au lieu de la longitude P', qui pourrait être inconnue. Ton voulait employer la perpendiculaire j- abaissée du point B sur le méridien de A, on aurait évidemment

. ^ sin r • -n/ siï^J .

smC = -^, ou smP'=— -^,;

sma cosll

et alors l'équation différentielle (m') se changerait en celle-ci :

rfH' = '^,sinr.^Z. (m")

Il résulte de là , que

latitude vraie du point B = H' -h rfH '. différence de longitude des points A et B = P ' + ^P'-

J'observerai que la variation d'azimut dZ doit être prise avec son signe, et que Z doit, dans ce cas particulier, se compter du sud à l'est, si l'on ne veut pas faire ^ ou P' négatif.

On concevra encore mieux l'utilité de ces formules en résolvant quelques-unes des questions qui se présentent naturellement dans la mesure d'une ligne géodésiqué. Si , par exemple , on voulait savoir quelle est l'influence qu'une erreur sur l'azimut de départ peut avoir sur la longueur d'un arc de parallèle , la formule diffîÊrentielle (n') serait propre à faire apprécier cette influence. Soit donc

rfP(„) = sin H(^) (i — tang H^„) cot H^,) cos P^^,)) dZ,

H(|) étant la latitude du point de départ ou de l'origine de l'arc mesuré, dZ l'erreur de l'azimut en ce point, H^„) la latitude de l'autre extrémité du réseau qui mesure l'arc dont il s'agit, P^») la différence des longitudes de ces points extrêmes, et ^P(n) l'erreur sur cette

différence des longitudes produite par celle de Tazimut. Pour application j supposons

dZ = ao", H(o = 44" 3o', H(„) = 45^ etP^) = 5^

on aura par les logarithmes

log^Z = j.aoio3o logsinH(i) = 9.845662

log é/Z sin H (.) = 1.046692 = -H ii%i35 1. tangH(,) = o 000000 1. cotH(,j = 0.007580 1. cosP(„) = 7.998344