tang

c. sin i' = 5.8o388oi

log 2 = o.3oio3ôo

log 2 = 0.5575369; 2 = o%ooo3%6 10247.

L'aire 1 du quadrilatère proposé étant connue en grades, il faut maintenant ajouter à son log 6.5575369 — 10

le log. constant 1 1.8038784

et l'onauralog 2 = 8.36i4i53 en mètres carrés; ainsi à fort peu près

2 = 229834530™-*' = 22983,45 hectares.

De Caire dune zone spkérique.

209. On sait que Taire d' une zone sphérique est égale à son épaisseur E multipliée par la circonférence d'un grand cercle. Soient donc H et H' les latitudes des bases de la zone , et supposons-les de même dénomination , puis désignons par p le rayon de la sphère , on aura

E = p (sin H' — sinH) = 2p sin|(H' - H) cos|(H' + H) , circonférence = nnp ;

partant , aire de la zone , ou

2 = 47rp' sin^ (H' - H) cos| (H' + H).

Calculons , à l'aide de cette formule , Taire de la zone torride , de la zone glaciale et de la zone tempérée. La première étant bordée par les tropiques du Cancer et du Capricorne , les latitudes de ces deux

cercles sont

H' = + a3«îi8' H = - 23.28

de là H' + H = ,0.0

Or, par ce qui précède ,

log/inp^ = 14^70696 83948 déplus lsin^(H' — H) = 9,60011 81 358

lcos| (H' + H) = o,

log2 = 14,30708 653o6;

donc la surface de la zone torride 2 = 20280867640 hectares ; nous avons ôté une dixaine du produit, pour satisfaire au principe deThomogénéité (art. 46), et nous avons évalué la surface en hectares, en divisant par loooo les mètres carrés donnés immédiatement par log2, ou, ce qui revient au même, en diminuant de 4 unités la caractéristique de ce logarithme.

Pour la zone tempérée boréale , qui est bordée par le cercle polaire arctique et le tropique du Cancer, on a

H' - H = 43. 4 i(H' - H) = ai°32'

l8in|(H' - H) = 9,56471 63o65

lcos|(H' + H) = 9,84948 5ooai

log constant = 14,70696 83948

log2 = i4,iaTi6 97034;

donc surface d'une des zones tempérées = i3ai8iao44o hectares.

Enfin , pour une des zones glaciales , on a

. H' - H = 23.28 i(H' - H) = ii°44' H' + H = i56.32 KH'+ H) = 78.16

logsin-^(H' — H) = 9,30825 90190

logcos|(H' + H) = 9,30825 90190

log constant = 14970696 83948

log2 = 1 3,32348 64328; donc surface d'une zone glaciale = 2 1 061 36 io3 hectares.

RÉCAPITUDLTIOIf.

Les deux zones glaciales 4^^^272206 hectares.

Les deux zones tempérées 26436240880

La zone torride 20280867640

Surface entière du globe 50929380726

Par le calcul direct 50929380650

Différence. . . 76

Cette différence de 76 hectares vient de ce que , dans les recherches des nombres correspondant aux logarithmes , nous n'avons eu égard qu'aux différences premières ; ce qui est bien suffisant quand on ne veut , comme dans le cas actuel , que des résultats en nombres ronds.

De Vaire dune portion de zone sphéroidique,

210. Considérons, pour plus de généralité, la Terre comme un ellipsoïde de révolution, et cherchons l'aire 2 d'un quadrilatère formé sur le sphéroïde elliptique , par deux méridiens dont la différence de longitude = /?, et par deux parallèles dont les latitudes sont o et H.

D'abord, en prenant toujours pour équation de l'ellipse génératrice du sphéroïde terrestre ,

42a " TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

l'axe de rotation sera celui des j^ ; ainsi, la différentielle de l'aire 2, faisant partie de la zone entière engendrée par la révolution de l'arc s de l'ellipse autour du petit axe b , sera en général

rf2 = ^ nxds ;

n étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, Q désignant le quadrant, et a: étant le rayon du parallèle à la latitude H exprimée en grades ou en degrés. Or, on a (art. 170)

__ a (i4-/»HcosH ^ ^* (i -h/i)^rfH ^ (i -f-«cosaH)' û(i-h/icos2H)î

par conséquent, la différentielle de l'aire du quadrilatère proposé sera

expression qui peut s'intégrer par séries ou par logarithmes. Supposons, comme à l'art. 172,

I I rn-E(i)COS2H+E(jjCos4H 1

(i -h /î COS2H)» ~(, — n>)ï Y +E(8) cos 6H + etc. . . . J '

on aura

^ = V ^73^ j ''^ I -^ E,.,cosHcos4H

E(,)CosHcos6H

Transformant chacun des termes de cette série, au moyen de la relation acosHcosfJiH = cos(fjL4-i)H 4- cos(|x — i)H, puis intégrant et remarquant que ~ — ^ = \/~- = % (art. 175), il viendra

^^P^ab j^ ( [n-iE(,)]sinH-h^[Ef,, + E(,,]sin3H ^

^^' '»-''( +-5V[E(t)+E(„]sin5H + ]'

Mais, d'après l'art. 172, on a*

m=——==u dou v/i-w2=^;

on a aussi

E(,) = am (an — m),

E(8) = — im^iZn — im\

E(4) == o^m^ij^n — 3m).

Par conséquent

I 4-iE(,j =1-/1,

E, -^ •/'2/1-h a/w' — m — Zmn\

(«) + I^(») = am"l ^j 1,

■F E,,, = -- am"( ^j 5- j,

D'ailleurs, de /i = — ; — ^^ on tire

ainsi

+ in» =

pn^/1

an»)],

et enfin

y /^«* rsinH — |^m(2-jr.m)sin 3ll + ^m^(3 + im) sin SHl ~ "^ L - im»(44- 3m) sin 7H 4- etc. J ^ ^^ ^

formule dans laquelle m = "" , (art. 175). Si donc on employait

l'aplatissement 3^, on aurait m = ^-f^, et ab = J-^ «x*.

On obtient cette série régulière par un autre procédé que nous

croyons devoir exposer. Si , dans l'expression différeiitielle

dl = ^ nxds.

on met pour xeXds leurs valeurs respectives ,

acosH b^dl5.

( I — e» sin* H) î û (i— « » sin*H)ï

trouvées aux art. 167 et 169, on aura

Or 9 en faisant e sinH = z, il est évident que

>7y P^h*dz .^. ^ ^^ — 2<ïe(i-»»)» ^^'

d'ailleurs

dz r I -h g* , I 1 #

ainsi intégrant 9 il vient

/(Ti??): = r{i:F)+ ^ *°S *»yP- 7

et par conséquent

4' Li — tf* sin*H vke ^ «^^^ \ 1 — ^ smH/ J' ^ ^

(*) Cette valeur de dl étant réduite en série , et ensuite intégrée entre les limites H et 1 00^, ou yfr, on trouve tout d'abord

2=^^[(i— sinH)+fc*(i— sin3H) + |^(i— sin^H)...].

Telle est l'expression simple et r^ulière de l'aire d'une zone formée par deux méridiens elliptiques et terminée au parallèle dont la latitude est H. En faisant p ='4^ ^< H = o, l'aire de Thémisphéroîde est

sans constante , parce qu'elle est nulle lorsque H = o. Pour appliquer plus commodément les logarithmes ordinaires à cette expression, soitesinH = siny; on aura, en faisant attention quHl faut convertir , dans le second membre , le logarithme ordinaire du facteur du second terme en logarithme hyperbolique ou népérien ,

[X étant le module 0,434^^4 (art. 107).

Il résulte de là que Taire entière de l'ellipsoïde a pour expression

Mais , pour retrouver la série précédente , on remarquera d'abord qu'à cause de

/>7r6«r z I r dz 1

/?7r6«/ sinH r dB cosH \

"4^ \i — tf'sin'H"*" J I — e»5in»H/

valeur qui, d'après l'art. 170, peut être mise sous cette forme : ,

^— ^ci (^^ "*" '^J \n-/icosaH "^ J i-f-/icosaH/'

Or, en développant en série chacun des termes du second membre , puis faisant les transformations qui se présentent d'elles-mêmes, pour n'avoir que des cosinus linéaires, et intégrant, on retombera définitivement sur la série (i).

Il suit de là qu'en désignant par H et H' les latitudes de deux parallèles, et par />, j/ les longitudes de deux méridiens, l'aire 2^,^ du quadrilatère compris entre ces lignes sera, en faisant d'ailleurs I. 54

on a

4a6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

i(H-H') = î., KH + H')=*,

/ sin (p cos$ — ^ f» (a + m) sin 3(p cos 3$ ] ___ /^— y\ j +|w*(34-afw)sm5<pcos5$

(*) "~ \^ i^~^/ j —y/w*(4+3m)sin7(pcos7Î>

série dont le terme général est évidemment ± nab (^"7^ ) ) . ^ ^w*"* ['+('"" i)'»]sin(2i— i)f cos(a/— i ;$> ;

le signe supérieur ayant lieu lorsque i, qui est le nombre des termes , est impair 9 et le signe inférieur devant être pris dans le cas contraire. On a par là le moyen de calculer, avec une extrême facilité, l'aire de l'étendue d'un pays dont on a construit la carte à l'aide des latitudes et des longitudes. Par exemple^ on peut embrasser dans un seul calcul la plus grande portion de cette étendue comprise entre deux méridiens et deux parallèles; ensuite évaluer, d'après des mesures prises sur l'échelle de la carte , les rapports que les parties du terrain figuré dans les quadrilatères partiels ont avec ces mêmes quadrilatères dont les surfaces s'exprimeront en mesures carrées , à l'aide de la formule précédente (*).

211. La recherche de diverses expressions du volume d'un segment de sphéroïde terrestre , compris sous des bases parallèles au plan de l'équateur, ne saurait oflfrir aucune difficulté d'après ce qui précède. Par exemple , si o et H sont les latitudes de ces bases , le volume Y de ce segment sera donné par la formule suivante , qui est rigoureuse , à savoir :

= Tii V' sin ïï • (' ^ 5^' ^^^ h) '

(*) y oyez y pour l'expression de Taire d*iin ellipsoïde à trois axes, les Exercices de Calcul intégral par Legendre, i" partie, page 182,

ou , par cette série régulière et simple ,

y = îrA»p'sinH.ri-~*sin»H.(n-e«sin*H-He*8in*H+. • .)];

p'etp étant , comme à l'art. 187 , les rayons de plus grande et de plus petite courbure de la surface du sphéroïde terrestre y au point dont la latitude est H. En doublant cette valeur de Y et faisant H = loo^, le volume entier de Tellipsoîde à deux axes a donc pour expression ^nba^.

application numérique.

212. Étant données la différence p—p' des méridiens extrêmes d'une portion de zone sphéroidique et les latitudes H , H^ des parallèles qui bordent cette portion de zone sur la Terre ; évaluer en hectares l'aire 2(,) qu'elle renferme, en supposant le quart du méridien de lo millions de mètres, et l'aplatissement de g^^^^g = OyOo3a4.

Soient

H =45Vi5%

et remarquons que par suite de notre hypothèse ,

a = 3^, log a = 6,8o458 39646 en mètres, /^ m= ^= j{j, log b = 6,8o3i7 4566i;

on aura , en se bornant aux trois premiers termes de la série ,

(p—p'\ ( sin 9 cos $ — I m (a + m) sin 3ç ces 3^ ^ Z(., = naby-^J}^ -|.XTO*(3 + am)8in59Cos5<ji'

4a8 de là