PARTIE DE SA SURFACE
De la mesure de l'aire dun triangle et d'un trapèze sphériques.
208. Les triangles qui couvrent le pays dont on a levé la carte , présentent souvent une sorte de ramification continue autour du centre du lieu principal 5 mais quand même ces triangles ne seraient pas tous liés immédiatement les uns aux autres , la question proposée serait toujours ramenée à calculer les aires des triangles ou des quadrilatères sphériques que renferme le terrain. Quant aux petites portions de surface qui pourraient être comprises entre les limites du pays et les côtés des triangles ou des quadrilatères extrêmes dont il s'agit , leur évaluation s'effectuerait aisément à l'aide d'opérations graphiques exécutées sur la carte même, comme on le verra dans le Traité de Topographie.
Lorsque les triangles d'un réseau ont peu d'étendue , leur courbure est insensible, et alors on les considère comme des triangles rectilignes dont la surface s s'obtient par la formule connue
ab . ^
,y = — sm G.
S'ils sont de premier ordre , on en évalue la surface au moyen de la série donnée à la fin de l'art. 100, mais qu'on peut, dans tous les cas, borner au second terme.
En général on a , pour un triangle sphérique ABC,
4i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
g désignant l'excès des trois angles sur deux angles droits. Lorsque l'aire delà sphère est évaluée en triangles trirectangles {Géom. de Legendre , liv. VII ) , l'excès e réduit en parties du quadrant exprime l'aire même du triangle : alors si S est la surface de la sphère, donnée en mesures connues, on aura £ exprimée en mêmes mesures, par le quatrième terme de cette proportion ,
puisque la surface de la sphère est composée de huit triangles trirectangles. Or, cette surface S = 4^P*? 9 étant le rayon de la sphère, et 71 le rapport de la circonférence au diamètre. Donc, pour les triangles sphériques qui font partie de la surface du globe terrestre , on a , en mètres carrés ,
S =4^: (6366198)% et logA= xi,8o388oi,
ou un peu plus exactement , en prenant le milieu entre les logarithmes des deux demi-axes de la Terre donnés par Delambre {Base du Système métrique ^ tome III, page 196),
logS = log47r + 2 log 6,80387 92654 = i4>7o696 83948; ainsi S = 60929380650 hectares = surface du globe terrestre ,
^^ '^Se^ = 11^80387 84078;
ou bien , en employant la division nonagésimale du quadrant ,
■ Iogg^ = 11,8496358984,
ou enfin , en substituant à ces logarithmes ceux qui résulteraient des valeurs des demi-axes de la Terre que nous avons obtenues (art. 181). Ainsi, pour avoir l'aire d'un grand triangle sphérique, au logarithme de l'excès de ses trois angles sur deux angles droits, exprimé en grades ou en parties de grade, on ajoutera le logarithme constant
1 1,80387 340789 et la somme sera le logarithme de l'aire du triangle évaluée en mètres carrés. On voit par là avec quelle promptitude on obtiendra l'aire d'un polygone sphérique décomposé en triangles dont les angles sont connus.
Mais lorsque tous les points d'un réseau trigonométrique sont donnés par leurs distances à une méridienne et à sa perpendiculaire (art. 164), la surface d'un grand état se décompose en trapèzes sphériques , dans chacun desquels on connaît les trois côtés qui sont perpendiculaires entre eux.
Pour exemple, supposons que les côtés i, c qui comprennent l'angle A [Jig* i3) soient prolongés jusqu'à ce que les arcs Aa, B/3 soient égaux chacun au quart de la circonférence; alors les angles a, |S seront droits, et l'aire du triangle isoscèle AajS qui, en général, = A -ha + jS — 2"^, deviendra=A. L'aire du trapèze sphérique a/3BC, ou Aa^ —ABC , sera donc = 2^ — B — C.
Mais, par les analogies deNéper , démontrées à Fart. 64, on a
tangi(B + C)=cotiA^M|=fj;
donc si Ton désigne par 2 l'aire du quadrilatère sphérique dont il s'agit, on aura
2 /B-hC\
tang - = cot y—^) =
tang (^-^j
ensuite
2 cos\(b-{-c) . I .
a co5 7(^ — c)
et si l'on dénote par 7, y' les deux côtés B^, Ca du quadrilatère, perpendiculaires à la base ajS = A, en sorte que ^ = 1^ — i, j^' = 1^ — c, on aura, pour la détermination de Taire 2, la formule
tang
i^=Mfe^'«"«i*-
cosKr — r')
Cette formule, que nous venons de démontrer d'après Lagrange ( Trigonom. sphér. , pag. 276 , vi* cahier du Journal de ï École Polj- I. . 53
4i8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
technique)^ est très-utile pour mesurer les surfaces sphériques terminées par des arcs de grand cercle ; pour en faire usage , il faudra évaluer l'amplitude de chacun des arcs jr^ jr' donnés en mètres ou en toises, ainsi que celle de l'arc de méridien A = or' — ar (art. 196). De cette manière, l'aire 2 sera donnée en grades ou en degrés; et on l'évaluera en mètres carrés, en procédant comme il a été dit à l'art. 89. En voici un exemple.
Les coordonnées rectangles des extrémités du côté Chapelle-la- Reine- Boiscommun^ calculées par Delambre , et rapportées à la méridienne et à la perpendiculaire de Dunkerque , sont
Pour Chapelle-la-Reine ,
X = i55i94Sa, J = — 73ioS3; pour Boiscommun ,
on demande l'aire comprise entre ce côté de l'un des triangles de la méridienne, la différence x' — x des abscisses et les deux ordonnées y^ ^S en la considérant comme étant celle d'un quadrilatère sphérique.
Faisons le rayon de la sphèt^ p = — D = 67020* (art. 149) , et
R® désignant le rayon exprimé en degrés (art. 101); ou bien, pour employer les tables décimales et avoir l'aire cherchée en hectares,
substituons à R^ ce rayon exprimé en grades , auquel cas
logR''= i.8o388oî; il viendra, à cause de logp = 6.5i4i49S en toises ,
logl A = 9.1892636; log^m = 8.8711224; log I n = 8 . 8333^66 ; d'où
et la formule précédente donnera
log sin-^ m = 7.06724^3 .
