CHAPITRE XX
DETERMINATION DES DIFFERENCES DE NIVEAU, PAR LES PROGÉdEs \ • TRI60N0MÉTRIQUES.
218. Deux ou plusieurs points sont dits de nivecui entre eux, lorsqu'ils appartiennent à une même surface semblable et concentrique à celle des eaux tranquilles de la mer ; et une droite perpendiculaire à la direction de la pesanteur est dite une ligne horizontale ou une Ugne de nis^eau apparent. En supposant la Terre sphérique , toutes les verticales ou lignes de gravitation passent par son centre ; mais si l'on regarde le globe terrestre comme un sphéroïde engendré par la révolution d'une ellipse autour de son petit axe, les verticales qui sont, des normales à sa surface , rencontrent en général le demi grand axe entre le centre et l'équateur {fig> Sg).
Ces définitions étant bien comprises, il s'agit de procéder à la recherche des formules propres à la détermination des différences de niveau, dans chacune des deux hypothèses précédentes; afin de juger avec connaissance de cause du degré de précision qu'on peut obtenir dans les deux cas.
PEBMiiRE HYPOTHÈSE.
La Terre étant sphérique.
Soient C {Jig* 46 ) 1^ centre de notre globe réputé sphérique , et A, B deux points inégalement éloignés de ce centre. Si AB' est une ligne de nweau vrai ou un arc terrestre, la hauteur BB' = riE sera la différence de niveau des deux points A, B. Or, par les opérations géodesiques, on connaît la plus courte distance de ces points , ainsi que I. 57
45o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
leurs distances zénithales réciproques, ou tout au moins l'une d'elles; on a donc tout ce qu'il faut pour déterminer dE,
En effet , représentons par c? la distance zénithale apparente du point B y observée de la station A ; par &' la distance zénithale apparente du point A , observée de B ; par G l'angle que forment les deux verticales passant par A et B et se coupant au point G; par R le rayon de la sphère dont la surface s'écarte le moins possible de celle de la Terre aux lieux des observations; par S, S' les réfractions dont les distances apparentes (?, d^' se trouvent respectivement affectées; enfin par D, D' les distances vraies (?-+-ô, cî^'+ S'; et supposons d'abord D < D' : le triangle rectiligne ABG, que nous appellerons triangle hjpsométrique y donnera
sinD': R :: sinD: R + rfE,
d'où
jr T> /sinD — sinD'\
rfE == R ( r-~, ) ;
\ smD / ^
jx i\ r^f /D-4-D'\ . /D — D'\ ^
puis , à cause de sm D — sm D' = 2 cos I j sin ( j , et
, D-4-D' „ C, rti*N J /D-f-D'\ . C
de — --- — = loos H — (art. 214), ou de cos ( J = — sin — , on
aura
2Esin ^sinl(D'--D) aRsm -ain|(D' — D)
^ *" sin(aoo— D') "^ cos|(D— D' — C) '
Mais en général
cos(x)=cos(-x), et sin^ = ^|^ -. ^ (i")'"^ '"'
de plus, RC = K< , K^ étant l'arc qui mesure la distance des stations A , B, et dont la corde est K; ainsi 2R sin — = K, et
\ * 24R>y cosi(D'-D4-C)' OU
d] dE- «-«"HD-P)
Au surplus 9 il est très-rare qu'on ne puisse pas prendre dans ce cas l'arc pour la corde.
Supposons maintenant D>D'; le triangle ABC [fig* 46 ^'^) donnera
sinD: R :: sinD' iR + rfE; par conséquent
\ sin D / '
et par suite, en procédant comme ci-dessus , ou, ce qui est plus simple, en changeant dans le résultat précédent D en D' et vice versa , puis supposant qu'on nivelle en allant de A en B ,
a^— ^jv, ^^^^j ________
ou
^ ' co3|(D — D'-f-C)
Si l'on compare cette valeur à la précédente (i), on reconnaîtra que celle-ci est négative et que l'autre est positive , mais que dans le dénominateur, la différence D' — D doit toujours être prise positivement , lorsque l'on emploie pour K la distance des deux stations réduite au point le plus bas. Or, par le calcul d'un réseau trigonométrique , K est nécessairement réduit au niveau de la mer (art. 141), et est alors représenté par ab'. Ainsi la différence de niveau BB' = e/£, obtenue à l'aide de R = ab\ est un peu trop petite , puisqu'elle devrait l'être au moyen de AB' ; mais dans la pratique on peut , sans inconvénient , faire abstraction de la très-petite différence des deux cordes a^^, AB', à moins que les stations ne soient très-élevées (art. 256).
Afin de comprendre ces deux formules dans une seule , et de les assujettir à l'hypothèse précédente, nous écrirons
f'X\ ^ir Ksini(D' — D) ,. ,„ Ksini((î' — ^)
La réfraction ne modifie en rien ce résultat , puisque , d'après ce qui a été dit à l'art. 214, on peut presque toujours supposer d = 0' : il en
45a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
serait évidemment de même si les distances zénithales réciproques c^, d' étaient affectées chacune de la même erreur. On entendra par le signe oo, que la différence (?' oo (? qui entre au dénominateur, doit toujours être considérée comme positive et s'ajouter à l'angle G. Ainsi, le signe de rfE, qui dépend uniquement de celui du numérateur sin ^ [ù' — è\ sera positif ou négatif selon que l'angle i' — c^ sera lui-même positif ou négatif.
La formule (i) ou (2) , qui est rigoureuse , conserve ce caractère en développant le dénominateur et en faisant attention que aR sin-| G=K , et que R est la normale N de Tune des stations (art, 170), Gette opération très-facile donne en effet
W "^— I— taiiglCtangi(^— *+0'-9)'
et c'est encore ce que l'on trouve en appliquant au triangle hypsométrique le théorème démontré art. 49. Au surplus, à moins que la distance des objets mis en comparaison ne soit très-grande, ce qu'il faut éviter, cette dernière formule, en y supposant Q = Q'j peut se réduire à celle-ci :
(40 dE = aR tangiC tangi (&'-&) = ^ tangi (<?' - (T),
laquelle est fort usitée. Si Ton en chasse l'angle des verticales au moyen de cette rdation
C = <?+ (^ -h Ô -h 0' — a" = (^ 4- <f' + nC H- n'a — a%
qui donne
on aura définitivement , avec une approximation suffisante ,
(5) ^E = ^^^Ëf^ tangi (<^.'-c^).
G'est à l'aide de cette nouvelle formule qu'on déterminerait assez bien ,
dans une exploration géographique y la différence de niveau de deux points éloignés l'un de l'autre sans connaître leur distance , en supposant cependant que les coefficients riy ri des réfractions locales fussent déduites théoriquement d'observations barométriques et therraométriques contemporaines de celles des distances zénithales. Autrement l'on serait obligé de faire /i = /i' = 0,08, et alors la différence de niveau laisserait encore plus d'incertitude sur sa véritable valeur ; car il faut bien faire attention que la substitution du diamètre de la Terre et du complément de la demi-somme des distances zénithales à la place de l'arc de distance K qui est censé inconnu , produit quelquefois une erreur considérable sur^E, puisqu'elle serait, par exemple, d'un 70® si l'on déterminait , par les seules distances zénithales apparentes et les coefficients de la réfraction, rapportés art. 216 et 217, la hauteur du Puy-de-Dôme au-dessus de la préfecture de Clermont-Ferrand. En effet la formule (5) donnerait dlL = 1048", tandis qu'on a exactement io63"" par la formule (4'), qui est explicitement fonction de la distance K.
219. Si l'une des distances zénithales et la différence de niveau dE étaient connues, et qu'il fallût avoir l'autre distance zénithale, pour réduire à l'horizon un angle observé entre deux objets inégalement élevés, la formule (4) donnerait sur-le-champ
tangi(c?'-c?)=-^5^ ;
i-h-j^sin|C
et par la méthode de l'art. 93, on aurait ,- en série et en secondes ,
fA^f A\ ^^ COS7C f^Y sinjC {dEy cos|C
mais l'on pourrait bien dans ce cas se contenter du premier terme.
L'usage du théodolite rend ce calcul inutile, puisque les angles observés avec cet instrument se trouvent réduits à l'horizon (art. 125); et ce qu'il y a d'avantageux, sous un autre rapport, c'est que la réfraction , dans le sens vertical , ne peut jamais troubler l'accord des séries. Mais ce n'est pas une raison pour négliger d'observer les dis-
tances zénithales, puisqu'elles servent à déterminer exactement les différences de niveau.
220. Ne faisons maintenant dépendre la formule (4) que de la seule distance zénithale ^^ et y dans cette vue, rappelons-nous que
d' -j- 6 = i« + -i-C — ^ ((^ — c^) ; on aura tout d'abord , en éliminant 1. ((J' — (J) = i« ^ ((? + 0 — IC), cette expression finie
W «^— i-tang|Ccot(^+e-iC)'
ou , parce que le dénominateur diffère très-peu de l'unité ,
dE = aR tangiCcot (c^H- ô - |C) = ^^ cot ((? -h ô -'iC);
ou encore , en introduisant ici le coefficient de la réfraction , on a (6') dE = ^cot[â + {n-i)C];
et il est évident que le signe de dE dépendra de celui de la cotangente. Enfin , si dans l'équation (6) on fait
a: = tangue cot (c? -+- ô — ^C) , on aura
(6") rfE = aR.^-;^=aR.(ar + jr»-l-JC»+...);
mais il est extrêmement rare que le premier terme de cette série ne suffise pas.
Lorsque la valeur numérique du coefficient de la réfraction ne peut se déduire d'aucune observation directe , faite à l'époque où les dislances zénithales ont été prises, on la suppose ordinairement de + o,o8. Dans le cas d'une réfraction extraordinaire, n peut être négatif; mais il n'y a que l'observation qui puisse véritablement faire connaîti'e ce coefficient et le signe dont il doit être affecté.
221. La formule (6') se transforme en une autre équivalente ainsi qu'il suit. D'abord soit , pour abréger, (n — |) C = |3 , on aura
co.[*+(.-eC] = co,(* + ft = ^^i^^
et puisque , dans la pratique, l'angle |3 est fort petit, on peut prendre l'arc pour la tangente : ainsi ,
cot((»+<3)= 'Z^'^^'f ,,.
Ensuite multipliant haut et bas par (H- jS cotcf)"*, et développant, il vient, en s'arrêtant aux termes du premier ordre par rapport à /3,
cot [à + P) = (cote? - /3)(i - p cote?) = cot^ - ^;
puis, remplaçant j3 par sa valeur, et faisant attention que C = — , on a enfin
OU , ce qui est encore permis dans beaucoup de cas, (8') rfE = K cot(? + ^ '- ^^
^ ^ aR R
Ce dernier résultat, auquel on peut sans doute parvenir par une voie plus simple et plus directe, met en évidence et le terme dépendant
de la sphéricité de la Terre, savoir —, et celui qui est produit par la
réfraction , savoir ^. U serait donc facile de former une petite table
pour difiGérentes valeurs de n.
Mais quand il est permis de faire constamment ti = o,o8, et de prendre pour R la normale à la latitude de 45 degrés, on a
rfE = Kcot(J + 9K%
et log q = 2 .81793 : expression très-usitée dans la triangulation secondaire et dans les opérations de détail.
Un autre avantage de cette formule (8) est de donner la valeur du coefficient de la réfraction, quand on connaît rfE, K et la distance
zénithale apparente & : en effet, soit — 7^ = dE\ on a (9) I ~ an = '- ^.
Mais rien ne prouve que n soit constant pour toutes les trajectoires lumineuses qu'on peut concevoir, au même moment, autour du centre de la station.
Si au lieu d'exprimer la différence de niveau par les premiers termes d'une série d'ailleurs très-convergente , on en voulait une expression finie, il suffirait de mettre dans la formule (i), art. 218, pour Kiy — D) sa valeur i"* — D 4- ^ C, car on a sur-le-champ
, Kcos(D-iC)
^^- sin(D-Cr'
Observons toutefois que si l'on se bornait à remplacer ici la distance zénithale vraieDpar sa distance apparentée^, la différence de niveau résultante serait , d'après ce qui précède , en erreur d'une quantité exprimée par le terme — ■ , ^z dû à la réfraction; mais elle sera évidemment exacte, en faisant D = ^-4- 71 C, ou ce qui est pins commode pour le calcul numérique, en écrivant
sin{^ — C) Rsin»(î"
222. Lorsqu'on aperçoit l'horizon d# la mer, d'un lieu élevé d'où l'on observe, il est facile d'obtenir la hauteur de ce lieu au-dessus des eaux, au moyen de l'angle observé entre l'horizon et le zénith, si Ton connaît d'ailleurs le coefficient de la réfraction ; voici comment :
Si , par le point B de l'observateur {Jig. 4?) > l'un imagine une tangente BA à la surface de la mer, le rayon terrestre CA = R sera évidemment perpendiculaire à AB. Si l'on imagine en outre une ligne de
niveau y ou un arc terrestre ÂB' compris entre le point A et la verticale YB, la hauteur cherchée sera BB' = E. Or, faisant comme à l'ordinaire la distance zénithale vraie YBA = D = c^ + d^ (^ étant la distance apparente observée et ô la réfraction ; le triangle rectangle CAB donnera , à cause de Fangle CBA = i^ — C, et de CA = R,
siii(i« — C) eosC
Mais BB' = E = CB — R, par conséquent
£ ^(i— -cosC) T. asin^lC cos c cos G
= ^ sm.êcosC = ^ **°g^^ **°6^-
Quelle que soit la hauteur de la montagne , la distance zénithale qui aura pu être observée du sommet ^ sera toujours peu dififérente de l'angle droit ; ainsi Fangle C sera très-petit. Mais parce qu'en général tang nue = m tang x , lorsque x est un fort petit arc , et m un coefficient peu différent de l'unité y on a sensiblement y en considérant R comme :1a normale N du lieu ,
E = |R tangue.
De plus, à cause de C = c? + ô — i^ = çj + nC — i^ (art. 214), on a
enfin,
(10) E = iR^-^-l^ tang» ((?-!');
OU , faisant la dépression apparente (^— i^ = {<, onaà fort peu près
E = ^R(H-7i)^tang*w.
Cette formule usitée aurait cependant plus de précision si on la modifiait de manière à tenir compte de la difiTérence qui existe très-probablement entre la réfraction à la surface de la mer et celle qui se mani- I. 58
feste eu même temps à la staticm élevée. Or, en reprenant la formule (40» et remarquant que, dans le cas actuel ^ (? = loo^, ^' = loo^ + u, elle devient, en y changeant d'ailleurs dEi en £ pour désigner une hauteur absolue; elle devient, disons-nous,
E= aR tangue tang^u;^
puis, substituant pour G sa valeur en fonction des coefficients des réfractions locales, savoir :
on aura très-approximativement
(II) E = t»R(^-^)tang»i«.
Maïs Ton remarquera que cette formule présente dans la pratique le même inconvénient que celle (5) de Fart. 218 y et qu'il est impossible d'y remédier.
223. On voit par ce qui précède , de quelle manière on déterminera les élévations des sommets des signaux au-dessus d'un même horizon , àardwau moyen de l'Océan , par exemple : ainsi, en en retranchant les hauteurs des signaux , on aura celles du sol au-dessus de ce niveau (art. 53).
En attendant que nous donnions un exemple de ce calcul , supposons que les points R y R', R", . • .,&") soient inégalement élevés au-dessus d'une même surface de niveau, en sorte que h' soit l'élévation du point R' au-dessus du niveau de R ; h" l'élévation du point R^ au-dessus du niveau de R"; d'" la dépression du point R'^, par rapport au niveau R", et ainsi de suite; il est évident alors qu'on aura généralement pour la difiFérence de niveau des deux points extrêmes y h — rf , en prenant positivement les hauteurs A'-hA''...= Ayet négativement les dépressions rf"" 4- rf'^« . . = é/ supposées observées de gauche à droite. Si la différence A — rf est affectée du signe H- , le point extrême R^"^ sera au-dessus du niveau de R ; et si elle est affectée du signe — , le point B ^"^ sera au-dessus du même niveau.
Concluons de là , que si E est la hauteur du point B au-dessus du ni-
veau de la mer, E + h^ d sera la hauteur de tout autre point au-dessus de ce niveau.
Toute hauteur au-dessus de la mer se nomme hauteur absolue, et la différence de niveau de deuxpoints s'appelleen général A^i/^ee/rreZa/zVe. Maintenant on est assez d'accord en Géodésie pour désigner sous le nom d^ altitude la hauteur absolue d'un point; parce que cette troisième coordonnée réunie à la latitude et à la longitude de ce point a même désinence, et qu'elle achève d'en assigner la véritable position sur la Terre*
Divers calculs de différences de niueau.
224. Toutes choses étant égales, comme dans l'art. 216 où les distances zénithales sont réciproques et supposées avoir été observées simultanément , on demande la différence de niveau des sommets des I . deux signaux A et B (Jig. ^S). Cette différence est donnée par la for- ^ ,
irj) mule exacteJ(4K ; V //' .••'■••'^•' '' "'';'""■; '^ "^
et Ton a *^ , '. - k ^'m'î ii''-*" )
& = 100 ,278767 logK= 4*45491 7» '
<^(J=^. 0,319143 l.smi(<^ -(>)=— 7,3990750
C = -f- o,a84io5 c.lcosi((?'— d'+C) = H- 0,00000/19
Donc... dE=— 7i"',449-
Cherchons oicore cette dififérence de niveau par la formule (4'), approchée ,
dE = ^^%-'\ (40
logK = 4,454917»
l.tangA((J'-<?) = 7,3990778 -
c. 1. cos -^C = 0,000000a
logrfE= 1,8539951 =- 71 «",448.
^^ L. T ^( -f ^ ^ uf y^■^x^»
^U te \\oui«'^ c U / c
46o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Ainsi, le point B est plus bas que le point A , de 71*^,45. Nous aurions pu borner tout ce calcul à 5 décimales.
Si Ton ne connaissait que la distance au zénith e^, prise du point A, il faudrait recourir à la formule (6), ou à celle (6'). Dans ce dernier cas y et en supposant le coefficient n de la réfraction = 0,08, on aurait
^E = K cot ((?+o,o8C — 0,5 G) = K cot (c^ — o,4a G).
9= ioo«, 278767 logK.= 4 > 4^49'
— o,4aC = — OyiigSa^ —l.tang 15^9226=— 7,89873
^ — o,4aC=-h 100,159445 dE = — 1.85365= — 71"*, 39.
En prenant le milieu entre ce second résultat et celui que donnerait l'autre distance zénithale, on retomberait sur le premier : ils seraient identiques , en employant la valeur de n déduite des deux distances zénithales ^, &' (art. 216). En général les observations réciproques annullent presque entièrement Terreur provenant de la supposition d'égalité entre les réfractions aux deux stations comparées , erreur évidemment représentée par le très-petit terme + aR tang \ G tang|(9' — 6), ou +|K(6' — ô) sin i", que l'on trouve en mettant dans (4') au lieu de ((f'-.e^) la quantité (c^' + Ô'—d'-ô), art. 214.
Au surplus, quand même les distances zénithales â^â' n'auraient pas été prises simultanément par deux observateurs , la différence de niveau des deux stations se déterminerait encore très-exactement, si des mesures barométriques et thermométriques avaient été recueillies en même temps que les distances zénithales ; parce qu'on pourrait évaluer les réfractions d, Q' co)Tespondantes (art. 217), et apprécier le terme précédent qui en dépend.
Parmi les observations réciproques et simultanées qui ont été faites sur le parallèle de Paris , pour trouver la différence de niveau entre le sommet du Panthéon et celui du clocher de Vélizy [Jig. i , PL IX) celles du 128 août 18 19 sont [Description géométrique de la France, tome I, page a36) :
Au Panthéon, distance zénithale apparente
réduite au sommet de la lanterne.. . . d^ = 99', 7886;
A Yélizy , distance zénithale apparente réduite au sommet du clocher (^'= 100 ,3!2!28.
L'arc de distance entre ces deux stations, ou K = i3 3^1 mètres; de Jà log K = 4. 1345368, et à la latitude de Paris, H= 48<>5o' = 54%27 ; ainsi , d'après la table IV, on a pour le logarithme de la normale ,
logN = 6.8o5435a. Calculant l'angleau centre, C = ^^t-t — s-, on trouve
log C = i3a7*,3. Évaluant ensuite la formule (4') ci-dessus, il vient, à cause de â' > âj
log rfE= 1.7473333, delà rfE=-55%89;
c'est-à-dire que le sommet du clocher de Vélizy est , par rapport au niveau de la mer, plus élevé que celui du Panthéon.
Le nivellement géodésique qui a été conduit de la sorte depuis Paris jusqu'à la mer à Cancale, a donné pour hauteur absolue du sommet de la lanterne du Panthéon i43°',849 et pour celle du pavé de ce monument 60^,54 ; d'où l'on conclut que l'altitude du sommet du clocher de Vélizy serait de 199"*, 7 3 si Ton s'en tenait à la seule observation précédente; mais trois observations pareilles, faites à i'^ d'intervalle et composées, chacune, d'une série de ao répétitions, ont donné, par un milieu, 199^,44* Ce beau nivellement, qui a été e:xécuté en partie de jour et de nuit, ainsi que l'avait prescrit la Commission royale de la nouvelle carte de France présidée par M. Laplace, aurait offert un double intérêt si , conformément au désir que cet illustre géomètre avait exprimé , on!y eût ajouté des observations météorologiques contemporaines; parce qu'elles se fussent trouvées dans des conditions très-favorables pour faire mieux apprécier les effets de réfraction sur les différences de niveau.
Dans le calcul d'un réseau trigonométrique , on a toujours soin de faire de fréquentes vérifications de tous les résultats qu'on obtient : par exemple, la différence de niveau des sommets des signaux érigés aux points A, B du triangle ABC {Jig. 34) , après avoir été déterminée directement par la distance AB, se vérifiera en passant par le point C, c'est-àdire au moyen des deux différences de niveau des points A , C et des points C,B.
Voici, pour exemple, des hauteurs absolues qui ont été obtenues de la sorte , et qui se rapportent au triangle résolu à l'art. iSO.
