RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES RECTANGLES
56. Lorsque l'angle A est droit , le côté opposé a se nomme Vhypo* ténusey et les relations (a) deviennent
cosa == cosé cosCy \
cosfr = cosa cosc H- sin a sine cosB, > (a') cosc = cosa cos6 + sina sin 6 cosC. /
Il suit de la première relation que dans tout triangle sphérique rec-^ tangle, le cosinus de Vhjrpoténuse est égal au produit des cosinus des côtés qui comprennent l'angle droit.
Éliminant cosa des deux dernières, on trouve
cosô = cosôcos^c + sinasin ccosB = cosi(î — sin^ c) + sinasin ccosB , cosc = cosccos*6 + sinasin6cosC = cosc(i — sin^6)+sinasinècosC;
réduisant et divisant tout par sine , on a ces deux relations entre les
trois côtés et un angle oblique :
sine cash = sina cosB, ^ , „.
sinb cosc = sina cosG; )
mais à cause de sin a = tang a cos a et de cos a = cos b cos c , ces nou* velles relations se changent en celles-ci :
sine cos 6 = tanga cosb cosc cosB, sinb cosc = tanga cos 6 cose cosC;
d'où l'on tire •
tangc r= tang a cosB, tang 6 =1= tang a cosC;
c'est-à-dire, i° que dans un triangle sphérique rectangle ^ la tangente de Vun des côtés de V angle droit ^ divisée par la tangente de Vhjrpo^ ténuse^ est égale au cosinus de V angle oblique adjacent à ce côté; 2°. que les tangentes des deux côtés de V angle droit sont réciproquement proportionnelles aux cosinus des angles qui leur sont opposés.
57. Nous remarquerons en passant, que si, dans la pratique, il s'agissait de trouver l'angle B au moyen de l'hypoténuse a et du côté c adjacent, on aurait à résoudre l'équation
cos B = cot a tang e ;
mais dans le cas où l'angle B serait très-petit , les tables ne pourraient le donner exactement par son cosinus. En le déterminant au contraire par la tangente de sa moitié, on aura toute l'exactitude requise. Or, à
cause de tang^^B = \—^^^^ on a, en substituant pour cos B sa valeur,
tangc
tanff*^ B = ""^g^ — toPgg — tangc sin(fl — r) ^ ^ tang c tang a -f- tong c sin (a + c) '
tanga
LIYRE DEUXIÈME. 69
et
""«i" = v/Sî
Un angle d'un triangle sphérique étant toujours moindre que deux droits 9 -|B sera nécessairement aigu; ainsi l'on devra rejetter la racine négative, puisqu'elle donnerait -^B obtus.
58. Si l'on combine les deux équations (a''] par voie d'addition et de soustractTon , on aura
sin(6-|-c) = sinfl(cosC + cosB) = ^sina cos ( jcosf j,
sîn {b — c) = sina(cosC — cosB) = 12 sin a sin ( J sin ( j ;
et si l'on divise maintenant ces deux résultats l'un par l'autre, il viendra cette autre relation remarquable
laquelle nous apprend que quand la somme des deux côtés de l'angle droit est plus grande qu'une demi-drconférence, la demi-somme des deux angles opposés est nécessairement plus grande qu'un quadrant; car tang (-— — ) ©t sin (b — c) ayant toujours le même signe,
tang est positive ou négative selon que sin {b + c) est positif ou
négatif.
59. Pour trouver d'autres propriétés , élevons au carré les premières relations (a') , (a"); il viendra
cos* b cos* c = cos* a ,
sin* c- cos* b = sin* a cos* B ;
celles-ci étant ajoutées entre elles, on aura, en simplifiant,
cos* 6 = cos* a -h sin* a cos*B = i — sin* a sin*B,
par conséquent
sin^b = sin^a sin'B ou sinb = sina sinB;
c'est aussi ce qui résulte de la proportion des quatre sinus , démontrée à l'art. 55; ainsi dans un triangle sphérique rectangle j le sinus d'un côté de l'angle droit est égal au sinus de l'angle opposé multiplié par le sinus de l'hjrpoténnse,
60. En Trigonométrie l'on entend par cas douteux celui où l'inconnue est donnée par son sinus ; parce qu'alors le problème est en général susceptible de deux solutions. Si, par exemple , dans le triangle sphérique rectangle on connaissait b et B, qui sont toujours de même espèce, et qu'on voulût déterminer l'hypoténuse^, on l'obtiendrait
par la formule sin a = -^g; or, le sinus d'un arc moindre qu'un qua-
drant étant le même que celui d'un arc qui en est le supplément , on ne saurait pas si a est aigu ou obtus. Il existe donc deux triangles rec* tangles qui satisfont aux données du problème.
