RESOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES OBLIQUANGLES
64. La recherche des formules pour la résolution des triangles sphériques en général, ne donne lieu à aucune difficulté d'analyse. D'abord, des équations fondamentales (a) l'on tire
cos A cosB cosC
cos a — cos b COSC sin^ sine
COS 6 — COSiZ COSC
sinasmc
COSC — cosacos6
sin a sin ^
Chacune de ces équations fait connaître un angle d'un triangle sphérique, lorsque les .trois côtés sont .connus; mais comme elles ne se présentent pas sous une forme commode pour les logarithmes, il est nécessaire de leur faire subir les transformations suivantes.
D'abord remarquons qu'à cause de i — cos A = a sin ^ | A et de I -^ cos A = 2 cos^^A, les relations (jS) fournissent ces six autres:
I — cos A —
C05(^ — c) — COSfl
tisin^^A,
sin b sin c
I — cos B —
cos{a — c) — cos^ sin a sine
asin^jB,
I — cos C =
cos(a — b) — COSC
asin^C,
sin ^ sin ^
cosa — cos(b'j-c) sin ^ sine
1 •!- cos B =
cos^ — cos(û + c) sin a sine
acos*|B,
I + cos c =
COSC — cos(flr+ô) sin a sin b
îiCos^^C;
puis décomposons en facteurs les numérateurs des seconds membres
en vertu de la formule rappelée précédemment ^ il viendra
sin^-^A
sin^B
sml -
sin^C
sin I -
:)sin(^
sin aw.b
. /a-i-b -hc sm
cos^ ^A =
^sin^
)sin(^
sin
cos^B
sioasinc
sin b sin c
sina sine + c — ^\ . (b^c — a
b-hc^
sin& sine . /fl -f- ^ -I- c\ . /a-hc — h
. /a-hb-i-c\ . (a-\-b — c
cos'^C
sinl -
)sin(^
sin a sin b
Ces six valeurs peuvent se combiner de plusieurs manières différentes. En divisant l'une par l'autre celles qui se correspondent, on trouve
tang*|A =
tangHB = tang* |C =
sin sin
sm •5-(g -4- b —c) sin^(fl + c — ^)
[a -h^ — g) sin-j(6 -hc — a) (â~+T+c) sin^(« -\-c — by
[a -hc— ^)sin|(^-h c — a) sin4-(û -h A -he) sin4-(a -h * — c) ■
sin sin
Ainsi l'on pourra obtenir un angle d'un triangle sphérique en fonction des trois côtés , en calculant le sinus ou la tangente de la moitié
de cet angle.
Maintenant, en multipliant deux à deux les relations (7), on trouve
aisément y après avoir extrait la racine carrée,
sin|Asin^B=sin^C— î-W-^- \ cos^Acos:^B=sin^C — '^ . \
^ ^ sine '22 2 5IJJC '
8iniA8iniC=siniB'M^:¥=^^ cosi AcosiC=sin4 ^^^H^+^+c)
sina -* ^ * sina
siniAcKB=cosiC'^^^±^=:^^ cosiAsin iB=cosiC?^±^=^\
sinc * " '^ sine
siniAcosiC= cosi B"°^^^+/~'^\ cosi A sin iC=cosiB?^^i(t^ , siniBco4C=cosiA'i^t^?±±=î\ cosiBsiniC=cosiA'^^-^"-*^
smar ' ^ " " sin/i
Remarquez que quand on a obtenu la première relation de chaque système, il suffit d'une simple permutation de lettres pour avoir les deux autres relations.
Afin de parvenir aux conséquences les plus utiles, nous tirerons d'abord de ces dernières relations les valeurs suivantes :
sin|(A + B) = sin^ A cos^B-t- cos| A sin|B = cos-|G ^^^j^, ^ ,
COS-jC
sin |(A — B ) = sin I A cos |B — cos^ A sin ^B = cos^ C"° \|^, ^ ^ ,
SUljC
«in 1 A «ir. IR = «în LC. ?2!i(i±*)^
cosfc
cos^(A+B)=cos|Acos^B — sin^Asin|B = sin|C
cos^(A — B) = cos|Acos^B-t- sin-| Asin-|^B= sin^C — V^ — \
sinfc
lesquelles s'obtiennent facilement, en ayant égard aux formules de l'art. 45. Ces valeurs remarquables sont dues à Delambre , qui les a démontrées d'une autre manière. On en tire sur-le-champ, en divisant la première par la troisième , et la deuxième par la quatrième ,
tangX(A+B) = cotiC^^ji|^j, tangi(A-B) = coHC:^i^}.
Puis divisant la quatrième par la troisième , et la deuxième par la première , on a '
tangi(a-H*) = u^ngic^^^^^^y tangi(a-ô) = tangic-J^ij^.
Telles sont les quatre analogies de Néper. Les deux premières servent à trouver deux angles d'un triangle sphérique dans lequel on connaît les deux côtés opposés et l'angle compris; en effet, l'on a
le plus grand angle A= 1-
et
A-hB A — B
le plus petit angle B =
Les deux autres analogies s'emploient pour trouver deux côtés lorsqu'on a deux angles et le côté adjacent.
On arrive à ces formules , aux deux premières par exemple ^ par une méthode plus simple , ainsi qu'il suit.
Il est d'abord à remarquer que, d'après l'art 45 ,
1 A . Ti\ sinA + sinB
tangi,A + B) = ^^^-p^g,
< /A T^\ *i»A. — sinB
et tangi(A-B)=^^^^^^3;
ainsi il ne s'agit que de rendre les seconds membres de ces égalités fonctions de a, b etc. Or*, si entre les première et troisième équations (a) l'on élimine cosc, il viendra cette relation entre cinq parties d'un triangle ,
cosAsinc+ cosCsinacosè = cosasinô j
par conséquent , changeant A en B et a en & , on aura
cosA sine = cosa sin& — cosC sina cos&, cos B sine = cosb sina — cosC s\nb cosa^
LIVRE DEUXIEME, et ajoutant ces deux équations , il en résultera, réduction faite,
sine (eos A + cosB) = (i — cosG) sin (a^b). [m)
D'un autre côté, par la règle des quatre sinus (art. S5) , on a
sine sin A = sin^zsinC, sine sinB = siub sinC;
ajoutant et soustrayant ces deux équations, il vient
sine (sin A + sinB) = sinC [sina + sin6], sine (siïiA — sinB) = sinC (sina — sin6);
divisant successivement celles-ci par la précédente {m) , on a
sin A + sinB cosA + cosB
sin A — sinB cosA+cosB
sinC /sina-f-sinA
I — cosC \ sin(fl H- ^)/ '
sinC /sina — sin6\
I — cosC \ 8in(<ï — ^) / '
enfin transformant ces valeurs à l'aide des relations de l'art. 45 , on trouve comme ci-dessus ,
tangi(A-B) = coticg^;, •
et de là cette propriété remarquable ,
tangl (A -+■ B) __ tang| {a 4- b}^ tangl (A — B) ~ tang| (a — b]
65. Lorsqu'on n'a pour but que de déterminer un des angles inconnus, l'angle A par exemple, on l'obtient directement de la manière suivante :
Mettant dans la relation
cosAsinc = cosa sin6 — cosC sina cos&,
trouvée précédemment^ pour sine sa valeur — :— — , on a de
suite
cotA sinC = cota sine -— cosG cosé,
et par conséquent
cotA = — T-z^ cotCcos6.
smC
Cette formule donne donc immédiatement l'angle A, au moyen de deux côtés connus et de l'angle qu'ils comprennent. Changeant A en B, aenbj et réciproquement , on a de même
.^ cotb sina ^^
cotB = — 7—p; cote DOS a.
66. Les relations (7) nous ont procuré, par leurs combinaisons , plusieurs formules remarquables; on en déduit aisément encore d'autres : par exemple , en multipliant entre elles celles qui se trouvent sur la première ligne, puis prenant la racine carrée et doublant le produit, on a , en faisant d'ailleurs a + 2» •+- c = a j,
a siniA cosi A = sinA = ^J^fâ^irz^^^LllÈï^tzîlt
2 2 sm^smc '
or, en rapprochant cette valeur de sinA de celle de l'art. 55, on voit évidemment que
4sîn [s] sin(,y — a) sin {s — b) sin (J— -c) =1 I — cos^a — cos^b — cos^c -h acosacosè cosc.
Il n'est pas plus difficile de reconnaître que les relations (7) et (7') donnent
. . . . .^ . .^ siu(s — a) sin (5 — b)sin(s — c)
sml A smlB sm-^C = — ^ -, — \ . . — ^^ ^,
-* 2 2 smasin^sinc '
