LIVRE DEUXIEME

et

tangiA tangiBtangiC = ^ME^M3^S3.

Si on les divisait deux à deux on aurait encore des relations trèsremarquables.

Afin de varier les combinaisons , cherchons les expressions de

sin^(A + B — C), de cos^(A + B — G), et de tang|(A + B — C).

D'abord

sin^(A + B-C) = sin|(A + B)cos|C- cos|(A + B) sin|C;

et à cause des équations (c^) ^ il vient

sin^(A + B — G) — cQs'îrCcosK^ — ^)-«P'7Ccos|(flH-^)

cos|(a — ^)— sin*|C[cos j(a — b)-hcosr(a-+- b}]

COSjC

smjaûn^b-hcosYacosjbcosC

COSjC

D'un autre côté

cosi(A+B-C) = cos|(A + B)cosiC + sin^(A + B)sin^C se change par le même procédé , en

*^ ^ cos-J-c cos|c » '

partant,

. ^A . p pv sin|flsin|^-hcosygcos7^cosC taDg|ataDg|6 H-cosC

^**' ^ cosjacosl^sinC sinC

Pour exprimer tang^ (A + B — C) en fonction des trois côtés seulement, multiplions et divisons à la fois sa valeur précédente par

8o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

4sin I a sin 1 6 *, il viendra y en faisant attention que usin^a cos |a=8in a ,

tang

1 / A i Ti n\ 4si''ï*7^ sin*!^ -h sina sin6 cosC

sinasin^ sinC

puis éliminons cos G au moyen de sa valeur (]3), et remplaçons 4sin^^a sin^^A par le produit (i— cosa) (i— cos6); alors nous aurons

1 / . ^ pv (i — cosfl)(i — cosft)-hcosc — cosacos6

^^^ ^ sin/Jsin^sinC

i H- cos c — cosfl — cos b sinasin^sinC '

expression dans laquelle il ne s'agit plus que de substituer à la place