LIVRE DEUXIÈME

ensuite on prendra les logarithmes des deux membres de chacune des deux premières, et l'on aura, après les réductions,

log . sin a: = log ^ - f^- ^ ^ <- ^33 - etc. , log.cosx= -f?fl-efl-!^ -etc..

Faisant la même opération sur la troisième formule , ou , ce qui est plus simple , soustrayant log cos x de log sin x , il vient

log tang j: = log jr + 1^ + le! + ^^ + etc. ,

séries dans lesquelles le module fx = o,434^9 448i9o3252. . . a pour logarithme vulgaire

logfjL == 9,63778 43i i3 00537,

On abrégera beaucoup les calculs en évaluant chaque terme séparément à l'aide des logarithmes; mais il £siut£sdre attention de réduirez en parties du rayon , si cet arc est donné en degrés , ou en minutes , ou en secondes , afin de le ramener à l'hypothèse de la formule ; c'està-dire qu'il faut le diviser par R**, ou R', ouR". G^mme l'opération est beaucoup plus commpde et plus prompte par les logarithmes , on fera , dans ce cas , usage des valeurs suivantes :

logR® = 1,75812263^409172,^ logR' = 3,53627 38827 92816, logR" = 5,3i44a 5i33t 76459.

Les séries ci-dessus sont tellement convergentes , que si l'on se borne à dix décimales, et que x soit plus petit que 6^7% on pourra s'arrêter aux lermes en x^.

Des formules connues

(. . sin'o: . 1 .3 sin^* , . \

x=tanga:(i — itang'a:-+-itang*j:— etc.),

i4o TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

on déduit par le même procédé ,

logo: = log sin ^ -^ z sin* jr -+- -~^ sin* x + etc., logo* = logtango: — ^ tangua: -+- — - tang^ x — etc.; •

ce qui donne le moyen ^e trouver l'arc dont le logarithme sinus ou le logarithme tangente est donné.

Legendre substitue aux formules précédentes d'autres formules plus avantageuses , lorsque l'arc passe une certaine limite. On arrive à cellesci en développant en série l'expression générale log sin [a -H x.) Or si, pour abréger, l'on fait logsina = z, le théorème de Taylor donnera

log8m(fl + :r)=z + ^a: + ^.- + ;^3^ + etc.;

mais les coefficients différentiels devant se rapporter aux logarithmes vulgaires ou de Briggs , on a

— = a cota , J-. = r^ , 7-T = -v-r — , etc. ;

da ^ do} sin* a' da^ sin^a '

partant ,

log sin (a-h x) = log sina + /j,r cota (\ — -.^~ + t7^\ — etc. Il sera tout aussi facile de trouver que

log cos(a+a:)=log cosa— ax tanga ( i + . •^- — ^- ^--^ J — etc. , logtang(a4-j:)=logtanga+ -?^ (i --a:cot2aH-|x^+|jtr*cot*2a)H-etc.

sm2a

On emploiera ces formules quand les logarithmes du sinus, du cosinus et de la tangente tomberont dans les tables entre deux arcs consécutifs a, a + A.