Proposons-nous maintenant de déduire x de l'équation

log tahg [a-^- x) — log tang a=i r =: ^ixp. (i)

On regardera ûo comme une fonction dep;et puisque ces deux quantités deviennent nulles en même temps , on aura , en recourant au théorème de Maclaurin ,

série dans laquelle les coefficients différentiels doivent correspondre à a:=o. Mais en général j par les différenciations successives, l'équation (i) donne

^= 8in(aa-4-aJc), -jl = acos (aa -J- ^■x)'-r- = sin (4« -+■ (\x) , -^ = 4cos (4a +4«^)- 3- = 4sin (^ta + ^x) cos (4^ -H 4^) > etc. ;

par conséquent , en faisant a* = o dans ces coefficients , il vient définitivement

X =: psinaa + — sin 4^ + -y" ^^^ ^^ ^^* 4^ + etc. (a)

Si Ton avait à résoudre l'équation

log sin (a -H Jc) — log sin a = r, (3)

on ferait r = [ip cot a , et en passant aux différentielles successives , on aurait

— = tang [a + x) cot a f p

d^x dx cota

dp"^ dp cos*(a-f-4:)'

d^x d^p cot a 2cot£i sin (a -h x)

û^3 ^» oos*(a-+-j:) co8^(a-{-x) '

i4a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

mais comme il faut ensuite faire a: = o , dans ces coefficients différentiels, on a plus simplement

dp) ' \4p*/ 8in2fl* \^P^ ) sin^.aa siQ*2ii '

delà

en se bornant aux termes en p'.

105. Les deux questions que Ton vient de traiter sont relatives aux tables trigonométriques. Il en existe d'analogues pour les tables des nombres ; les voici :

Soit log A un logarithme donné , dont il faut trouver le nombre A correspondant, au moyen de grandes tables de logarithmes. On choisira , parmi les logarithmes de «es tables , celui dont les quatre ou cinq chiffres décimaux soient communs avec log A , et l'on aura

log A = log a H- r.

Passant de là aux nombres , il viendra

A = ae^,

e désignant le nombre dont le logarithme hyperbolique ou népérien = I , et A: étant le module qui sert pour passer des logarithmes ordinaires aux logarithmes hyperboliques, c'est-à-dire que

Xr = - = — 7o-r- = 2,3o258 . . ; ainsi,

fx 0,43429 ' ' '

mais en

général

etc..

e-" = 1 — M -4. 5 -4. -—7 — etc. :