II. — LE PROBLÈME DES PROJECTIONS

Nature du problème. — Sachant déterminer la position d'un point quelconque à la surface de la terre, il semble relativement facile de représenter la terre et les figures qu'on y observe. Il suffit en effet de construire une petite sphère, sur laquelle on tracera le réseau des méridiens et des parallèles et d'y porter chaque point suivant sa longitude et sa latitude. Ce procédé donne une représentation absolument exacte ; il paraît avoir été pendant longtemps le seul ou du moins le plus usité. Actuellement encore, il est à juste titre en honneur et la sphère terrestre figure dans tout matériel se ol aire. Mais si l'on peut construire une sphère qui donne une idée de l'ensemble des traits géographiques de notre globe, il serait très difficile ou impossible d'en construire d'assez grosses pour représenter chaque pays avec tous les détails que comporte notre connaissance d'une grande partie de la terre. On a proposé d'imprimer les cartes sur des calottes sphériques qui pourraient s'assembler en atlas aussi bien que des feuilles plates [Elisée Reclus, 10]. Mais ce procédé n'est pas encore devenu et ne sera probablement jamais d'un usage général. Même pour représenter l'ensemble du globe, on est réduit à désirer autre chose que la sphère, véritablement trop encombrante et trop coûteuse. Cette nécessité, comprise depuis longtemps, a conduit à la construction des cartes géographiques, c'est-à-dire à la représentation des figures de la surface sphérique sur des surfaces planes.

Il suffit de réfléchir un instant à cette définition pour comprendre en quoi consiste le problème des cartes géographiques et quelle en est la gravité. Parmi les surfaces courbes, certaines peuvent être développées, c'est-à-dire étalées sur un plan sans difficulté ; telles sont les surfaces coniques et cylindriques. La surface d'une sphère ne peutêtre étalée sur un plan sans être déchirée. La chose ne serait possible

que si cette surface était élastique. Mais alors il est évident que les figures qui y étaient tracées seraient déformées. Toute carte géographique est donc une déformation de la surface terrestre, et des figures quon y observe. Parmi ces figures, la plus importante est celle des coordonnées sphériques : méridiens et parallèles. On appelle 'projection un système de lignes tracé sur un plan qui représente le réseau des coordonnées sphériques et qui sert pour établir la carte, comme les méridiens et les parallèles servaient à repérer chaque point de la surface sphérique. Le problème des projections consiste à trouver un principe pour le tracé des coordonnées tel que la déformation soit le plus faible possible.

Propriétés des projections. — Il est évident d'après ce que nous .venons de voir qu'une solution parfaite de ce problème est impossible à trouver. Tout ce qu'on peut obtenir, c'est que certaines propriétés des figures de la surface sphérique, et en particulier du réseau des coordonnées, soient conservées à l'exclusion des autres. Ainsi par exemple il est possible de trouver un système de projection tel que les méridiens et les parallèles soient perpendiculaires comme sur la sphère et qu'en général les angles soient égaux à ceux des figures de la sphère, auquel cas on reconnaîtra aussitôt sur la carte la forme des continents, des îles; les figures seront semblables à celles de la sphère : c'est ce que l'on appelle une projection équiangle.

On peut encore trouver un système dans lequel les surfaces limitées entre deux parallèles et deux méridiens consécutifs soient partout dans le même rapport que sur la surface de la sphère. Ce sera là un grand avantage, si l'on veut évaluer d'après la carte la surface de diverses régions. Mais on ne pourra dans ce cas avoir des figures semblables à celles de la sphère ; les angles ne seront pas conservés : la projection sera seulement équivalente.

On pourrait encore désirer que les distances de la carte soient proportionnelles à celles comptées sur la sphère. On aurait alors une projection équidistante. En réalité, on ne peut construire de projection où les distances soient respectées dans tous les sens; le plus qu'on puisse obtenir est que les distances comptées à partir du centre de la carte soient équivalentes à celles comptées sur la sphère à partir du point correspondant. Et dans ce cas, on devra renoncer aux avantages précédents.

Chacune des trois propriétés que nous venons d'indiquer exclut les deux autres. Une projection équiangle ne peut être ni équiva-

lente, ni équidistante. Une projection équivalente ne peut être ni équiangle ni équidistante.

Toute projection présente des déformations qui augmentent d'une manière générale vers la périphérie de la carte en partant du centre ou d'une ligne centrale. Il résulte de là deux principes importants : 1° le problème est d'autant plus difficile que la surface à représenter est plus grande (une solution même approximative pour toute la terre est impossible); — 2° la projection qui convient le mieux à la représentation d'une portion de la surface terrestre dépend de son étendue et de sa position en longitude et latitude.

Le problème des projections ne devrait pas être passé sous silence, même dans l'enseignement secondaire. Les déformations que présentent les différents pays soit au point de vue de la forme, soit au point de vue de l'étendue, suivant le système de projection adopté et suivant qu'ils se trouvent vers le centre ou au bord de la carte, sont trop grandes pour ne pas piquer la curiosité d'un élève intelligent (fig. 18).

Un devrait exiger dans tout atlas, même scolaire, l'indication au bas de chaque carte du système de projection employé. Il serait aussi utile d'inscrire dans le cadre de la carte :

1° La longueur vraie d'un degré de parallèle pour chaque latitude;

2° La surface vraie de chaque trapèze compris entre deux parallèles et deux méridiens tracés sur la carte. (La chose a été réalisée par H. Wagner dans son excellent Methodischer Schulatlas.)

Classification des projections. — Le problème des projections avait déjà été étudié avec beaucoup de méthode et de succès par les anciens, qui s'en préoccupaient surtout au point de vue de la représentation de la sphère céleste. La découverte de l'imprimerie, en amenant la diffusion des cartes et l'extension des connaissances géographiques au globe presque entier, a fait que la Renaissance a vu ces recherches appliquées au globe terrestre. En dehors des cartographes professionnels, les mathématiciens ont été attirés par le problème irritant des projections. Aussi n'est-il pas rare que la même projection ait été, à différentes époques, présentée comme une découverte par des auteurs ignorant les recherches faites antérieurement sur le même sujet [d'Avezac, 10]. Comme on a l'habitude de désigner les projections par le nom de leur inventeur, il en résulte une certaine confusion, augmentée encore par le fait qu'on employé souvent des termes mathématiques dans deux sens diiférents. Une classification rationnelle des projections est nécessaire pour comprendre le principe et la construction des plus importantes. *

Il faut d'abord distinguer les projections vraies et les canevas conventionnels. Les projections vraies sont celles où le tracé des méri-

4tf° 50

Fig. 18. — Comparaison de la représentation d'un quart d'hémisphère dans différents systèmes de projection (A, proj. de Mercator; — B, proj. de Mollweide; — G, proj. stéréographique; — D, proj. conique vraie).

Remarquer l'extraordinaire exagération des dimensions des régions de haute latitude dans la projections de Mercator (Norvège plus grande que le .Soudan, Nouvelle Zemble plus grande que les trois péninsules méditerranéennes réunies, alors qu'elle vaut à peine l'Italie, comme le montre la projection de Mollweide, qui respecte les rapports des surfaces). Les contrées polaires sont au contraire rapetissées dans la projection stéréographique, ainsi que les parties centrales

• (Arabie, Caspienne).

Les formes sont altérées dans la projection de Mollweide, qui, étant équivalente, ne peut être équiangle : remarquer la déformation croissante à partir du méridien central vers les bords (étirement de la Norvège, de l'Espagne).

L'aspect de la projection conique suffit pour monter l'impossibilité de son emploi pour la représentation de grandes surfaces. Les déformations croissent avec une rapidité étonnante en s'éloignant du méridien central.

diens et des parallèles est obtenu par le développement d'une surface auxiliaire, sur laquelle les coordonnées sphériques ont été transportées suivant un principe géométrique bien défini. Les canevas sont des réseaux de méridiens et de parallèles construits suivant un principe arbitrairement posé pour obtenir certaines propriétés.

Les projections vraies se divisent suivant la nature de la surface auxiliaire employée, en projections cylindriques, coniques et horizontales (ou azimutales).

Les projections cylindriques sont obtenues pur le développement

Fig. 19.— Principe des projections cylindriques [19a], coniques [19b] et horizontales [19c].

Dans les doux premiers cas, le parallèle AB conservera sur la surface développée sa grandeur réelle.

de la surface d'un cylindre enveloppant la sphère, sur lequel sont transportées les coordonnées sphériques (fig. 19 a).

Les projections coniques sont obtenues par le développement de la surface d'un cône enveloppant la sphère (fig. 19 b); les projections horizontales par le transfert des coordonnées sur un horizon, c'est-àdire sur un plan placé dans une position déterminée par rapport à la sphère (tangent dans la fig. 19 c). On appelle aussi ces dernières projections azimutales.

Dans toutes les projections cylindriques les méridiens et les parallèles sont des droites perpendiculaires comme sur la sphère. La plus connue est la Projection de Mercator.

Dans toutes les projections coniques, les méridiens sont des droites convergeant vers un point qui représente le sommet du cône, et tous les parallèles sont des circonférences concentriques. La plus employée est la conique sécante équivalente.

Dans toutes les projections horizontales, il y a seulement deux

droites perpendiculaires, qui sont le méridien et le parallèle central. Les projections stéréo graphique et orthographique sont parmi les plus connues des projections horizontales.

Nous avons supposé dans la figure 19 les surfaces auxiliaires (cylindre, cône, plan) tangentes à la sphère. C'est le cas des projections dites tangentes. On appelle projections sécantes celles qui sont obtenues par le développement de cylindres sécants (fig. 19 bis a), de cônes sécants (fig. 19 bis b), ou au moyen de transfert des coordonnées sur un plan coupant la sphère (fîg. 19 bis c).

On voit aisément que dans les projections coniques ou cylindriques

[19 bis a]

[19 bis b]

[19 bis c]

Fig. 19 bis. — Principe des projections sécantes (cylindriques [19 bis a], [19 bis b] ou horizontales [19 bis c]).

Dans les cylindriques et les coniques, les parallèles AB et A'B', AB et CD, tangents à conserveront leurs dimensions sur la surface développée.

coniques

la sniiere,

sécantes, il doit y avoir deux parallèles développés en grandeur réelle, tandis que dans les projections tangentes il n'y en a qu'un.

Un troisième principe de division des projections est tiré de l'orientation du cylindre, du cône ou du plan par rapport à la sphère. L'axe du cône ou du cylindre peut être perpendiculaire au plan de l'équateur terrestre et coïncider par suite avec la ligne des pôles, la projection est dite dans ce cas normale, ou polaire. — Il peut au contraire être dans le plan de l'équateur, et perpendiculaire à la ligne des pôles, la projection est dite transversale ou méridienne. — Il peut enfin être oblique au plan équatorial et à la ligne des pôles, la projection est dite oblique.

Par analogie, on distingue aussi parmi les projections horizontales des projections normales, transversales ou obliques, suivant la position d'un axe perpendiculaire au centre du plan de projection par rapport à l'équateur.

La figure 19 c montre le principe d'une projection horizontale tangente transversale, la figure 19 bis c celui d'une projection horizontale sécante normale.

On peut encore faire des distinctions dans les projections horizontales selon le principe adopté pour transférer les coordonnées terrestres sur le plan de projection. Ou bien ce principe est tiré plus ou moins

Fig. 20. — Principe des projections perspectives vraies (stéréographiques).

directement des lois de la perspective ou bien il n'a aucun rapport avec elles. Dans le premier cas, on dit que la projection est perspective, c'est-à-dire que chaque point de la sphère M est représenté sur le plan de projection par un point m déterminé par un rayon visuel supposé mené d'un certain point x, dit point de vue, au point M (fig. 20).

Fig. 21. — Principe des projections perspectives à l'infini ou orthographiques.

Les projections perspectives peuvent présenter des variétés suivant la position du point de vue. Celui-ci peut être situé à une distance finie du plan de projection, auquel cas on a des projections perspectives vraies (fig. 20); ou bien on suppose le point de vue reculé à l'infini, auquel cas tous les rayons visuels deviennent parai-

loles (fig. 21), et la projection d'une série de points tels que P, M, N, R, est donnée tout simplement par des perpendiculaires Pp, Mwi, Nw, Rr, abaissées sur le plan de projection.

Parmi les perspectives vraies, les plus connues sont les projections stéréographiques, dans lesquelles le point de vue est pris à la surface de la sphère. Elles peuvent être sécantes (fig. 20) ou tangentes

Fig. 22. — Principe des projections perspectives vraies et tangentes. x. point de vue; PMNRP', un demi-méridien ; pmnr, sa représentation sur le plan do projection QQ'.

(stéréographique externe, fig. 22), et dans les deux cas normales, transversales ou obliques.

Les projections perspectives à l'infini sont connues sous le nom de projections orthographiques. Elles sont toujours sécantes mais peuvent être normales, transversales ou obliques.

On voit qu'en combinant toutes les distinctions établies, on peut obtenir une variété presque infinie de systèmes de projections. Nous avons essayé dans le tableau ci-joint de résumer la classification des plus usitées. Nous avons rattaché les canevas dérivés les plus importants aux systèmes généraux avec lesquels ils offrent le plus d'analogie.

ai

O Ph

ce H P

m < Eh

Les principales projections. — Nous allons maintenant passer en revue les projections les plus usitées en indiquant rapidement leur principe, leurs propriétés et leur mode de construction.

Projection horizontale équivalente de Lambert (fig. 23). — C'est la plus importante des projections non perspectives.

Principe : le plan de projection est tangent au centre de la calotte sphérique à représenter. Si la projection est polaire, ce point est le pôle luimême. Les parallèles sont représentés par des cercles concentriques de rayons (Pm' P/i') égaux à la corde sous-tendant l'arc complémentaire de la latitude (PM, PN). La valeur de ces cordes est donnée par la colonne 1 du tableau I (Appendice). Les méridiens sont des droites convergeant vers le centre P et formant des angles égaux à ceux des méridiens sphériques.

On le voit, la construction n'offre aucune difficulté dans le cas d'une projection normale. Dans le cas d'une projection transversale ou d'une projection oblique, il n'en est pas de même. La sphère doit être couverte d'un réseau auxiliaire disposé comme l'étaient méridiens et parallèles par rapport au plan de projection dans le cas de la projection normale. Ce sont les points d'intersection de ce réseau avec le réseau des méridiens et des parallèles vrais qui sont reportés sur le plan de projection. Les parallèles sont en définitive toujours représentés par des cercles, mais les méridiens deviennent des courbes de mathématiques supérieures. La construction graphique très délicate de la projection transversale est facilitée par l'emploi de tables dressées par Lambert, et donnant les coordonnées rectangulaires de chaque intersection de méridien et parallèle, par rapport à deux axes x et y perpendiculaires, suivant un artifice très usité pour les coniques et les canevas conventionnels (v. plus loin). On a même construit des tables analogues pour les projections obliques.

La propriété essentielle de cette projection est une équivalence rigoureuse.

Par suite les angles et les distances ne sont pas conservés. La déformation angulaire croît régulièrement du centre vers la périphérie. Dans la projection normale, les régions de basse latitude sont étirées dans le sens

Fig. 23. — Projection horizontale équivalente de Lambert; construction du canevas polaire.

P, pôle; MRTM' et NN\ parallèles; mrtm' et nn', leur représentation ; MP, NP, arcs complémentaires des latitudes M et N; mP, rayon du cercle mm', et nP, rayon du cercle nn', sont égaux respectivement aux cordes de ces arcs, comme le montre le pointillé Mm et Nn.

de la longitude. — La projection transversale se prête à la représentation dn globe en deux hémisphères et mériterait d'être employée plus qu'elle ne l'est en France.

Projection orthographique. — Une des plus anciennement connues. Le principe en est très simple. La surface de projection est un cercle de la sphère, le point de vue est l'infini. Dans le cas d'une projection normale, le plan de projection est l'équateur, les parallèles sont représentés par des circonférences concentriques au pôle dont les rayons sont proportionnels à ceux des parallèles sphériques, c'est-à-dire aux cosinus des latitudes (Appendice, tableau I, colonne 2), les méridiens sont des rayons, d'écartement proportionnel à celui des méridiens sphériques. La construction est donc très simple (fig. 24).

Elle n'est guère plus compliquée pour une projection transversale. Dans ce cas, la surface de projection est un plan méridien. L'équateur et les

Fig. 24. — Canevas de projections orthographiques. A, normale; B, transversale.

parallèles sont représentés par des parallèles dont les distances sont directement, proportionnelles au sinus de la latitude. Le méridien central est une droite perpendiculaire à l'équateur, les autres sont représentés par des ellipses, dont le méridien central est le grand axe. La construction de ces ellipses se déduit de la projection normale par un procédé analogue à celui employé pour la projection horizontale de Lambert.

Les projections orthographiques ne sont ni équivalentes ni équiangles, et le maximum de déformation angulaire y est bien plus grand que dans la projection de Lambert. C'est donc à tort qu'on les emploie pour les régions circumpolaires au détriment de celle-ci.

Projection stéréographique. — Le principe en est très simple, mais les variétés sont nombreuses. Non seulement la projection peut être normale, transversale ou oblique, mais encore le plan de projection peut être un plan méridien ou un plan tangent à la sphère (stéréographique externe).

Dans le cas de la projection transversale (ou méridienne), qui est la plus employée, l'équateur et le méridien central sont représentés par 2 droites perpendiculaires. Tous les méridiens et tous les parallèles sont des circonférences déterminées par 3 points (fig. 26).

On démontre que toute circonférence de la surface sphérique est représentée par une circonférence sur la projection. Tous les angles sont

rigoureusement conservés, les figures sont donc exactement semblables aux figures sphériques.

Ces avantages ont valu à la projection stéréographique méridienne d'être universellement employée pour les mappemondes. On oublie trop qu'elle ne respecte pas la proportion des surfaces. Elle exagère considérablement l'étendue des pays situés sur les bords de la carte. La projection de Lambert lui est préférable.

La construction de la stéréographique transversale est toutefois plus simple que celle de la projection équivalente de Lambert. Tous les méridiens devant passer par les 2 pôles, pour obtenir le centre du méridien de longitude X, comptée à partir du méridien central, il suffit de mener P L tel que l'angle 0 P L égale 90°-X. Le point L est le centre du cercle méridien

Fig. 25. — Canevas de projections stéréographiques.

Fi*

26. Construction de la projection stéréographique transversale.

cherché. De même que le centre de tous les méridiens est sur le prolongement de l'équateur, le centre de tous les parallèles est sur le prolongement de la ligne du méridien central, et peut être obtenu géométriquement en menant O M tel que l'angle E O M soit égal à la latitude, et M K perpendiculaire à O M. M K est le rayon et K le centre du cercle cherché (fig. 26).

Projection de Mercator. — C'est la plus connue des projections cylindriques. La surface de projection est celle d'un cylindre tangent à l'équateur sphérique. C'est donc une projection normale tangente. L'équateur, les méridiens et les parallèles sont des droites perpendiculaires. L'équateur est développé en grandeur vraie. Les méridiens sont équidistants. L'écartement des parallèles croît comme la sécante de la latitude (la valeur de cet écartement est donné de 5 en 5 degrés par la colonne 3 de notre tableau I).

Cette projection permet la représentation de la sphère entière d'un seul tenant. Sa construction est des plus simples. En outre elle conserve les angles et donne partout des figures semblables aux figures sphériques. Elle possède enfin une propriété qui la rend précieuse pour les cartes marines : la loxodromie, c'est-à-dire la marche suivie par un navire qui se dirige constam. ment dans le même sens et qui par suite coupe constamment les méridiens et les parallèles sous un même angle, y est représentée par une ligne droite-

Projections coniques vraies. — Il existe un certain nombre de variétés de projections coniques vraies, même en ne considérant que les projections normales, qui sont seules d'un usage courant. Dans toutes, la surface de projection est la surface latérale d'un cône tangent à la sphère, ou sécant. Les parallèles sont toujours représentés par des cercles concentriques à un point qui n'est autre que le sommet du cône; il y en a un seul développé en grandeur vraie, dans le cas d'une projection tangente, deux dans le cas d'une projection sécante. Les méridiens sont toujours des rayons séparés par un angle constant. Le pôle est toujours représenté par un arc de circonférence, ce qui montre dès maintenant que les coniques normales ne se prêtent pas à la représentation de toute la sphère.

Pour qu'une projection conique soit définie, il faut et il suffit de fixer : 4° la loi d'écartement des parallèles, c'est-à-dire la relation qui existe entre leur rayon x a, x 6, et celui du parallèle sphérique qu'ils représentent;

Fig. 27. — Principe de la construction des projections coniques vraies. EAC, FBD, fragments de parallèles sphériques; eac, fbd, leur représentation.

2° la loi d'écartement des méridiens, c'est-à-dire le rapport entre l'angle a et l'angle sphérique formé au pôle par deux méridiens consécutifs (fig. 27).

Ces lois peuvent être fixées de telle façon que la projection soit équidistante (Projection conique ordinaire et projection sécante de De l'Jsle), qu'elle soit équiangle, ou enfin qu'elle soit équivalente (conique équivalente de Lambert, et conique sécante d'Albers).

Les projections coniques vraies sont relativement peu employées à cause de la difficulté que présente leur construction. Dès qu'on veut établir des cartes à assez grande échelle, le centre x des parallèles se trouve reculé si loin qu'il tombe hors du papier, ou qu'il faudrait des compas de taille extraordinaire pour tracer les arcs. En fait, on construit généralement ces projections, comme les canevas dérivés, en déterminant l'intersection des méridiens et des parallèles par leur distance à deux droites perpendiculaires (fig. 30). Cet artifice revient à transformer les coordonnées sphériques de chaque intersection en coordonnées planes par rapport à deux axes x et y. Il suppose des calculs laborieux, qui. sont évités par des tables construites par les mathématiciens [Tissot, 7].

La projection d'Albers est sécante, deux parallèles y sont donc développés en grandeur réelle. Elle offre les conditions les plus favorables pour la représentation d'un pays de latitude moyenne, allongé dans le sens de la longitude comme l'Europe. Si les deux parallèles moyens sont ceux de 30 et 70°, voici quelle sera en Km. la valeur des rayons des différents parallèles :

L'angle au sommet des méridiens est fonction de la latitude des parallèles moyens. Dans le cas présent, il est égal à 0,75407. Pratiquement, on peut tracer les méridiens de la façon suivante (fîg. 28) : élever P S perpen-

Fig. 28.

P A fc B S

Construction de la projection conique cTAlbers.

diculaire sur le méridien initial x P, et mener les méridiens ocA, xB, etc. PA, PB, étant les tangentes des angles PxA, PxB, etc. Voici la valeur dt PA, PB, etc., de 5° en 5°, par rapport au rayon terrestre :

Canevas conventionnels. — Les canevas conventionnels peuvent être considérés comme dérivant plus ou moins directement des projections vraies. Aux projections cylindriques se rattacheraient les canevas connus sous le nom de projection de Sanson et projection de Mollweide.

La projection de Sanson, ainsi nommée du nom de son inventeur (1660), est plus connue sous le nom de Flamsteed, qui a contribué plus tard à la vulgariser (1646-1719). Elle se prête à la figuration de la sphère entière sans avoir les inconvénients de la projection de Mercator.

Le méridien central et Féquateur sont 2 droites perpendiculaires divisées en parties proportionnelles aux distances réelles. Les parallèles sont des droites parallèles à l'équateur menées par les points de division du méridien central. Les méridiens sont des courbes déterminées par la jonction des points de division des parallèles divisés en parties proportionnelles aux distances réelles.

On voit que la construction du canevas est des plus simples, elle n'exige qu'une règle, une équerre et des tables des dimensions de la sphère (v. Appendice, tabl. I, colonne 6). De là est venue sans doute en partie sa grande vogue. Mais si elle est rigoureusement équivalente, elle n'est point équiangle, et les déformations sont considérables vers la périphérie. Elle est utilisable surtout pour les contrées équatoriales peu étendues en Ion-

gitude, par exemple l'Afrique. Pour les planisphères, on doit préférer la projection de Mollweide, appelée aussi parfois projection de Babinet.

Le méridien central et l'équateur sont deux droites perpendiculaires. Le méridien sphérique dont le plan est perpendiculaire à celui du méridien central est représenté par une circonférence. Les parallèles sont figurés par

Fig. 29. — Projections de Sanson (droite) et de Mollweide (gauche); deux moitiés du canevas complet.

des droites parallèles à l'équateur et menées par les points de division du méridien central. Cette division est établie de façon que la projection soit équivalente. La valeur en est donnée en centièmes du rayon de 5° en 5° dans la colonne i de notre tableau I. Les méridiens sont des ellipses déterminées par la jonction des points de division des parallèles en parties égales.

La projection de Mollweide est, on le voit, de construction assez simple. Elle est équivalente, et les déformations angulaires y sont moins grandes vers la périphérie que dans la projection de Sanson (fig. 29). C'est elle qui a été uniformément employée pour toutes les cartes de cet ouvrage où l'on a représenté la répartition de phénomènes physiques sur toute l'étendue du globe.

Il est possible d'imaginer des systèmes plus avantageux, sil'on renonce à la figuration des régions voisines du pôle, ce qui peut être le cas pour des cartes de géographie humaine.

Eckert (12) a inventé une projection équivalente, dans laquelle le Groen-

Fig. 30. — Projection d'Eckert.

land est complètement méconnaissable, mais où l'image des régions tempérées est moins déformée, et notamment l'Amérique et l'Australie, moins tordues que dans la projection de Mollweide, le méridien central passant par l'Europe.

Cette projection, que son auteur appelle Onkoïde, peut être considérée comme dérivée d'une surface auxiliaire qui serait une demi-sphère de surface équivalente à la sphère entière. Le pôle y est représenté par une droite de longueur égale à la moitié de l'équateur. Celui-ci est une droite perpendiculaire au méridien central, de même que les parallèles. La division des parallèles en parties proportionnelles se fait comme pour la projection de Mollweide. Mais leur éloignement de l'équateur et leur longueur même

doivent être calculés de façon à obtenir l'équivalence, ce qui exige un rapprochement de plus en plus grand vers le pôle, et conséquemment un écrasement des formes dans les hautes latitudes (fîg. 30). Des tables publiées par Eckert (12) donnent les valeurs nécessaires à la construction.

Projection de Bonne. — On l'appelle encore projection de la carte de France, parce que c'est celle qui a été employée pour la carte de l'État-major au 1 : 80 000. En réalité, son inventeur est Mercator. C'est une fausse projection conique. Les parallèles sont toujours des circonférences concentriques à un

Fig. 31. — Projection de Bonne : sa construction par coordonnées planes.

point x, mais ils sont tous développés en grandeur réelle. 11 en résulte que les méridiens déterminés par la jonction des points de division des parallèles ne sont plus des droites convergeant vers x, mais des courbes de mathématiques supérieures, convergeant vers un point P.

La construction est théoriquement assez simple. Les parallèles sont tracés au compas, avec x comme centre, suivant des rayons qui sont égaux à tg 3° pour le parallèle moyen, et à tg 8° ± arc (S — 80). pour les autres (6 = le complément de la latitude, 8° même valeur à la latitude du parallèle moyen). La division des parallèles donnant les points d'intersection avec les méridiens s'emprunte aux tables des dimensions de la Terre comme dans la projection de Flamsteed (v. table I, colonne 6).

Dans la pratique, on détermine les points de croisement de chaque méridien et de chaque parallèle parleur distance à deux coordonnées qui sont le méridien central et une perpendiculaire élevée sur lui (fig. 31). Des tables dressées par les mathématiciens donnent ces valeurs pour divers parallèles moyens (Tissot, 7).

Projections poly coniques. — Une dernière catégorie de projections mérite d'être signalée, à cause de l'emploi qui en est fait par un certain nombre de services topographiques.

La surface de la sphère ne peut être étalée sans déchirure. Les systèmes de projection sont des essais pour en reproduire les traits sur une surface plane continue. Si l'on renonce à la continuité de la surface de la carte, on peut dans certains cas élucider les difficultés "insolubles du problème des projections. Ainsi l'assemblage d'une série de troncs de cônes, tangents à la sphère suivant des parallèles équidistants, donne une image déchirée

sur les bords, mais pratiquement continue le long du méridien centra], surtout si les troncs de cône sont tangents à des parallèles très rapprochés. C'est la projection polyconique employée par le Coast Survey des États-Unis pour représenter des côtes orientées N.-S.

On peut encore pousser plus loin ce système en l'appliquant à la fois dans le sens des méridiens et des parallèles. La projection obtenue est un assemblage, forcément imparfait, sur un plan des faces d'un polyèdre enveloppant la sphère, chaque face représentant théoriquement une projection conique. Pour une carte topographique au 1 : 100 000 les feuilles limitées par les parallèles et méridiens équidistants ne diffèrent pas sensiblement des trapèzes sphériques qui leur correspondent, et, si l'assemblage de tout un pays est impossible, on peut réunir 8 à 10 feuilles voisines sans plus de difficultés que celles dues au retrait inégal du papier quelle que soit la projection adoptée. Ce système, appelé projection polyédrique, a été appliqué à la carte de France au 1 : 100000, à celles de l'Empire allemand et de l'Italie à la même échelle, à la carte de la monarchie Austro-Hongroise au 1 : 7)1000. C'est aussi celui qui a été adopté pour la nouvelle carte de France au 1 : 50 000.

Choix des projections. — Savoir reconnaître la projection d'une carte, avoir une idée approximative des déformations qu'elle fait subir aux ligures sphériques, est une nécessité absolue pour le géographe. Le choix de la meilleure projection pour l'établissement, d'une carte est une chose de la plus grande importance. Tout dépend du but que l'on se propose, de l'étendue que l'on veut représenter, et de la situation des pays envisagés.

S'agit-il de représenter la terre entière sur un planisphère, nous avons déjà vu qu'il faut renoncer à trouver une solution même approximativement satisfaisante. Du moins peut-on ne pas se tourner vers la plus mauvaise. On ne saurait trop s'élever contre l'abus de la projection de Mercator dans les atlas scolaires et dans les cartes murales. Si elle a pour les marins des avantages, elle n'a pour le géographe que des inconvénients. L'exagération des surfaces dans les hautes latitudes donne les idées les plus fausses sur l'étendue des contrées polaires, sur l'importance respective des différentes zones climatiques, des régions froides, chaudes et tempérées, des courants polaires et équatoriaux, etc. La meilleure projection pour les planisphères est celle de Mollweide. Seule celle d'Eckert peut lui être préférée dans le cas où l'on renonce à la représentation des régions polaires.

Si l'on partage la Terre en deux hémisphères, on peut trouver déjà des systèmes de projection un peu plus satisfaisants, permettant de représenter un hémisphère entier. Toutes les projections coniques et cylindriques doivent être éliminées. Si l'on désire conserver les formes des continents, il faut prendre une projection équiangle; celle qui déforme le moins les surfaces est la stéréogra-

phique, dans laquelle le grossissement est quadruple sur les bords. Il est préférable de rechercher une projection équivalente, la meilleure est celle de Lambert, dans laquelle le maximum de déformation angulaire atteint sur le bord 38° 57'.

S'agit-il de représenter une calotte sphérique assez étendue, par exemple un continent entier, les projections coniques et horizontales sont préférables à toutes autres. Pour un continent équatorial comme l'Afrique, ou l'Amérique du Sud, la projection de Flamsteed peut donner de bons résultats. Pour l'Europe, on doit recommander la projection d'Albers, bien meilleure que la projection de Bonne qu'on lui préfère généralement.

S'agit-il enfin d'un pays peu étendu de latitude moyenne, ce sont encore les projections coniques vraies qui méritent la préférence. La projection de Bonne adoptée pour la carte de France au 1 : 80 000 est équivalente, mais la déformation angulaire y est notablement plus grande que dans la conique équivalente de Lambert.

Pour les cartes topographiques d'échelle égale ou inférieure au 1 : 100 000, on doit recommander l'usage des projections polyconiques, où la déformation est égale dans toutes les feuilles.

1. — Wagner (H.). Lehrbuch der Géographie, 7° édition, t. I, Hannover, 1903, gr. in-8°, xvi-918 p.

2. — Gaspari (E.). — Cours d'astronomie pratique. T. I, Coordonnées vraies et apparentes, théorie des instruments. Paris, 1888, in-8°, 276. p. -f- x p. de tables. — T. II, Détermination des éléments géographiques, applications pratiques. Paris, 1889, in-8°, 347 p., 1 pi.

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5. — Larminat (E. de). Topographie pratique de reconnaissance et d'exploration, suivie d'éléments pratiques de géodésie et d'astronomie de campagne. 2e édit. Paris, 1906, in-8°, 391 p., 149 fig., 1 atlas.

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