COORDINATION SYSTÉMATIQUE DES ÉLÉMENTS

§1 SYSTÈME PEHTAOOHAL

Principe de la recherche. — Symétrie sphérfqae. — Nous avons dit que le principe de direction est celui qui ressort avec le plus d'évidence de l'étude des accidents du relief terrestre et qu'à travers des déviations dont les causes, essentiellement locales, sont toujours faciles à reconnaître, chacun de ces accidents, chaîne de montagnes, vallée de fracture ou filon, se fait toujours remarquer par sa tendance à se décomposer en alignement» bien définis.

Pour ceux qui, comme nous, attribuent les dislocations de la surface terrestre à la rupture par écrasement de l'écorce solide, ces divers alignements ne peuvent être que les lignes de moindre résistance qu'offrait l'écorce à chaque époque de dislocation. Et comme, selon toute apparence, l'épaisseur de la croûte solide est faible relativement à son diamètre, il n'est pas défendu de penser que cette croûte a pu se comporter, dans les diverses phases de son écrasement, comme une matière sensiblement homogène, auquel cas les lignes de rupture devraient se coordonner en un réseau géométrique.

Telle est la pensée qui s'est présentée à l'esprit d'Élie de Beaumont et qui a été le point de départ de la conception du système pentagonal. Le principe de ce système est facile à justifier. Si l'on admet a priori que les alignements terrestres obéissent à une loi déterminée, cette loi doit trouver son expression géométrique dans l'un des systèmes de symétrie dont la surface de la sphère est susceptible, car l'aplatissement terrestre est assez faible pour qu'on puisse négliger l'influence de la figure ellipsoïdale. Or tout alignement, sur une sphère, est la trace d'un grand cercle. Le problème à résoudre est donc celui-ci : déterminer les systèmes de grands cercles à l'aide desquels une sphère peut être divisée en figures égales et régulières et, parmi les solutions admissibles, choisir celle qui offrira le plus de coïncidences entre les directions des grands cercles et les alignements observés.

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Fig. fin. — Pentagone

1340 THÉORIES GÊOGÉNIQUES.

RéiFuu peniag«BBl. — Cela posé, on s'assure aisément que, de tous I» systèmes réalisables, le plus riche en éléments de symétrie esl celui qui réunit autour d'un- même point, cinq grands cercles (flg. 602) tels que SA, SB, SG, SD, SE, L faisant entre eux des angles égaux. Dans ce cas, li

géométrie démontre qu'il est possible de couper m grands cercles par cinq autres, de manière à grouper autour de S cinq triangles sphériques équilatéraui, dont chacun occupe exactement la vingtième partie de la surface de la sphère et correspond, dès lors, à l'une des faces d'un icomèdre régulier inscrit. Les cinq triangles groupés en S forment un pentagone sphérique ABCDE. Si l'on joint, de deux en deux, les sommets àt ce pentagone par d'autres grands cercles, ces lignes, qui ne sont autres que les diagonales des losanges sphériques ABCS, BCDS. fit.. isoleront, autour de S, un pentagone plus petit, PPPPP, dont la surface est exactement la douzième partie de celle de la sphère et qui, par conséquent, correspond à l'inscription d'un dodécaèdre pr*tagonal régulier (flg. 603). Chacun des côtés des douze pentagones, prolongé à travers les autres, forme les apolhèmtt de plusieurs d'entre eux, c'est-à-dire les perpendiculaire! telles que AH, abaissées d'un sommet A sur le coté opposé CD. Le réteau pentagonal, ainsi défini, comporte une division Flg. 003. Dodécaèdre de la sphère en 120 triangles sphériques rectangles, égam pemagona . fintre eui[ ^ poasé(jont cnflcun un angle de 56", un angle

de 60" et un angle de 90°. Les angles de 36° se groupent par dix autour des centres des douze pentagones, qui sont en même temps les sommets de l'icusaèdre. Les angles de 60° se groupent par six autour des sommets des pentagones, lesquels correspondent aux milieux des faces de l'icosaèdre. Enfin \tt angles de 90° se groupent par quatre sur les milieux des côtés du dodécaèdre Grands cercles principaux. — Chaque penlagone ayant cinq eûtes, dont chacun lui est commun avec un pentagone voisin, le nombre total des côté* du dodécaèdre est de 50, se groupant deux par deux sur quinte grands cen-ledifférents. Tel est le nombre des éléments primordiaux de la symétrie du système. Mais on peut encore l'augmenter. En effet, dessinons (fig. 604) eti ABCDE, une perspective gnomonique (1) de l'un des pentagones sur l'horizon de son centre. On sait que ce genre de perspective, où les points de la sphère sont figurés par l'intersection, avec un plan tangent choisi, des rayons visuels menés à partir du centre, a la propriété de représenter les grands cercles par des lignes droite*. Joignons entre eux les milieux de deux côtés consécutifs, tels que L et F- ou le milieu L avec le milieu G de l'un des côtés non adjacents, ou encore le sommet