RÉSEAU PENTAGONAL

Fig. 604. — Perspective gnomonique d'un pentagone.

A avec les deux sommets non contigus C et D. Chacun des grands cercles ainsi obtenus sera subordonné au système général de symétrie, dans lequel il occupera un rang déterminé. Nais ces cercles auxiliaires coupent les cercles fondamentaux en certains points M, N, P, lesquels, joints à leur tour avec les milieux des pentagones, fourniront de nouveaux cercles dérivés et cet enrichissement de la symétrie pentagonale pourra être poussé aussi loin qu'on voudra.

11 convient seulement d'établir avec netteté la hiérarchie, c'est-à-dire l'importance relative, des cercles successivement obtenus. Pour cela, considérons (fig. 605), quatre pentagones contigus, ayant leurs centres en S, S', S", S"'. Le côté AE du premier, prolongé vers S', vient former l'apothème EM du second; de même, le côté B'C prolongé forme l'apothème CL relative au côté AE. Enfin CM prolongé vient tomber orthogonalement en N au milieu de BC. Par conséquent, les trois arcs LM, LN, MN, forment un triangle sphérique trirectangle. Donc ces trois cercles représentent des plans menés par le centre de la sphère parallèlement aux trois système* de faces d'un cube, c'est-à-dire que les quinze cercles principaux correspondent à cinq cubes symétriquement placés ou plutôt à cinq systèmes de trois plans menés par le centre parallèlement aux faces des cinq cubes. Elie de Beaumont leur a donné le nom de cercles primitifs. Ils se groupent trois par trois en systèmes trirectangulaires et chacun a pour pôle sur la sphère un point tel que M ou N, c'est-à-dire le milieu d'un côté du pentagone.

Quant aux cercles dérivés, une analyse du même genre ferait voir que les uns sont des octaédriques, c'est-à-dire parallèles aux faces d'octaèdres réguliers, conjugués aux cubes en question; d'autres figurent les faces de dodécaèdres rhomboïdaux et sont dits dodécaédriques, tandis que les hexatétraédriques répondent aux 24 faces de chaque hexatétraèdre subordonné aux cubes primitifs. On peut d'ailleurs calculer théoriquement l'importance relative ou poids des diverses catégories de cercles, de manière à apprécier plus tard, comme il conviendra, la valeur des coïncidences constatées.

Points principaux. — Le réseau pentagonal ne comprend pas seulement des directions d'importance inégale; il s'y trouve aussi plusieurs séries de points

Fig. 605. — Formation des systèmes trirectangulaires.

THÉORIES GÉOGÉNIQUES.

principaux. Élie de Beaumont en a distingué 362, qui sont les 12 centres des pentagones (sommets de l'icosaèdre) ; les 20 sommets du dodécaèdre pentagootl (centres des faces de l'icosaèdre) ; les 30 intersections orthogonales mutuelles des primitifs (milieux des côtés du dodécaèdre) ; les 60 points où il y a rencontre de deux octaédriques avec un primitif; les 60 intersections orthogonales des primitifs et des octaédriques; les 60 intersections orthogonales des primitifs et des dodécaédriques, enfin les 120 intersections orthogonales des octaédriques trec les dodécaédriques rhomboidaux. Ces 362 points sont deux à deux antipodes.

Tels sont les grands traits de la théorie géométrique du réseau pentagonal, dont les diverses publications d'Élie de Beaumont ont fait connaître avec détail les intéressantes propriétés (1).

Installation du réseau. Traits carrés. — 11 reste à installer le réseau sur le globe, afin de vérifier jusqu'à quel point ses lignes principales s'accordent avec les directions observées sur la surface terrestre.

Pour cela, il convient de se rappeler que, suivant les probabilités, les accidents survenus à chaque époque de dislocation doivent être concentrés dans on fuseau de la sphère, où ils forment une série de rides parallèles. Un graod cercle de même direction et passant à peu près par le milieu du fuseau pourra s'appeler le grand cercle de comparaison du système. Le problème revient donc, après avoir défini les positions de ces grands cercles, à faire coïncider quelquesuns d'entre eux avec les lignes principales du réseau pentagonal, de manière i vérifier si cette première coïncidence en entraîne d'autres. On a utilise pour cette installation Tune des propriétés les plus caractéristiques du réseau, i savoir le grand nombre des intersections orthogonales qu'il comporte. En effet, beaucoup de ses cercles fondamentaux se coupent mutuellement à angle droit et nous avons, quelques lignes plus haut, énuméré ces intersections, dont on ne compte pas moins de 270. L'abondance des traits carrés est donc la marque distinctive de la symétrie pentagonale et si, à la surface du globe, on peut trouver des directions, à la fois importantes et de même signification, qui se coupent à angle droit, il suffira de mettre une quelconque de ces intersections en coïncidence avec un des traits carrés du réseau pour que ce dernier $<«it orienté.

Cet emploi des intersections orthogonales du réseau paraît d'autant plus légitime que, suivant une remarque d'Élie de Beaumont, les systèmes de montagnes immédiatement consécutifs manifestent souvent une tendance à suivre des directions perpendiculaires. Ainsi le système des Pays-Bas est à angle droit sur celui du Nord de l'Angleterre, auquel il succède dans le temps, et le Tatra est perpendiculaire au système de Corse et Sardaigne.

Cela posé, Élie de Beaumont a fait observer que l'arc de grand cercle qui joint l'Etna au pic de Ténériffe passe à travers les îlots volcaniques de l'Archipel

(1) Voir la Notice sur les systèmes de montagnes, les Comptes rendus des 20 juillet 1863, 15, 22, 29 février 1864, et les Annales des Mines, 6* série, XI, 1867.