COORDINATION SYSTÉMATIQUE DES ÉLÉMENTS DU RELIEF TERRESTRE

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Prlnelpe die> Im reclMerehe. — SjHiiétHe uphérUtmm. —Nous avons dit que le principe de direction est celui qui ressort avec le plus d'évidence de l'étude des accidents du relief terrestre et- qu'à travers des déviations dont les causes, essentiellement locales, sont toujours faciles à reconnaître, chacun de ces accidents, chaîne de montagnes, vallée de fracture ou filon, se fait toujours remarquer par sa tendance à se décomposer en alignements bien définis.

Pour ceux qui, comme nous, attribuent les dislocations de la surface terrestre à la rupture par écrasement de l'écorce solide, ces divers alignements ne peuvent être que les lignes de moindre résistance qu'offrait l'écorce à chaque époque de dislocation. Et comme, selon toute apparence, l'épaisseur de la croûte solide est faible relativement à son diamètre, il n'est pas défendu de penser que cette croûte a pu se comporter, dans les diverses phases de son écrasement, comme une matière sensiblement homogène, auquel cas les lignes de rupture devraient se coordonner en un re'seau géométrique.

Telle est la pensée qui s'est présentée à l'esprit d'Élie de Beaumont et qui a été le point de départ de la conception du système pentagonaL Le principe de ce système est facile à justifier. Si l'on admet a priori que les alignements terrestres obéissent à une loi déterminée, cette loi doit trouver son expression géométrique dans l'un des systèmes de symétrie dont la surface de la sphère est susceptible, car l'aplatissement terrestre est assez faible pour qu'on puisse négliger l'influence de la figure ellipsoïdale. Or tout alignement, sur une sphère, est la trace d'un grand cercle. Le problème à résoudre est donc celui-ci : déterminer les systèmes de grands cercles à l'aide desquels une sphère peut être divisée en figures égales et régulières et, parmi les solutions admissibles, choisir celle qui offrira le plus de coïncidences entre les directions des grands cercles et les alignements observés.

THÉORIES GÉOGÉiNIQUES.

Fig. 60Î. — Pentagone fondamenUl.

Réseau pentagonai. — Gela posé, on s'assure aiâément que, de tous les systèmes réalisables, le plus riche en éléments de symétrie est celui qui rcuoit, autour d'un même point, cinq grands cercles (dg, 602) tels que SA, SB, SC, SD, SE, faisant entre eux des angles égaux. Dans ce cas, la géométrie démontre qu'il est possible de couper ces grands cercles par cinq autres, de manière à grouper autour de S cinq triangles sphériques équilatéraux , dont chacun occupe exactement la vingtième partie de la surface de la sphère et correspond, dès lors, à Tune des faces d'un icosaèdre régulier inscrit. Les cinq triangles groupés en S forment un pentagone sphérique ABCDE. Si l'on joint, de deux en deux, les sommets de ce pentagone par d'autres grands cercles, ces lignes, qui ne sont autres que les diagonales des losanges sphériques ABCS, BGDS, etc., isoleront, autour de S, un pentagone plus petit, PPPPP, dont la surface est exactement la douzième partie de celle de la sphère et qui, par conséquent, correspond à l'inscription d'un dodécaèdre pentagonal régulier (fig. 603). Chacun des côtés des douze pentagones, prolongé à travers les autres, forme les apothèmes de plusieurs d'entre eux, c'est-à-dire les perpendiculaires telles que AH, abaissées d'un sommet A sur le côté opposé CD. Le réseau pentagonaU ainsi défini, comporte une division de la sphère en i20 triangles sphériques rectangles, égaux entre eux et possédant chacun un angle de 56<^, un angle de 60° et un angle de 90<». Les angles de Z^"" se groupent par dix autour des centres des douze pentagones, qui sont en même temps les sommets de l'icosaèdre. Les angles de 60<» se groupent par six autour des sommets des pentagones, lesquels correspondent aux milieux des faces de l'icosaèdre. Enfin les angles de 90* se groupent par quatre sur les milieux des côtés du dodécaèdre. CSranda cercles pHneipaaz. — Chaque pentagone ayant cinq côtés, dont chacun lui est commun avec un pentagone voisin, le nombre total des côtés du dodécaèdre est de 30, se groupant deux par deux sur quinze grands cercles différents. Tel est le nombre des éléments primordiaux de la symétrie du système. Mais on peut encore l'augmenter. En effet, dessinons [fig. 604) en ABCDE, une perspective gnomonique (i) de l'un des pentagones sur l'horizon de son centre. On sait que ce genre de perspective, où les points de la sphère sont figurés par l'intersection, avec un plan tangent choisi, des rayons visuels menés à partir du centre, a la propriété de représenter les grands cercles par des lignes droites. Joignons entre eux les milieux de deux côtés consécutifs, tels que L et F, ou le milieu L avec le milieu G de l'un des côtés non adjacents, ou encore le sommet

(1) Celte perspective gnomonique est la trace sur un plan, tangent à la sphère au centre do pentagone, des rayons visuels menés du centre de la sphère aux divers points de la figure.

Fig. 605. Dodécaèdre pentagonal.