RÉSEAU PENTAGONAL

Fig. 604. — Perspective gnomoniqne d'un pentagone.

A avec les deux sommets non conligus C et D. Chacun des grands cercles ainsi obtenus sera subordonné au système général de symétrie, dans lequel il occupera un rang déterminé. Hais ces cercles auxiliaires coupent les cercles fondamentaux en certains points M, N, P, lesquels, joints à leur tour avec les milieux des pentagones, fourniront de nouveaux cercles dérivés et cet enrichissement de la symétrie pentagonale pourra être poussé aussi loin qu*on voudra.

11 convient seulement d*établir avec netteté la hiérarchie, c'est-à-dire l'importance relative, des cercles successivement obtenus. Pour cela, considérons (fig. 605), quatre pentagones contigus, ayant leurs centres en S, S', S", S'". Le côté AE du premier, prolongé vers S', vient former Tapothéme EM du second; de même, le côté B'C prolongé forme Tapothème CL relative au côté AE. Enfin CM prolongé vient tomber orlhogonalement en N au milieu de BC. Par conséquent, les trois arcs LM, LN, HN, forment un triangle spherique trirectangle. Donc ces trois cercles représentent des plans menés par le centre de la sphère parallèlement aux trois systèmeê de faces d'un ciibcy c'est-à-dire que les quinze cercles principaux correspondent à cinq cubes syme'triquement placés ou plutôt à cinq systèmes de trois plans menés par le centre parallèlement aux faces des cinq cubes. Elie de Beaumont leur a donné le nom de cercles primitifs. Ils se groupent trois par trois en systèmes trirectangulaires et chacun a pour pôle sur la sphère un point lel que "M ou N, c'est-à-dire le milieu d'un côté du pentagone.

Quant aux cercles dérivés, une analyse du même genre ferait voir que les uns sont des octaédriques, c'est-à-dire parallèles aux faces d'octaèdres réguliers, conjugués aux cubes en question; d'autres figurent les faces de dodécaèdres rh^mrboidaux et sont dits dodécaédriques, tandis que Iqs hexatétraédriques répondent aux 24 faces de chaque hexatétraèdre subordonné aux cubes primitifs. On peut d'ailleurs calculer théoriquement l'importance relative oupoûkdes diverses catégories de cercles, de manière à apprécier plus tard, comme il conviendra, la valeur des coïncidences constatées.

Points principal». — Le réseau pentagonal ne comprend pas seulement des direction» d'importance inégale; il s'y trouve aussi plusieurs séries de pointi

Fig. 605. — FormaUon des tystémes trirectangulaires.

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principaux. Élie de Beaumont en a distingué 362, qui sont les 12 centres des pentagones (sommets de ricosaëdre) ; les 20 sommets du dodécaèdre pentagonal (centres des faces de I*icosaèdre) ; les 30 intersections orthogonales mutuelles des primitifs (milieux des côtés du dodécaèdre) ; les 60 points où il y a rencontre de deux octaédriques avec un primitif; les 60 intersections orthogonales des primitifs et des octaédriques; les 60 intersections orthogonales des primitifs et des dodécaédriques» enfin les 120 intersections orthogonales des octaédriques a?ec les dodécaédriques rhomboîdaux. Ces 362 points sont deux à deux antipodes.

Tels sont les grands traits de la théorie géométrique du réseau pentagonal, dont les diverses publications d*Éiie de Beaumont ont fait connaître avec détail les intéressantes propriétés (1).

iBStallatioB du réseau. Traits earrés. — Il reste à installer le réseau sur le globe, afin de vérifier jusqu'à quel point ses lignes principales s'accordent avec les directions observées sur la surface terrestre.

Pour cela, il convient de se rappeler que, suivant les probabilités, les accidents survenus à chaque époque de dislocation doivent être concentrés dans un fuseau de la sphère, où ils forment une série de rides parallèles. Un grand cercle de même direction et passant à peu près par le milieu du fuseau pourra s'appeler le grand cercle de comparaison du système. Le problème revient donc, après avoir défini les positions de ces grands cercles, à faire coïncider quelquesuns d'entre eux avec les lignes principales du réseau pentagonal, de manière à vérifier si cette première coïncidence en entraîne d'autres. On a utilise pour cette installation l'une des propriétés les plus caractéristiques du réseau, â savoir le grand nombre des intersections orthogonales qu'il comporte. En effet, beaucoup de sqs cercles fondamentaux se coupent mutuellement à angle droit et nous avons, quelques lignes plus haut, ènuméré ces intersections, dont on ne compte pas moins de 270. L'abondance des traits carrés est donc la marque distinctive de la symétrie pentagonale et si, à la surface du globe, on peut trouver des directions, à la fois importantes et de même signification, qui se coupent à angle droit, il suffira de mettre une quelconque de ces intersections en coïncidence avec un des traits carrés du réseau pour que ce dernier soit orienté.

Cet emploi des intersections orthogonales du réseau paraît d'autant plus légitime que, suivant une remarque d'Élie de Beaumont, les systèmes de montagnes immédiatement consécutifs manifestent souvent une tendance à suivre des directions perpendiculaires. Ainsi (e système des Pays-Bas est à angle droit sur celui du Nord de l'Angleterre, auquel il succède dans le temps, et le Tatra est perpendiculaire au système de Corse et Sardaigne.

Cela posé, Élie de Beaumont a fait observer que l'arc de grand cercle qui joint l'Etna au pic de Ténériffe passe à travers les îlots volcaniques de l'Archipel

(1) Voir la Notice 9ur les systèmes de montagnes^ les Comptes rendus des 20 juillet 18<S3, 15, 22, 29 février 1864, et les Annales des Mines, 6* série, XI, 1867.

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grec et constitue ainsi une ligne éruptive de premier ordre, qu*on peut appeler Vctxe volcanique méditenwîéen. Cette ligne est d*autant plus importante^ qu'elle est exactement parallèle à la chaîne des Alpes principales. D*autre part, le cercle qui joint TEtna au Vésuve et qui ya ensuite passer par le célèbre volcan de Hauna Loa, aux iles Sandwich, forme avec le précédent un angle dont la différence avec 90<» n*est que de 8 minutes. Cette ligne peut d'ailleurs être considérée, ainsi que la première, comme une fracture volcanique d'un ordre très élevé. L'intersection des deux cercles réunit donc les conditions voulues pour être employée à l'orientation du réseau.

Cette intersection a été appliquée par Élie de Beaumont sur un trait carré formé d'un dodécaédrique rhomboîdal et d'un primitif, parce que, de cette façon, le primitif allant de l'Etna au Mauna Loa, l'axe volcanique méditerranéen et la grande traînée volcanique des Andes constituaient im système trirectangulaire. Sur le réseau ainsi orienté, l'un des pentagones, dont le centre tombe en Saxe, près de Remda, embrasse assez bien la totalité de l'Europe, d'où le nom de peti" tagone européen qu'Éiie de Beaumont lui a donné.

Examen des coinddeaeM. — Le réseau pentagonal une fois installé, pour qu'il fût loisible de le considérer comme exprimant réellement la loi de la symétrie terrestre, il faudrait d'une part que ses éléments coïncidassent fréquemment en direction, sinon en position, avec les accidents du globe; d'autre part, que ces coïncidences eussent lieu au profit des éléments principaux du système, plutôt qu'à celui des lignes de troisième ou de quatrième ordre. C'est ainsi que la théorie cristallographique d'Haûy s'est facilement fait accepter dès l'origine, à cause du grand nombre des faces naturelles qui coïncidaient avec celles de la forme primitive théorique, ou avec des faces dérivées de notation très simple.

Cette condition est-elle réalisée par le réseau pentagonal ? C'est ce dont il est permis de douter. Sur les quinze cercles primitifs, en dehors de celui qui a servi à orienter le réseau, il en est à peine deux qui coïncident avec de grands alignements orographiques. Les octaédriques ne sont pas beaucoup plus employés et si l'un d'eux, celui du Sinaï, a été choisi pour représenter le système de soulèvement des Pyrénées, c'était à la condition d'accepter, entre la position absolue du grand cercle de comparaison et celle de la chaîne dont il marque la direction, un écart considérable. La plupart des alignements terrestres ne peuvent être définis que par des hexatétraèdriques ou même par des cercles de degré encore moins élevé. Or si l'on réfléchit qu'une direction orographique peut très difficilement être appréciée avec une approximation supérieure à deux ou trois degrés, il ne paraîtra pas surprenant qu'on trouve sans peine, dans le rj&seau pentagonal, un ou même plusieurs cercles auxiliaires en état de correspondre à une direction donnée. C'est pourquoi, malgré lès travaux considérables auxquels l'illustre auteur de la théorie des soulèvements s'est livré pour établir le crédit du réseau, on s'est refusé généralement à y reconnaître ces traits frappants par où se dévoile l'expression d'une grande loi naturelle.

12U THÉORIES GÉOGÉiNlQUES.

Directions coi^niriiées. — D*ailleurs, lors môme que les coïncidences observées seraient plus nombreuses, une objection grave subsisterait, qui rendrait au moins nécessaire un nouveau classement des directions. En effet, d'après la manière de voir développée par Élie de Beaumont, chaque époque de dislocation est représentée par un cercle de comparaison unique et si l'auteur a admis des récurrences possibles dans les directions, il ne semble pas s*ôtre préoccupé de l'existence à' orientations conjuguées^ c'est-à-dire d'accidents terrestres formés simultanémenty mais suivant des alignements distincts. Cependant, si la terre est un sphéroïde auquel l'écrasement déterminé par la contraction du noyau a donné une forme polyédrique dérivée du dodécaèdre pentagonal, le phénomène des directions multiples et simultanées a dû prévaloir dans la formation des accidents terrestres. On conçoit, en effet, le dodécaèdre se constituant tout d'abord par un ridement de Técorce suivant les quinze primitifs; après quoi, au milieu des pentagones ou des triangles ainsi dessinés, on est porté à imaginer, le long des lignes de moindre résistance, de nouvelles ruptures également coordonnées à la symétrie pentagonale. Hais tout cela implique, pour une même époque, un nombre plus ou moins grand d'accidents qui diffèrent par leur orientation et, à ce seul point de vue, la classification chronologique des cercles du réseau serait complètement à refaire.

Objeetions de principe. — La théorie foumit-elle, du moins, quelque argument en faveur de l'écrasement pentagonal d'une sphère ? On peut dire qu'aucune analyse décisive n'a encore abordé ce difficile problème de mécanique. Mais il est, à nos yeux, une raison péremptoire qui doit dispenser de toute recherche entreprise dans cette voie. C'est l'incompatibilité qui existe, a priori, entre la figure delà croûte du globe et celle d'un dodécaèdre pentagonal. Ce solide, bien connu en cristallographie, est caractérisé par l'existence de couples de faces parallèles, qui se correspondent deux à deux, ainsi que les sommets, aux extrémilés d'un même diamètre. C'est donc essentiellement une figure centrée et si la forme du globe s'en rapprochait dans ses traits généraux, on devrait voir les saillies continentales d'une part et les dépressions océaniques de l'autre, se répéter de part et d'autre du centre. Or c'est précisément l'inverse qu'on observe. Nous avons fait remarquer, dès le début de cet ouvrage, qu'on peut disposer un globe terrestre de telle sorte que la plus grande partie des terres émergées soit concentrée dans un même hémisphère, ayant à peine ^ de ses antipodes représenté dans l'autre par de la terre ferme. Le continent austral correspond à la mer Arctique, pendant que la grande masse du Pacifique méridional est aux antipodes de la partie centrale du continent européen-asiatique. On peut donc dire que ce qui domine sur le globe terrestre, c'est bien plutôt ïopposition diamétrale réciproque des saillies et des dépressions. Dès lors, si le secret de la forme de Técorce doit être cherché dans un solide géométrique, il convient que ce dernier soit, par son mode de symétrie, exactement l'inverse du dodé aèdre pentagonal.