La condition pour que S — AS' = o représente deux
droites s'obtient en remplaçant a, 6,... para -f- /r«, b -4- /»6 dans
la relation
abc -h 2fgh — af- — bg^ — cA' = o.
On arrive ainsi à une équation du troisième degré pour déterminer h; il y a donc trois valeurs de k pour lesquelles S — kS' = 0 représente deux droites. Si Ton désigne ces valeurs par k'.k^k"', les équations S— A^ S' :r::o, % — k"^'=--o, S-— /i'*S' = o représenteront les trois couples de cordes qui joignent les quatre points d'intersection de S et S' (238).
EXERCICES
I. Trouver l'équation d*une conique passant par les points où une conique donnée S rencontre les axes.
Les axes j: = o, r = o sont, dans ce cas, les cordes d'intersection ; l'équalion cherchée sera donc S = kxy, k étant une indéterminée (?w>151, Ex. I).
II. Trouver l'équation de la conique passant par les cinq points (1,2), (3,5),(-i, 4),(3,-i),(~4,3).
En partant des équations des côtés du quadrilatère ayant les quatre premiers points pour sommets, on pourra mettre Téquation de la conique sous la forme .
(3.r — arn- i) (5.r — 27 h- i3) = k[x — ^y -^ 17) (3.r — 4.>'-»- 5),
(") Si a et /S sont deux des cordes d'intorscction joi(rnaut quatre points d'une conique S, et 9\ y el $ en sont deux autres, il est indiflerent de mettre l'équation générale des coniques passant par les quatre points, sous Tune ou l'autre des formes S — A a/2, S — ^yi , ajS — A*/^, où k est indétermini'o ; puisque, en vertu du principe énoncé, l'équation de S est elle-même de la forme a/3 — kyS.
DBS SBCTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 325
et en écrivant qu'elle est vériûée par les coordonnées du cinquième
point ( — 4* 3), on trouve X- = — — > ce qui donne, toutes réductions faites, pour l'équation cherchée,
79j:'— .320:r)-h 3oi r' -+- iioï.r — i665 v -h i586 — o.
251. Lorsqu'une des droites a, 3 est tangente à S, ou lorsque ces droites se coupent en un point de cette courbe, les deux coniques S et S — ka^ sont tangentes, puisqu*alors deux de leurs points dMntersection coïncident. Ainsi, T=o étant Téqualion de la tangente menée à S par un de ses points (^\j'),
S = T(/^-hm7-h«)
sera Téquation la plus générale des coniques tangentes à S en (^'»7'); *' faudra d'ailleurs trois alitres conditions pour déterminer les coefficients /, m, n, et par suite la conique.
Si la droite Ix -+■ my -+- n passe par {x* y j'), trois des points d'intersection des coniques coïncident; l'équation la plus générale d'une conique osculatrice à S en {x\y') est donc S = T(/j:-+- my — Ix — mj'). On en déduit facilement l'équation du cercle osculateur en exprimant que le terme en xy s'évanouit et que les coefficients de x^ et de r^ sont égaux : on a ainsi deux conditions pour déterminer / et m.
Lorsque la droite Ix -h my -f- n coïncide avec^T, l'équation de la seconde conique prend la forme S= /rP et représente une conique ayant avec S un contact de troisième ordre, c'està-dire quatre points consécutifs communs (comparer à celte équation celle du n® 239).
EXERCICES
I. Les axes de S sont parallèles à ceux de S — X S', lorsiiu'ils le sont à ceux de S'.
En effet, si l'on prend pour axes coordonnés des parallèles aux axes de S, les équations S = o et S' = o n'auront pas de terme en .r> . Lorsque S' est un cercle, les axes de S — /S' et de S sont parallèles. Dans le cas où S — AS représente deux droites, les axes de S — /S' ne sont autre chose que les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle formé par ces droites, et on retombe sur le théorème du n" îi44.
3iG
II. Si les axes de coordonnées sont parallèles aux axes de S el dt» S — / a{5, les équations de a et p sont de la forme
IIÏ. Trouver l'équation du cercle osculateur à une conique à contre. Cette équation est de la forme
(rx' yy' \
et se réduit à
. rr' y' \ f.ry yy' \ / .r.r' yy' x" y" \
eu exprimant que le terme en .ry s'évanouit; les coefficients' de .r= i»i
de r^ devant être égaux, on aura a — >^— % ce qui donne, pour le
fr — a^ ^
cercle osculateur cherché,
