VI I

cheni aussi. Par suite, quand les droites a et (3 coYncidenl, ios points P el p, Q el ç coYncidenl aussi, el la seconde conique est langente à la première en P el Q. Donc, Véquation S-4-/ra'- o représente une conique ayant avec S nn

double contact suivant la droite a, qui est alors la corde de contact. Lorsque a ne rencontre pas S, a est imaginaire, mais représente toujours la corde de contact de S et S — ko}.

On verrait de même que cxy — /r^- représente une conique tangente aux droites a et y, qui ont alors (3 pour corde de contact (123).

L'équation d'une conique ayant avec S un double contact aux points (:c', 7'), (x", y") peut encore se mettre sous la forme S = /rTT', en désignant par T et T' les équations des tangentes en ces points.

253. Lorsque la droite a est parallèle h une asymptote de la conique S, elle est aussi parallèle à une asymptote de S =- ho^^, qui représente alors une courbe passant par quatre points, dont un à rinOni. Quand ^ est en outre parallèle à l'autre asymptote de S, S r= ha^ est une conique passant par deux des points à Tinfini de la courbe S. On peut, du reste, reconnaître facilement sur les équations de forme différente les coniques ayant des points d'intersection à l'infini; il suffit, pour cela, de se rappeler que l'équation d'une droite à l'infini se réduit à une constante (67), c'est-à-dire à o.j? 4- o.>-hC =^0, et que, par suite, on peut rendre à une équation l'homogénéité qui lui manque (69) en y remplaçant un ou plusieurs des facteurs constants par o.:c -t- o.r-h C. Ainsi l'équation a;jr = /r' d'une conique rapportée à ses asymptotes (199) n'est qu'un cas particulier de l'équation (/.y=: (5' qui représente une conique rapportée à deux tangentes et à leur corde de contact (123, 252); car, en la mettant sous la forme ^r=(o.a: -4- o.j^'-+- /r)% on voit que les droites x et j sont des tangentes ayant leur corde de contact à l'infini (154).

254. L'équation de la parabole j'=:^:r n'est elle-même qu'un cas particulier de l'équation générale ay = (3*; car elle peut s'écrire x{o.x -^ o.y-^ p) =^*% ce qui montre que la courbe est tangente non-seulement à la droite x au point où elle rencontre r, mais encore à la droite p à l'infini, au point oii elle coupe j. On arriverait à la même conclusion en partant de l'équation générale de la parabole, qui. étant mise

328 CHAPITRE XIY.

SOUS la forme

(ax -h ^X)^ -h {2 gx -h 2fx -h c)( 0.07-1-0.7-4-1)1=0,

fait voir que la droite ag^^c -h 2/j-f- c et la droite à l'infini sont des tangentes a^anl ax h- (3/ pour corde de contact, et que ia parabole a une tangente située à l'injini; d'ailleurs l'équation qui détermine les points à l'infini dans la parabole est un carré parfait (137), par suite les deux points de la courbe situés à l'infini coïncident, et la ligne à l'infini peut être considérée comme une tangente (83).

L'équation générale

ax^ -+- ih xy -h hy'^ 4- 2 gx -+- if y -1- c* =: o

n'est qu'une forme particulière de l'équation ay = /r(3o ( 122); car les trois premiers termes représentent deux droites a et y, qui passent par l'origine, et les trois derniers la droite (3, située à l'infini, et la droite ô, igx -f- 7.fy -\- c. Les lignes a et y rencontrent donc la courbe à l'infini, et 0 représente la droite passant par les points où a et y rencontrent la courbe à une distance finie.

255. En se reportant encore au n** 253, on peu^ voir que S=:/r(3 représente un système de coniques passant par les deux points situés à une distance finie où (3 rencontres, et par les deux points à l'infini où S est rencontrée par o.:r -1-0.7 +fr. Comme il est d'ailleurs évident que les coefficients de :r', j* et xy sont les mêmes dans S — o et S — fr [3 = o, ces équations sont celles de deux coniques semblables et semblablement placées (234-). Donc, deux coniques fiomo thé tiques se coupent toujours en deux points à r infini, et ne peuvent, par suite, se rencontrer quen deux points situés à une distance finie.

On peut arriver géométriquement au même résultat on considérant successivement les trois genres de coniques :

I" Hyperboles. — Les asymptotes de deux hyperboles homothétiques sont parallèles C285), c'est-à-dire qu'elles se coupent à l'infini; mais chaque asymptote rencontre sa courbe à Tinfini : donc, deux hyperboles semblables et semblablement placées

se coupenl en deux points situés à Tinfini et qui se trouvent à la rencontre de leurs asymptotes. Ainsi les points de rencontra à l'infini, de OY et oy\ de OX et ox {fg, 89), sont

Fig. 89.

communs aux deux courbes: on peut voir sur la^i^. 89 un des points d'intersection situés à une distance finie, l'autre se trouve sur les deuxièmes branches des hyperboles.

a*» Ellipses. — Les ellipses ne diffèrent des hyperboles qu'en ce que les asymptotes sont imaginaires au lieu d'être réelles; d'ailleurs» la direction des points a l'infini de deux ellipses semblables est déterminée par la même équation

ax'-h^hxx^bx* = o (136, 234).

Bien que les racines de cette équation soient imaginaires, il n'en est pas moins vrai de dire qu'elles sont égales pour les deux ellipses, et, par suite, que ces ellipses peuvent être considérées comme se coupant en deux points imaginaires situés à l'infini. Cette manière de voir n'est, du reste, qu'une extension de ce que nous avons dit au n"" 249 sur les cordes imaginaires d'intersection des courbes S et S — ka^, au cas où une des droites a, ^ passe à l'infini.

3** Paraboles. — Toutes les paraboles ont une tangente à l'infini (254); la direction du point dé contact, ne dépendant que des trois premiers termes de l'équation, est la même pour deux paraboles semblablement placées. Donc, deux paraboles homothétiques se louchent à V infini.

Il résulte de ce qui précède que les points à l'infini, communs à deux coniques homothétiques, sont réels, imaginaires,

33o CHAPITRE XIV.

OU coïncident, suivant que ces coniques sont des hyperboles, des ellipses ou des paraboles.

256. L'équation S = /r, c'est-à-dire 8 = /r(o.^ -^o.r 4- i)% est un cas particulier de S ==/»«'; par suite (252), elle représente une conique ayant avec S un double contact suivant une droite à l'infini; et, comme S — h ne diffère de S que par un terme constant, ces coniques sont non-seulement homothétiques (les trois premiers termes des deux équations étant identiques), mais encore concentriques, puisque les coordonnées du centre d'une conique sont indépendantes de la constante c (140). Donc, deux coniques homo thé tiques et concentriques peuvent être considérées comme se touchant en deux points à l* infini. D'ailleurs, les asymptotes de ces deux coniques non -seulement sont parallèles, mais coïncident : ces courbes passent donc par les deux mêmes points à l'infini, et ont mêmes tangentes en ces points.

Lorsque les courbes S, S — k^ sont des paraboles, elles ont même tangente à l'infini, el, par suite, ont un contact de troisième ordre à l'infini (251); mais deux paraboles dont les équations ne diffèrent que par utie constante sont égales, puisque les paraboles égales j' =:/;^,j^ = /?(^ 4- /i) restent encore égales quand on déplace les axes de coordonnées. D'ailleurs, l'expression du paramètre est indépendante du terme constant. Les paraboles S, S— /r' sont donc égales, et Ton voit que deux paraboles égales et semblablement placées peuvent être considérées comme ayant un contact du troisième ordre à V infini,

257. Tous les cercles sont semblables, puisque leurs équations ne diffèrent que par les termes du premier degré. Donc, tous les cèdes passent par les deux mêmes points imaginaires situés à Vinfiniy et, par suite, ne peuvent se couper en plus de deux points à distance finie; de plus, tous les cercles concen* triques se touchent en deux points imaginaires à l'infini^ el, pour cette raison, ne peuvent se rencontrer en aucun point situé à une distance finie. Ceci permet de ne considérer beaucoup de théorèmes relatifs aux cercles que comme un cas par-

DES. SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÊ(;ÉKS. 33 1

ticulier des ihéorèmes se rapportant aux coniques qui passent par deux points fixes.

258. Considérons encore Téquation /'a' -h m'jS' : - «'y^ qui représente une section conique ayant le triangle aj3y pour triangle autopoiaire (99). Elle peut se mettre sous Tune ou l'autre des formes :

La première montre que les droites ny-hm^, ny—^m^, qui se coupent en (J3,y ), sont tangentes à la conique et ont a pour corde de contact; le point (|3,y) est donc le pôle de a. De même, d'après la deuxième forme, (y, a) est le pôle de |3; par suite (a, p) est le pôle de y. Mais celle dernière conclusion peut aussi se tirer de la troisième forme, qui indique que

les deux droites imaginaires iocdz m^ \ — i sont tangentes 5 la conique suivant la corde de contact y : car ces droites (tangentes menées par un point intérieur de la conique) se coupent en un point réel (a, |3) qui est le |)ôle de y.

On verrait, en suivant le même procédé, que ré(|uation

«a' 4- 9.hx^-h b^^ — cy^

représente une conique par rapport à laquelle (a, (3) est le pôle de y, puisque son premier membre peut se décomposer en deux facteurs correspondant à des droites qui se coupent ^n (a,P).

259. Notons ici quelques théorèmes, qui ne sont que la traduction des équations précédentes, faîte au moyen du principe énoncé au n® 34.

L'équation ay = /• (3^ fait voir que : Le produit des distances d'un point d'une conique à deux tangentes Jixes est dans un rapport constant avec le carré de sa distance à leur corde de contact, •

L'équation ay = /r[3ô peut s'énoncer ainsi : Le produit des distances d^un point d*une conique aux deux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit est dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux deux autres côtés.

332 CHâPITRB XIV.

De ce dernier théorème on peut déduire le suivant: Le rapport anliarnionique du faisceau obtenu en joignant un point 0 quelconque d'une conique, à quatre points fixes, A,ByC,D, de cette conique est constant.

On a, en effet, les valeurs [fig, 90)

OA.OBsinAOB OCODsinCOD ^- AB " ' ^=" CD— ' ^

en les substituant dans Téquation ay — /t [3d et supprimant le

Fig. 90.

produit OA.OB. OC. OD qui se trouve dans les deux membres de l'équation, on trouve

sinAOBsinCOD AB.CD

sinBOCsinAOD^ ' BC.AD'

Le deuxième membre de Téquation est constant, et le premier exprime le rapport anharmonique du faisceau OA,OB, OC, OD.

Les conséquences de ce théorème sont si nombreuses et si importantes que nous consacrerons un Chapitre spécial à leur développement.

260. Lorsque 8 = 0 est l'équation d'un cercle, S représente (90) le carré de la tangente menée au cercle par un point (j?,r); et alors l'équation S — Aa(3=o, qui est celle d'une conique ayant a et j3 pour cordes d'intersection avec le cercle, exprime que : Si le carré de la tangente menée pdir un point à un cercle fixe est dans un inpport constant avec le produit des distances de ce point à deux droites fixes, ce point décrit une conique passant par les quatre points d'intersection des droites avec le cercle.

Ce théorème subsiste quelles que soient la grandeur du cercle et la nature, réelle ou imaginaire, des points d'intersection des droites avec le cercle. Dans le cas où le cercle est infiniment pelit, il peut s'énoncer de la manière suivante : Le lieu décrit par un point tel que le carré de sa distance à un point fixe soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances à deux droites fixes, est une section conique. Les droites fixes doivent être alors considérées comme les cordes d'intersection imaginaire de la conique avec un cercle infiniment petit ayant le point fixe pour centre.

261. On peut tirer des déductions analogues de l'équation S — *•«*=: o, lorsque S représente un cercle. Ainsi donc : Le lieu 'des points dont les distances à une droite fixe sont dans un rapport constant avec les tangentes menées de ce point à un cercle fixe, est une conique qui touche le cercle aux deux points où il est rencontré par la droite ; et réciproquement: Si un cercle a un double contact avec une conique, la tangente menée au cercle par un point de cette conique est dans un rapport constant avec la distance de ce point à la corde de contact.

Dans le cas particulier où le cercle est infiniment petit, on retombe sur la propriété fondamentale du foyer et de la directrice, par suite : Le foyer d*une conique peut être considéré comme un cercle infiniment petit touchant la conique en deux points imaginaires situés sur la directrice.

262. En général : Si dans l'équation d'une conique on remplace les coordonnées courantes par celles d*un points le résultat de la substitution est proportionnel au produit des segments de la corde menée par ce point parallèlement à une direction donnée { * ).

Si l'on désigne par & (134) le résultat de la substitution

(*) Ce théorème s'applique aux courbes de degré quelconque.

indiquée, ce produit a pour expression (148)

a cos^ 0 -f- 2 /i cos QsmO -\- b sin' 0 el il est proporiionnel à c\ tant que B reste constant.

EXERCICES

I. Lorsque deux coniques ont un double contact, le carré de la perpendiculaire abaissée d'un point de la première sur la corde de contact est dans un rapport constant avec le produit des. segments déterminés par la seconde sur cette perpendiculaire.

If. Si une parallèle à une droite donnée rencontre deux coniques aux points P, 0, /J, <7, le lieu des points 0 tels, que les produits OP.OQ et 0/^. Oq soient dans un rapport constant, est une conique passant par les points d'intersection des coniques données.

lU. Le diamètre du cercle circonscrit au triangle, formé par deux tangentes à une conique à centre et leur corde de contact, a pour va-

h'b" leur — 1 en désignant par b\ b" les demi-diamètres parallèles aux tangentes, et par/? la distance du centre à la corde de conlact ( M. Burnside).

Nous supposerons, pour simplifier, qu'on ait multiplié Téquation de la conique par une constante telle, que le résultat de la substitution des coordonnées du centre soit égal à Tunité.

Soient /', r" les longueurs des tangentes, et S' le résultat de la substitution des coordonnées de leur point d'intersection, on a

Soit en outre ts la distance à la corde de contact du sommet du triangle, la remarque du n** 152 donne la relation

par suite

/r bj)^

CI p

et on sait, par la géométrie élémentaire, que le premier membre de cette équation représente le diamètre du cercle circonscrit au triangle.

IV. L'expression (242) du rayon de courbure peut se déduire soit du théorème précédent , en supposant que les deux tangentes coïncident, soit du théorème ci-après, dû à M. Roberts.

Si Yon représente par n et n' les longueurs de deux normales qui se coupent, par/? et p' les distances du centre aux tangentes correspondantes, et par b' le demi-diamètre parallèle à leur corde de contact, on a

la relation

np -+- /i'p'= ib'^.

En désignant par S' le résultai de la substitution des coordonnées du milieu de la corde de contact dans Téquation de la conique , par cr, cr' les distances de ce milieu aux tangentes, et par 2^ la longueur de la corde : on trouve, d'après les procédés employés dans l'Exercice précédent, ^' = //'S', js = pS\ cr' — //S'; on peut voir d'ailleurs que

TIW -H /l'o'= îl£'.

263. Lorsque deux coniques ont un double contact avec une troisième, les cordes de contact et deux des cordes d'intersection concourent en un même point et forment un faisceau harmonique.

Soit Sr=o réquation de la troisième conique; celles des deux autres seront

S-hL'^o, S-f-M' = o; •

en les retranchant membre à membre, on trouve

pour réquation de deux des cordes d'intersection: ces cordes L-i-M = o, L — M = o jjassent par rinlcrseclion des cordes de contact L et M et forment avec elles un faisceau harmonique (57).

EXERCICES

I. Les cordes de contact de deux coniques avec leurs tangentes communes passent par Tintersection de leurs cordes communes. Ce théorème n'est qu'un cas particulier du précédent, dont il se déduit en supposant que la conique S se transforme en deux droites.

II. Les diagonales d'un quadrilatère inscrit passent par le même point que celles du quadrilatère circonscrit correspondant, et forment avec elles un faisceau harmonique.

Ce théorème peut se déduire du précédent en y considérant S comme une conique, S-hL', S -»- M' comme des couples de droites; on peut aussi la démontrer de la manière suivante. Soient r,, /,; f,, t^ les deux

couples de tangentes, c^ et c, les cordes de contact, c'est-à-dire les diagonales du quadrilatère inscrit correspondant. L'équation de S peut se mettre sous Tune ou l'autre des formes

qui ne peuvent différer que par un facteur constant >. Les expressions c] — \cl , /,^j— ^fj^^ sont donc identiques. La première c] — 'kcl = o représente deux droites qui passent par l'intersection de c^ , r, en formant avec elles un faisceau harmonique; la deuxième /,fj — ^^3/^ =oest celle d'un lieu passant par les points (t^,t.^)y (^î^)> ('p'4) et (/,, /j), et montre par suite que ces droites joignent respectivement les sommets du quadrilatère circonscrit (r„rj, (r,,/,), (^,^)i et {t,,t^).

IIL Trouver les équations des diagonales du quadrilatère formé par les tangentes menées à une conique à centre par les points ayant pour angles excentriques 2 a, 2^, 27, 1$.

On a dans ce cas

/ =z -cos2aH-'7-sin2 3t — 1, r = -cos20 -f-7-sin26 — i, 'a b ^ a ^ 0

c, = -cos(a-f- P) -h*^sin(a -h p) — cos(a — p),

et par suite

/.^ - c; =-- - sin'(« - P) (-^^ + ^ - i)-

En appliquant la méthode de l'Exercice précédent, on trouve, pour les équations des diagonales,

sin(a — p) sin(7— (î)

264. Lorsque trois coniques ont un double contact avec une quatrième y six de leurs cordes d'intersection passent trois par trois par le même point ei forment ainsi les côtés ei les diagonales d'un quadrilatère.

Les équations des coniques étant alors

S-t-L' = o, Sh-M'=:o, S-4-N» — o, celles de leurs cordes d'intersection seront, d'après le numéro

DES SECTIONS COMQUKS. COTATIONS ABRÉGÉES. 337

précédent :