L-4-M — o. M — N -o, N-hL^o

L — M-=o, M-i-N^o, N-fL=:o;

ces cordes passent donc trois par trois par le même point.

On peut déduire de là, comme au numéro précédent, plusieurs théorèmes particuliers en supposant qu'une ou plusieurs des coniques se transforment en couples de droites.

Ainsi, par exemple, si S représente deux droites, ces droites sont les tangentes communes à S 4- M*, S -h N% et si L est une droite menée par Tintersection de ces tangentes, S-+-L' se réduit à deux droites passant par cette même intersection. Donc : Si par l* intersection des tangentes communes à deux coniques, on mène un couple de droites, les cordes qu'elles déterminent sur chaque conique se coupent sur une des cordes communes aux deux coniques. C'est l'eMension du théorème donné au n** 116. De même : Les tangentes menées aux points où ces droites rencontrent une conique se coupent sur une des cordes communes aux deux coniques.

265. Lorsque les coniques S -f- LS S -h M^ S -h N' se transforment toutes en couples de droites, ces droites forment un hexagone circonscrit à S, et les cordes d'intersection en sont les diagonales : le théorème du n° 264 devient alors le théorème de Brianchon : Les trois diagonales opposées d'un hexagone circonscrit à une conique se coupent en un même point. Par diagonales opposées nous entendons (en supposant que les côtés soient numérotés i, 2, 3, 4, 5et6) lesdroites qui joignent (1,2) à {4»5), (3,3) à (5,6) et(3,4) à (6,1), En changeant Tordre des côtés, on peut former avec les mêmes droites six hexagones différents auxquels le théorème précédent reste toujours applicable.

On aurait pu démontrer le théorème de Brianchon, d'après la méthode indiquée au n"" 263, £x. II, en observant que si

/, /, — C] = o, /j /s — c] r=: O, /j /c — cj = O

338 CrfAPlTRE XIV. •

sont des formes équivalentes de l'équation S— o, c, == c, = Cy représentent trois diagonales concourantes (*).

266. Lorsque trois coniques ont une corde commune, fes trois cordes d'intersection non communes se coupent en un même point.

Soient 8= o, L =: o les équations d'une des coniques et de

la corde commune, les équations des deux autres coniques

seront

S H- LM = o, S -f- LN = o,

et on aura, pour leurs cordes d'intersection,

L(M~N)=zo;

la corde M — N, non commune aux trois coniques, passe par l'intersection de M et N.

D'après la remarque du n"* 257, ce théorème n'est qu'une extension de celui du n° 108 : les axes radicaux de trois cercles se coupent en un même point, puisque les trois cercles ont une corde commune (la droite à l'infini) et que les axes radicaux sont des cordes d'intersection non communes.

Le théorème du n° 264- peut aussi être regardé comme une extension du môme théorème, puisque trois coniques qui ont un double contact avec une quatrième peuvent être considérées comme ayant quatre centres radicaux par chacun desquels passent trois de leurs cordes d'intersection non communes.

On pourrait encore énoncer de la manière suivante le théorème démontré ci-dessus : La corde d'intersection des coniques passant par quatre points, avec une conique fixe menée par deux de ces points, passe par un point fixe.

(*) M. Todhunter a fait observer avec raison, qu'en l'absence de règle précise pour déterminer quelle est celle des diagonales de t^ t^ r, r, définie par c, = -Hc„ la démonstration qui vient d'être donnée ne prouve qu'une chose, à savoir : que les droites joignant (i, 2) à (4, 5), et (2, 3) à (5, 6) se coupent, soit sur la droite (3, 4)* (6, 1), soit sur la droite (1, 3), (/|, 6). Mais, dans ce dernier cas, les triangles ia3, f\b6 sont honioIo[',ue8 (60, Ex. III), et les points 14, a5, 36 sont en ligne droite; en supposant alors que cinq des côtés de l'hexagone soient fixes et tangents à une conique, le sixième côté, au lieu d'être tangent à la conique, passe par un point fixe.

EXERCICES

I. Si par (Jeux des points d'intersection A et B de deux coniques [fis* 9')' 0" niène des droites AP, BQ rencontrant les coniques en \\ Q,

Fig. 91.

/>, y, les cordes PQ, prj se coupent sur la corde CD commune aux deux coniques.

Les droites OA, OB peuvçnt en effet être considérées comme une troisième conique.

n. Lorsque deux droites menées par le point de contact de deux coniques les rencontrent en P, p, Q, 7, les cordes PQ, pf/ se coupent sur la corde d'intersection des deux coniques.

Ce théorème peut être considéré comme un cas particulier de celui du n* 26-1, puisque l'intersection des tangentes communes à deux coniques qui se touchent se réduit au point de contact (117, Cor.).

267. L'équalion (ay = /rj3ô) d'une conique circonscrite à un quadrilatère peut nous servir à démontrer le théorème de Pascal : Les trois points de concours des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique sont en ligne droite.

Désignons les sommets de Thexagone par a, b, c, rf, e,f, et Us droites joignant les points a et 6, 6 et c,... par ab, bc... La conique étant circonscrite au quadrilatère abcd, son équation peut se mettre sous la forme

ab.cd — bcad zz= o.

On peut aussi récrire

de ,fa — ef.ad = o,

puisque la conique est circonscrite au quadrilatère defa. En combinant ces équations, on a

ab . cd — de .fa = ( &c — ef) ad,

34o CHAPITRE XIV. ,

Le premier membre de celle équaiion qui, en raison de sa forme , est celle d'une figure circonscrite au quadrilatère formé par les droites ab, de, cd, afy peut se décomposer en deu\ facteurs, et représente, par suite, les diagonales de ce quadrilatère. Et, comme ad est évidemment la diagonale qui joint les sommets a et r/, bc— ef doit être l'autre diagonale menée par les points (a6, de), (cd^af); il est d'ailleurs évident, d'après son équation, qu'elle passe par le point (6c, ef). Ces trois points sont donc en ligne droite.

268. On peut, comme pour le ihéorème de Brianchon, obtenir un certain nombre de théorèmes relatifs à ces six points, en les prenant dans divers ordres. Ainsi, la conique étant circonscrite au quadrilatère bcef, son équation peut s'écrire

be.cf — hc,ef=: o.

En Tidenlifiant avec la première équation du numéro précédent, il vient

ab.cd — be.cf := ( ad — ef) hc.

Les trois points (ab, cf), {cd, ie), (ad, ef) sont donc sur la droite ad — ef=^ o.

On trouverait de même, en identifiant la deuxième et la troisième forme de l'équation de la conique, que les trois points [de, cf), [fa, be), (ad, bc) sont sur une même droite bc — ad= o. D'ailleurs les Irois droites

bc — e/ = o, ef — ad =^ o, ad — bc .-- o

se coupent en un même point (41). De là le théorème de Steiner : Les trois lignes de Pascal, obtenues en prenant les sontmets de l* hexagone dans les ordres successifs : abcdef adcfeby afcbed, passent par un même point. On trouvera de plus amples développemenis à ce sujet dans une Note placée à la fin de ce volume..

EXERCICES

L Si l'on prend trois points n, b, c sur une droite, et trois points a\ b\ c' sur une autre, les intersections (bc\ f/r], (m', rV/), (ab\ a'b) ?ont en en ligne droite.

DBS SECTIONS CONIQUES. NOTATIOKS ABRÉGÉES. 34 ■

Ce théorème n'est qu'un cas particulier do celai de Pascal, et subsiste encore lorsqu'une des droites est à Tinfini; les lignes ba' et ca\ cb' et nb'^ ac' et bc' forment alors trois couples de droites parallèles.

II. Quatre droites déterminent quatre triangles (qu'on obtient en ne considérant successivement que trois d'entre elles); les quatre intcrsoctious des hauteurs de ces triangles sont en ligne droite.

Car, en désignant pari/, 6, c d, les quatre droites données, et par «', b\ c\ r/' quatre droites perpendiculaires, nous pouvons appliquer le théorème précédent aux trois points d'intersection de r/, b, r avec r/, et aux trois points situés à TinOni sur a', 6, c (*).

III. Le théorème de Steiner : « Le point de rencontre des hauteurs du triangle circonscrit à une parabole se trouve sur la directrice », peut se déduire de celui de Brianchon.

Désignons, en effet, par a^b^c les trois tangentes, par /t\ b\c les tangentes perpendiculaires, et par œla ligne a l'infmi, qui est aussi une tangente (25i). Les six droites «, b^ c, r', « , o! étant des tangentes, les droites {ab^ c'»), (^, o'»), [rc\ aa') se coupent en un même point. Or les deux premières sont des hauteurs du triangle, et la dernière est la directrice sur laquelle se coupent les couples de tangentes perpendiculaires (221). Cette démonstration est due à M. John C. Moore.

IV. -On donne cinq tangentes d'une conique : trouver le point de contact de Tune d'elles.

ABCDE étant le pentagone formé par les tangentes, les diagonales AC, BE se coupant en 0, la droite DO passera par le point de contact situé sur ÂB. CettQ solution se déduit du théorème de Brianchon, en supposant infiniment voisins deux des côtés de l'hexagone ; on sait, en effet, qu'une tangente est coupée au point de contact par la tangente infiniment voisine (13t)].

269. Le théorème de Pascal permet de construire par points une conique dont on connaît cinq points A,B,C,D, E(^g-. ip.)»

(*) Cette démonstration m'a été conimunic{iiéc û lu fois par MM. de Moq;an et Burnside. Le théorème lui-même peut se déduire de celui de Steiner ('227, Fx. III), puisque les quatre points de concours des hauteurs se trouvent sur lu directrice de la parabole tingente aux quatre droit<>s donnée.i. On en conclurait, en se basant sur le Corollaire IV du n° ^3, que les cercles circonscrits aux quatre triangles passent par un même point, le foyer de la pnral oie. Dans Je ras de cinq droitc^s, les foyers des cinq paraboles tangentes a quatre d'entre; elles se trouvent sur un cercle (Auguste Miquel). f^oir Catalan, Théorèmes rt Problèmes de Géométrie élémentaire, p. gB.

puisqu'on peut alors, en menant une droite quelconque AP par un des points donnés, déterminer le point F où elle ren-

Fig. 9î.

fl F

contre de nouveau la courbe, et, par suite, autant de points de la conique qu'on voudra. En effet, d'après ce théorème, F étant un sixième point de la courbe, les points d'intersection (AB, DE) ou 0, (BC, EF) ou Q, (CD, AF) ou P sont en ligne droite, et les points 0 et P sont connus par hypothèse. Si donc on joint 0 et P, E et Q(Q étant l'intersection de BC avec OP ), le point F se trouvera à la rencontre de QE avec AP. En d'autres termes, F est le sommet du triangle FPQ dont les côtés passent par les points Jixes A, E, 0, et dont les*deux autres sommets V et Q glissent le long de deux droites Jixes CD et CB. (Foir aussi n* W, Ex. 111). C'est sous cette forme que le théorème a été donné par Mac Laurin.

EXERCICES

I. Trouver le centre d'une conique dont on connaît cinq points. Menons AP parallèle à BC (^g. 92), et déterminons le point F ; AF et BC

sont alors deux cordes parallèles; en joignant leurs milieux, on aura un diamètre. On déterminerait de même un autre diamètre, et par suite le centre, en menant QE parallèle à CD.

II. Mener une tangente à une conique par un des cinq points qui la définissent. Le jK)inl F coïncide alors avec A, et QF prend la position f/X : pX est donc la tangente cherchée.

III. Trouver, en coordonnées Irilinéaires (02), le lieu du sommet d'un triangle dont les deux autres sommets glissent sur deux droites fixes, et dont les côtés passent par trois points fixes. (C*esl, ainsi que nous venons do le voir, le mode de génération des coniques indiqué par Mac Laurin.)

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRfiGÉES. 343

Soient a, p, y les côtés du triangle formé par les points fixes,

/a -h mp -h fty - o, l'a -h w'P -f- n'y = o

les équations des droites fixes, a = pS celle de la base. La droite joignant (p, 7) à l'intersection de la base avec la première droite fixe aura

pour équation ^

(lu. -h /« ) p 4- 7/7 = o ;

de même la droite qui joint (a, 7) à l'intersection de la base avec la deuxième

droite fixe sera

En éliminant p entre ces deux équations, on trouve, pour le lieu cherché,

Im'ccp ■— (wp -h ny] [l' x -h n'y).

C'est une conique passant par les points

[hl\ {'h^)i (y-î l'x-r mp^ny), [p, l'a -h m'p -^ n'y).

§ II. — Des équations rapportées a deux tangentes

El A LEUR CORDE DE CONTACT.

270. Lorsqu'une conique est rapportée à deux tangentes L, M el à leur corde de contact R, on peut déterniiner la position d'un point de la courbe par une seule variable (comme nous l'avons déjà fait au n°229), et arriver ainsi à formuler plus simplement un certain nombre de démonstrations.

L'équation de la conique étant alors (252) LM = RS /uiL = R représente une droite passant par le point LR et par un point de la courbe que nous appellerons le point /z; en combinant celle équation avec celle de la conique, on trouve M^:=:|:jlR el /jt'L := M pour les équations des droites qui joignent le point fj. aux points MR et LM, et deux quelconques de ces trois équations déterminent un point de la conique.

L'équation de la corde joignant deux points p. el // de la courbe sera

puisqu'elle est évidemment satisfaite par l'une ou l'autre des hypothèses

(piLr=:R, I7.R--.M}, (p/L^iR, |Ul'Rz:^M).

Si fj. et /x' coïncident, celle équation devient celle de la tangente

[X^L — 2/jlR 4- M = o,

qui renferme rindéierminée [x au second doi^ré. Réciproquement, si l'équalîon d'une droite (/x^L •— 2,uK -t- M = o) renferme une indéterminée fx au second degré» la droite qu'elle représente est constamment tangente à la conique LM = R'.